考研数学三真题及完整解析

1、研究生入学考试数学三试题一、选择题：1 10 小题，每小题4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（ 1）当 x0时，与x 等价的无穷小量是（A）1ex（ ）1 x（ ） 1x1 （D）1cos xBlnxC1（ 2）设函数 f ( x) 在 x0 处连续，下列命题错误的是：（A ）若 limf ( x) 存在，则 f (0)0（ B）若 limf (x)f (x) 存在，则 f (0)0 .x 0xx 0x（B ）若 limf ( x) 存在，则 f(0)0（ D）若 limf (x)f (x) 存在，则 f (0)0 .x0

2、xx 0x（ 3 ）如图，连续函数yf (x) 在区间3, 2, 2, 3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2, 0 , 0, 2 的图形分别是直径为2 的下、上半圆周，设 F ( x)xf (t)dt ，则下列结论正确的是：0（A） F(3)3 F (2)(B)F (3)5F(2)44（C） F (3)3（D） F(3)5F (2)F( 2)44（ 4）设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分1f ( x, y)dy 等于dxsin x21dyf (x, y)dx1f ( x, y)dx（ A ）（ B）dy0arcsin y0arcsin y1dyarcsin y1arc

3、sin y（ C）f (x, y)dx（D ）dyf ( x, y)dx0202（ 5）设某商品的需求函数为 Q 1602P ，其中 Q, P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C) 30.(D)40.（ 6）曲线 y1ln 1ex 的渐近线的条数为x（A ）0.（B）1.（C）2.（D）3.（ 7）设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)12 ,23 ,31(B)12 ,23 ,31(C)122 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,3 21.211100（ 8）设矩阵 A1

4、21, B010，则 A与B112000(A)合同且相似（ B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似 . (D)既不合同也不相似（ 9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 p 1) ，则此人第4 次射击恰好第2 次击中目标的概率为（A ） 3 p(1p) 2 .（ B） 6 p(1 p) 2 .（C） 3 p2 (1 p)2 .（D ） 6 p2 (1 p)2（ 10）设随机变量X ,Y服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关， f X ( x), fY ( y) 分别表示 X ,Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下， X 的条件概率密度f X|Y ( x | y) 为(

5、A)f X ( x) .(B)fY ( y) . (C)fX ( x) fY ( y) . (D)f X (x).fY ( y)二、填空题 ： 11 16 小题，每小题4 分，共 24分 . 把答案填在题中横线上 .（ 11） limx3 xx231(sin xcos x)_.x2x（ 12）设函数 y13，则 y( n ) (0)_.2x（ 13） 设 f (u, v) 是二元可微函数， zfy , x ，则 xzyz_.xyxy3（ 14）微分方程 dyy1y满足 y x1 1的特解为 y_.dxx2x0100（ 15）设矩阵 A0010，则 A3的秩为.00010000（ 16）在区间0

6、,1 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1 的概率为.2三、解答题：17 24 小题，共86 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 17） ( 本题满分 10分 )设函数 yy(x) 由方程 y ln yxy0 确定，试判断曲线yy( x) 在点 (1,1)附近的凹凸性 .（ 18） ( 本题满分 11分)x2 ,| x | | y |1设 二 元 函 数 f (x, y)1, 1| x | y |2，计算二重积分f (x, y)d ， 其 中Dx2y2Dx, y | x | | y | 2 .（ 19） ( 本题满分 11分)设 函 数 f ( x), g ( x)

7、在a, b上 连 续 ， 在 (a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在 相 等 的 最 大 值 ，f (a)g(a), f (b)g (b) ，证明：存在(a,b) ，使得 f( )g ( ) .（ 20） ( 本题满分 10分 )将函数 f ( x)1展开成 x1的幂级数，并指出其收敛区间 .x23x4（ 21） ( 本题满分 11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax30与方程 x12x2x3a1有公共解，求 a 的值及所有公共解 .x14x2a2x3 0（ 22） ( 本题满分 11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值11, 22, 32 ，1 (1, 1,1)T 是 A

8、 的属于1 的一个特征向量，记 BA54A3E，其中 E为 3阶单位矩阵 .（ I ）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（ II ）求矩阵 B .（ 23） ( 本题满分 11 分)设二维随机变量( X , Y) 的概率密度为2xy,0x1,0y1f ( x, y).0,其他（I）求 PX2Y；(II)求 ZXY 的概率密度 .2007 答案1.【分析 】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解 】当 x 0时， 1e xx ， 1x11x ， 1cosx1x21 x ，222故用排除法可得正确选项为（B ） .ln1xln(1 x)ln(

9、1x )111事实上， lim1x limlim 1x 11x2 x1，x0xx 0xx 02x或 ln 1xln(1 x) ln(1x) x o(x)x o( x )x o( x)x .1x所以应选（ B）【评注 】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见数学复习指南（经济类）第一篇【例1.54】 【例 1.55】 .2.【分析 】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f ( x) 去进行判断，然后选择正确选项 .【详解 】取 f (x) | x |，则 lim f (

10、 x) f (x)0 ，但 f ( x) 在 x0 不可导，故选（ D ） .x 0x事实上，在 (A),(B) 两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f (0) 0 .在（ C）中， limf (x) 存在，则 f (0)0, f (0)limf ( x)f (0)lim f (x)0 ，所以 (C)项正确，x 0xx 0x0x 0x故选 (D)【评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 .类似例题见文登强化班笔记高等数学第2 讲【例 2】，文登 07 考研模拟试题数学二第一套（2） .3.【分析 】本

11、题实质上是求分段函数的定积分.【详解 】利用定积分的几何意义，可得F(3) 121 123 ，F(2)11221，22282212F (2)f (x)d x0f ( x)dxf (x)dx11.22020223F(2)3 F (所以F (3)2) ，故选（ C） .44【评注 】本题属基本题型 . 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记高等数学第5 讲【例17】和【例18】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例 3.38】【例 3.40】 .4.【分析 】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解 】由题设可知，x,sin x y 1

12、，则 0 y 1,arcsin y x，2故应选（ B）.【评注 】本题为基础题型. 画图更易看出 .类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 10 讲【例 5】，数学复习指南 （经济类） 第一篇【例 7.5】，【例 7.6】 .5.【分析 】本题考查需求弹性的概念.【详解 】选（ D） .dQP2P商品需求弹性的绝对值等于Q1P40，dP160 2P故选（ D） .【评注 】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见数学复习指南（经济类）第一篇【例11.2】 .6.【分析 】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解 】 lim yli

13、m1ln 1 ex, lim ylim1ln 1 ex0 ，xxxxxx所以y0是曲线的水平渐近线；lim ylim1ln 1 ex，所以 x0 是曲线的垂直渐近线；x 0x 0xlimy1ln 1 exlimln 1 exlimexx1，lim xx0x1exxxxx11x，所以y x是曲线的斜渐近线 .b l i m y xl i ml n 1 ex0xxx故选（ D） .【评注 】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意 ex 当 x, x时的极限不同 .类似例题见文登强化班笔记高等数学第6 讲第 4

14、 节【例 12】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例5.30】，【例 5.31】 .7.【分析 】本题考查由线性无关的向量组1,2 , 3 构造的另一向量组1,2 , 3 的线性相关性. 一般令1,2,31,2,3A，若 A0，则 1,2, 3 线性相关；若 A0，则 1, 2, 3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由1223310 可知应选（ A）.或者因为10110112 , 23 , 311,2,31 10，而1 100 ，011011所以12 , 23 ,31 线性相关，故选（ A ） .1 1,0,0TT,T，以此求出 （ A ），（ B

15、），（ C），【评注 】本题也可用赋值法求解，如取,20,1,030,0,1（ D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第3 讲【例3】，数学复习指南 （经济类）线性代数【例 3.3】 .8【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.211【详解】由E A121(3)2可得 123, 30 ，112所以 A 的特征值为 3,3,0；而 B 的特征值为1,1,0.所以 A 与 B 不相似，但是A 与 B 的秩均为

16、2，且正惯性指数都为2，所以【评注 】若矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值所以通过计算A 与 B 的特征值可立即排除（A ）（ C） .A 与.B 合同，故选（B） .完全类似例题见数学复习指南（经济类）第二篇【例5.17】 .9 .【分析 】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率 . 关键要搞清所求事件中的成功次数【详解 】p前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标.C31 p(1p) 2 p3p2 (1p) 2 ，故选（ C） .【评注 】本题属基本题型.类似例题见数学复习指南（经济类）第三篇【例1.29】【例 1.30】10.【分析 】本题求

17、随机变量的条件概率密度，利用X 与 Y 的独立性和公式f ( x, y)可求解 .f X |Y ( x | y)fY ( y)【详解 】因为 X ,Y 服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关，所以X 与 Y 独立，所以 f (x, y) f X ( x) fY ( y) .f (x, y)f X (x) fY ( y)故 f X |Y ( x | y)fY ( y)f X ( x) ，应选（ A） .fY ( y)【评注 】若 X ,Y 服从二维正态分布，则X 与Y不相关与 X 与Y独立是等价的 .完全类似例题和求法见文登强化班笔记概率论与数理统计第3 讲【例3】，数学复习指南 （经济类）第三

18、篇第二章知识点精讲中的一（4），二（ 3）和【例 2.38】11.【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x2x3x21【详解 】因为 limx31lim2x2x32x 00,| sin x cos x | 2 ，x2xx1x12x所以 limx3x21(sin xcos x)0 .x3x2x【评注 】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记高等数学第篇【例 1.43】1 讲【例1】，数学复习指南 （经济类）第一12,.【分析

19、】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解 】 y1, y2，则 y( n) ( x)( 1)n 2n n!，故 y(n) (0)( 1)n 2n n!.2x 32x 3 2(2 x 3)n 13n 1【评注 】本题为基础题型 .完全类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 2 讲【例 21】，数学复习指南（经济类） 第一篇【 2.20】，【例 2.21】 .13.【分析 】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解 】利用求导公式可得zy2f11f2 ，xxyz1 f1xf2，yxy2所以zzyx.xxyy2 f1 xf2 y【评注 】二元复合函数求偏导时，最好设出

20、中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例8】, 【例 9】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例6.16】 ,【例 6.17】 ,【例 6.18】 .14 .【分析 】本题为齐次方程的求解，可令yu.x【详解 】令 uy，则原方程变为xx du1 u3dudx .uudx2u32x两边积分得11 ln x1 ln C ，2u 222111y2即 xeu2xex2，将 y x 11代入左式得C e，CCx2x故满足条件的方程的特解为exey2，即 y， xe 1.ln x1【评注 】本题为基础题型 .完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第7讲【例2】 , 【例 3

21、】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例9.3】 .15.【分析 】先将 A3 求出，然后利用定义判断其秩.01000001【详解】A0010A30000r ( A) 1.0001000000000000【评注 】本题为基础题型 .矩阵相关运算公式见数学复习指南（经济类）第二篇第二章第1 节中的知识点精讲 .16.【分析 】根据题意可得两个随机变量服从区间0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解 】利用几何概型计算. 图如下：y1AO1/21/2x21SA13所求概率2SD1.4【评注 】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化

22、班笔记概率论与数理统计第3 讲【例 11】，数学复习指南 （经济类）第三篇【例2.29】，【例 2.47】 .17.【分析 】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程y ln yxy0两边对 x 求导得y ln yy y1 y0 ，y即 y (2ln y)11，则 y (1).2上式两边再对x 求导得2y (2ln y)y0y1yy( x) 在点 (1,1)附近是凸的 .则 y (1)，所以曲线8【评注 】本题为基础题型 .类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 6讲【例 10】，数学复习指南（经济类） 第一篇【例 5.29】.18.【分析 】由于积分区域关于x, y 轴均对称，所以利

23、用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解 】因为被积函数关于x, y 均为偶函数，且积分区域关于x, y 轴均对称，所以f (x, y)df (x, y)d，其中 D1 为 D 在第一象限内的部分 .DD1而f ( x, y)dx2d1dD1x y 1,x0, y01x y2,x 0, y0x2y21x2 dy12x1dy22x1dydxxdxdxx20001 xx2y210y212 ln 12 .12所以f ( x, y)d12 ln12.4D3【评注 】被积函数包含 x 2y 2时 , 可考虑用极坐标，解答如下：f (x, y)d1dx 21 x y 21 x y 2y 2x 0, y

24、0x 0, y 022 dsin1cosdr0sincos2 ln(12).类似例题见文登强化班笔记高等数学第10 讲【例1】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例 7.3例 7.4】 .19. 【分析 】由所证结论 f ()g () 可联想到构造辅助函数F ( x)f (x)g ( x) ，然后根据题设条件利用罗尔定理证明 .【详解 】令 F (x) f (x)g( x) ，则 F ( x) 在 a,b上连续，在 (a,b) 内具有二阶导数且F (a) F (b)0.（ 1）若 f (x), g( x) 在 (a, b) 内同一点 c 取得最大值，则 f (c)g(c)F (c)0 ，于是由罗

25、尔定理可得，存在1( a,c), 2(c,b) ，使得F (1 )F(2)0 .再利用罗尔定理，可得存在(1,2)，使得F()0 ，即 f()g () .（ 2）若 f (x), g( x) 在 (a, b) 内不同点 c1, c2 取得最大值，则 f (c1) g(c2 )M ，于是F (c1 )f (c1 )g (c1)0, F (c2 )f (c2 ) g(c2 )0 ，于是由零值定理可得，存在c3(c1 , c2 ) ，使得 F (c3 )0于是由罗尔定理可得，存在1(a, c3),2(c3, b) ，使得F (1 )F(2)0 .再利用罗尔定理，可得，存在( 1, 2)，使得 F (

26、)0 ，即 f()g ( ) .【评注 】对命题为 f ( n) () 0 的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为 f (n 1)(x) 的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证 f ( n 1) ( x) 在包含 x于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记高等数学第4 讲【例 7】，数学复习指南 （经济类）第一篇【例4.5】，【例 4.6】 .20.【分析 】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解 】 f (x)11111，而3x 4 ( x 4)( x 1) 5 x 4 x 1x2nn , 2 x 4 ，11111x 1(x n 1

27、)1x 43x3 n 03n 03131111n( 1)n ( x 1)nx 11x3 ，x 1n 1,x 1 2 12 n 02n 022所以 f ( x)(x1)n( 1)n ( x1)n1(1)n( x 1)n，n 1n 1n 12n 1n 03n 02n 03收敛区间为1x3 .【评注 】请记住常见函数的幂级数展开 .完全类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 11 讲【例 13】，数学复习指南 （经济类） 第一篇【例8.15】 .21 .【分析 】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解 】将方程组和方程合并，后可得线性方程组x1x2x3 0x12x2a

28、x30x14x2a2 x30x12x2x3a 1其系数矩阵11101110A12a001a10.1 4 a200 3 a2 1 0121a 1010a11110111001a1001a 10.0 0 a23a 2 00 01 aa 10 01 aa 10 0 (a 1)(a 2) 0显然，当 a1, a2 时无公共解 .当 a1T时，可求得公共解为k 1 , 0 ,1, k 为任意常数；当 a2 时，可求得公共解为0,1,T.1【评注 】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第4 讲【例8】，数学复习指南 （经济类）第二篇【例4.12】，【例 4.15】 .22【分析 】本题考查实对