苏教版八年级下册数学[中心对称图形--平行四边形全章复习与巩固(基础)知识点及重点题型梳理]

1、精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中心对称图形平行四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角. 2. 理解中心对称图形的定义和性质. 3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 5. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转的概念和性质将图形绕一个定点转动一定的角度，这

2、样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.要点二、中心对称与中心对称图形一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称. 这个点叫做对称中心成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用要点三、平行四边形1定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行

3、四边形. 2性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3面积：高底平行四边形s4判定： 边： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角： （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： 平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点四、矩形1定义：

4、 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：宽长矩形s判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （ 2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释： 由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半要点五、菱形1. 定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（ 2）四条边相等；（ 3）两条对角线互相平分

5、且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：2对角线对角线高底菱形s4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（ 3）四边相等的四边形是菱形. 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用要点六、正方形1. 定义： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：=s正方形边长边长 12对角线对角线4

6、判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（ 2）一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3）对角线相等的菱形是正方形；（ 4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（ 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】类型一、旋转与中心对称图形1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）abcd【答案】 a；【解析】解： a、是轴对称图形，是中心对称图形故此选项正确；b、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误；c、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误；d、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误【总结升华】 此题主要考查

7、了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合2、如图，将abc绕点 a逆时针旋转一定角度，得到 ade 若cae=65 ， e=70 ，且 ad bc ，bac的度数为（）a 60 b 75c 85d 90 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【思路点拨】 根据旋转的性质知，旋转角 eac= bad=65 ，对应角 c= e=70 ，则在直角abf中易求 b=25，所以利用 abc 的内角和是180来求 bac 的度数即可【答案】 c；【解析】解：根据旋转的性质知，eac= b

8、ad=65 ， c= e=70 如图，设ad bc于点 f则 afb=90 ，在 rtabf中， b=90 - bad=25 ，在 abc中， bac=180 - b - c=180 - 25- 70=85，即 bac 的度数为85故选 c【总结升华】 本题考查了旋转的性质解题的过程中， 利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的类型二、平行四边形3、如图，在口abcd 中，点 e在 ad上，连接be ，df be交 bc于点 f，af与 be交于点 m ，ce与 df交于点 n求证：四边形mfne 是平行四边形【答案与解析】证明：四边形abcd 是平行四边形.

9、ad bc,ad bc （平行四边形的对边相等且平行）又 dfbe（已知）四边形bedf 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）de bf（平行四边形的对边相等）ad de bc bf，即 ae cf 又 ae cf 四边形afce是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）afce 四边形mfne 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明. 举一反三：【变式】 如图， 等腰 a

10、bc中， d是 bc边上的一点， de ac ，dfab,通过观察分析线段de ，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用df ，ab三者之间有什么关系，试说明你的结论【答案】 ab de df，提示： de ac ，df ab，四边形aedf 是平行四边形，c edb dfae abc是等腰三角形， b c， b edb ， de be ，ab ae be dfde 类型三、矩形4、 （2016 春?常州期末）如图，在abc中，ab=ac ，d为 bc的中点， ae bc，de ab 试说明：（1）ae=dc ；（2）四边形adce为矩形【思路点拨】 （1） 根据已知条件可以判定四边形

11、abde是平行四边形， 则其对边相等： ae=bd 结合中点的性质得到ae=cd ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形adce是平行四边形， 又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论【答案与解析】证明： （1）如图， ae bc ，ae bd 又 de ab ，四边形abde 是平行四边形，ae=bd d为 bc的中点，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用bd=dc ，ae=dc ；（2） ae cd ，ae=bd=dc，即 ae=dc ，四边形adce 是平行四边形又 ab=ac ，d为 bc的中点，ad cd ，平行四边形adce 为矩形【总结升华

12、】 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论5、如图所示，在矩形abcd 中， ab 6，bc 8将矩形abcd 沿 ce折叠后，使点d恰好落在对角线ac上的点 f 处，求 ef的长 . 【思路点拨】 要求 ef的长，可以考虑把ef放入 rtaef中，由折叠可知cd cf，de ef，易得 ac 10，所以 af 4，ae 8-ef，然后在rtaef中利用勾股定理求出ef的值【答案与解析】解：设 ef x，由折叠可得：de efx，cf cd 6，又在 rt adc中，226810ac af ac cf 4

13、， ae ad de 8x在 rtaef中，222aeafef，即222(8)4xx，解得：x3 ef 3 【总结升华】 在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】 （2015 秋?抚州校级期中） 在平行四边形abcd 中，过点 d作 de ab于点 e，点 f 在边 cd上， df=be ，连接 af，bf （1）求证：四边形bfde是矩形；（2）若 cf=9 ，bf=12，df=15 ，求证： af平分 dab 【答案】 证明： （1）四边形abcd 为平行四边形，dc

14、 ab ，即df be ，又df=be ，四边形debf 为平行四边形，又de ab ，deb=90，四边形debf 为矩形；（2）四边形debf为矩形，bfc=90 ，cf=9 ， bf=12，bc=15，ad=bc=15 ，ad=df=15 ，daf= dfa ，ab cd ，fab= dfa ，fab= dfa ，af平分 dab 类型四、菱形6、如图 , 在菱形 abcd 中， bad 80， ab的垂直平分线交对角线ac于点 f，e为垂足，连结df ，则 cdf等于 ( ). a.80 b.70 c.65 d.60 【答案】 d；【解析】精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用

15、解：连结bf ，由 fe是 ab的中垂线，知fbfa ，于是 fba fab 40. cfb 40 40 80, 由菱形 abcd知， dc cb ， dcf bcf ，cfcf，于是 dcf bcf ，因此 cfd cfb 80, 在 cdf中, cdf 180 40 80 60. 【总结升华】 运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、 线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质. 举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形abcd 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由【答案】 四边形 abcd 是菱形；证明：由ad bc，ab cd得四边

16、形 abcd 是平行四边形, 过 a，c两点分别作ae bc于 e ， cfab于 f cfb aeb 90ae cf（纸带的宽度相等）abe cbf ，rtabe rtcbf, ab bc, 四边形abcd 是菱形 . 类型五、正方形7、 （2015 春?上城区期末） 如图， 矩形 abcd 中，ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三个顶点e，g ，h分别在矩形abcd 的边 ab ，cd ，da上， ah=2 ，连结 cf（1）若 dg=2 ，求证：四边形efgh 为正方形；（2）若 dg=6 ，求 fcg的面积【思路点拨】 （1）通过证明rtdhg aeh ，得到 dhg= aeh

17、 ，从而得到 ghe=90 ，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形efgh 为正方形；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）作 fq cd于 q ，连结 ge ，如图，利用ab cd得到 aeg= qge ，再根据菱形的性质得he=gf ， he gf ， 则heg= fge ，所以 aeh= qgf ，于是可证明 aeh qgf ， 得到 ah=qf=2 ，然后根据三角形面积公式求解【答案与解析】（1）证明：四边形efgh 为菱形，hg=eh，ah=2 ， dg=2 ，dg=ah，在 rtdhg和aeh中，rtdhg aeh ，dhg= aeh ，aeh+ ahg=9

18、0 ，dhg+ ahg=90 ，ghe=90 ，四边形efgh 为菱形，四边形efgh 为正方形；（2）解：作fq cd于 q，连结 ge ，如图，四边形abcd 为矩形，ab cd ，aeg= qge ，即 aeh+ heg= qgf+ fge ，四边形efgh 为菱形，he=gf ，he gf ，heg= fge ，aeh= qgf ，在aeh和qgf中，aeh qgf ，ah=qf=2 ，dg=6 ， cd=8 ，cg=2 ，fcg的面积 =cg?fq=22=2精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【总结升华】 本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质也考查了菱形和矩形的性质举一反三：【变式】如图所示，e、f、g 、h分别是四边形abcd 各边中点，连接ef、fg 、gh 、he ，则四边形 efgh为_形 (1)当四边形满足 _条件时，四边形efgh是菱形 (2)当四边形满足 _条件时，四边形efgh是矩形 (3)当四边形满足 _条件时，四边形efgh是正方形在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【答案】 四边形 efgh 为平行四边形；解： (1)ac b