2018版高考数学专题1集合与函数1.2.7二次函数的图象和性质——增减性和最值学案湘教版

1、127 二次函数的图象和性质增减性和最值学习目标1. 了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值.歹预习导学歹预习导学 兰兰挑战自我点点落实_知识链接1.函数y=x2 2x 3 的对称轴为x= 1，该函数的递增区间为(1 ,),递减区间为(8,亘2函数y=x2的最小值为 0.预习导引2b二次函数f(x) =ax+bx+c(a0,x R)，当a 0(av0)时，在区间(一,石上递减(递bb增)，在芜，+8)上递增(递减),图象曲线开口向上(下)，在x=二处取到最小(大)值bf( (2? 一产课产课堂讲义堂讲义聾 至点难点，个牛击破_要点一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数f(x

2、)满足f(2) = 1,f( 1) = 1，且f(x)的最大值是 8,试确定此二 次函数解析式.2b，这里 =2解方法一利用二次函数一般式.设f(x) =ax2+bx+c(a工 0).4a+ 2b+c=- 1 由得b=-a,贝U2a+c=- 1, 即卩c=- 2a- 1.代入整理得a2=- 4a, 解得a=- 4，或a= 0(舍去). b= 4,c= 7.因此所求二次函数解析式为y=- 4x2+ 4x+ 7.方法二利用二次函数顶点式.设f(x) =a(xm)2+n(a* 0). f(2) = f( - 1),抛物线对称轴为x=2+2-1= 1，即 m= 2.又根据题意函数有最大值为n= 8,1

3、2y=f(x) =a(x- &+ 8,12 f(2) =- 1,.a(2 -R + 8=- 1.解之得a=- 4.122f(x) = - 4(x- 2 + 8= 4x+ 4x+ 7.方法三利用两根式.由已知f(x) + 1 = 0 的两根为X1= 2,X2=- 1.故可设f(x) + 1 =a(x- 2)(x+ 1)(a*0),即f(x) =ax2-ax- 2a- 1.又函数有最大值 8,24a- 2a- 1 -a4a=8.8.解之得a=- 4.2所求函数解析式为f(x) =- 4x+ 4x+ 7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)2a-b+c

4、=- 1，叫 4ac-b28.4a2ax3+bx+c( 一般式)、f(x) =a(x-X1)(x-X2)(两根式)、f(x) =a(x-m) +n(顶点式). 跟踪演练 1 已知f(x)为二次函数，且f(x+1) +f(x- 1) = 2x2+ 4x.求f(x)的解析式.42解 设f(x)=ax+bx+c(az0),则f(x+ 1) =a(x+ 1)2+b(x+ 1) +c,2f(x- 1) =a(x-1) +b(x- 1) +c,又f(x+ 1) +f(x- 1) = 2x+ 4x,2 22 ax+ 2bx+ 2a+ 2c= 2x+ 4x,2a=2 2,| a=1 1,. *2b = 4,b

5、= 2,2a + 2c= 0,c=- 1,f(x) =x2+ 2x- 1.要点二二次函数的增减性例 2f(x) = 4x2-mx+5 在区间2,+)上是递增函数，求m的取值范围.解函数的顶点横坐标为x=m8又函数在区间2,+)上是递增函数，m亦w 2，即me- 16,8故m的取值范围是m m 0)在(一, 丁上是递减函数，在2a2a增函数.跟踪演练 2已知函数f(x) =x2+ 2ax+ 2,x - 5,5.(1)当a=- 1 时，求函数f(x)的最大值和最小值；求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间5,5上是单调函数.解(1)当a=- 1 时，2 2f(x) =x- 2x+ 2= (x-

6、1) + 1,x - 5,5 , 1 - 5,5.当x= 1 时，f(x)min= 1 ；当x=- 5 时，f(x)max= 37.f(x) = (x+a)2+ 2-a2,其顶点横坐标为x=-a. f (x)在区间5,5上是单调函数，aw 5 或一a5.+m）上是递5故a的取值范围是aw- 5 或a5.要点三求二次函数的值域或最值_ 2例 3 求函数y=x- 2ax- 1 在0,2上的值域.解 当av0 时，ymin=f(0) = 1,yma尸f(2) = 4 4a 1 = 3 4a,所以函数的值域为1,3 4a.22当 Owawl时，ymin=yma=f(2) = 3 4a,所以函数的值域为

7、(a2+ 1) , 3 4a.3当 1vaw2时，ymin=f(a)= (a+1),yma=f(0) = 1 ,所以函数的值域为(a2+ 1) , 1.4当a 2 时，ymin=f(2) = 3 4a,ymax=f(0) = 1,所以函数的值域为3 4a, 1.规律方法在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间m n，若是区间m n,最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间m n内还是在区间的左边或右边在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端 点上取得.跟踪演练 3 已知二次函数f(x) =x2 2x+ 2.(1)当x 0,4时，求f(x

8、)的最值；当x 2,3时，求f(x)的最值；(3)当x ,t+ 1时，求f(x)的最小值g(t).22解 (1)f(x) =x 2x+ 2= (x 1) + 1,其图象顶点横坐标为x= 1，开口向上，当x 0,4时,.f ( x)max=f=42X4+2=10,f(x)min=f(1) = 1./f(x)的顶点横坐标为x= 1，开口向上，f(x)在2,3上为增函数,f(x)min=f(2)=222X2+2=2,2f(x)max=f(3)=32X3+2=5._ 2ft 2t+ 2,t 1g(t)=1,0wtwi6t2+1,tv0.章当堂检测当堂检测全 当堂训练.休验成功_2 _1.若f(x) =

9、 (mv1)X+ (m 1)X 1 是二次函数，则()A.m为任意实数B. mlC.m1D. ml 且m1答案 B解析由m 1 工 0,得nr51,故选 B.2 .函数f(x) =x2+ 3x+ 2 在区间(一 5,5)上的最大、最小值分别为()1A. 42,12B. 42, 411C. 12,D.无最大值，最小值为一 44答案 D321解析Tf(x) = (x+)4，x ( 5,5),31当x= 2 时，f(x)有最小值一 4，f(x)无最大值.3 .函数f(x) = 2x2 3|x|的单调递减区间是 _ .23答案(R, R和0，4】4.已知函数f(x) = 2x2m灶 3，当x (g,

10、1时是递减函数，则m的取值范围是 _.答案4 ,+)2lm 2mm 卄解析f(x)=2(x)+3 , 1W；,即卩m4.384课堂尔结-1二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、 定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中 点，一轴指的是对称轴.具体做法是：首先要采用配方法，化为y=a(xm)2+n的形式，得顶点(m n).其次对区间进行讨论，可分成三个类型：(1) 顶点固定，区间也固定.(2) 顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外.7(3) 顶点固定，区间变动，

11、这时要讨论区间中的参数M M 分层训练分层训练 羞羞解蘿纠偏，训练检测_、基础达标81.二次函数y=2x2x+ 2014 的开口方向是（）A.向上B.向下C.可能向上也可能向下D.向左答案 A解析 因为二次项系数20，所以二次函数开口向上.2 .函数f（x） = x2+ 2x 3 在闭区间0,3上的最大值、最小值分别为（）A. 0, 2B. 2, 6答案 B2解析/f（x） = （x 1） 2,当x= 1 时，有最大值一 2 ;当x= 3 时，有最小值一 6.2B. y=-xD. y=x2+ 2x答案 C22解析y=x 2x+ 1 在1,+s）上递增，而在（0,1上递减；y=-在（0 ,+）上

12、是递减函x数;1）上递增，在（1,+）上递增，从而在（0,+）上递增.4 .二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点为（一 1， 3），贝U b+c=_答案 6-b +c= 6.5 .二次函数y=x2 4x+ 3 的值域是_.答案（一汽 7解析 因为y= x 4x+ 3 = （x+ 4x+ 4） + 7C. 2, 3D. 3, 63.下列函数中，在区间（0,+）上是递增函数的是（A.y=x2 2x+ 12x+ 1y=，x2+ 2x= x 12+ 1 在0,1上递增,21 1,2 2上递减.只有y=-市在（，解析由已知=1,4cb2_4=3 3,b= 2,C= 4.9=（x+ 2）2+ 7.所以

13、这个函数的值域是（一R,7.6.用长度为 24m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_ m.答案 324 4x解析 设隔墙长为x,则y=x2 = 2x2+ 12x,当x= 3 时，y最大.7.若f(x) =x2+bx+c,且f(1) = 0,f(3) = 0.(1)求b与c的值.试证明函数f(x)在区间(2 ,+)上是递增函数.(1)解由f(1) = 0,f(3) = 0 得了 12+b+c= 0,b+c= 1,2即|3 + 3b+c= 0,|3b+c= 9,解得b= 4,c= 3.证明设任意x(2,+s)，且h0, f(x+h) f(x)2 2=(x+h)

14、 4(x+h) + 3 (x 4x+ 3)2 2=(x+h) x 4(x+h) + 4x2=2xh+h 4h=h(2x+h 4), x (2,+s) ,.2x + h 40 ,f(x+h) f(h) 0,即f(x+h) f(h),因此函数f(x)在区间(2 , +)上是递增函数.二、能力提升答案 Db解析 由 A, C, D 的图象知f(0) =cv0.又abc 0,abv0，对称轴x= 丁0,知 A2abC 错误，D 符合要求.由 B 知f(0) =c 0,ab 0，对称轴x=亦2, 1 一 10 0VX2+2x+3W2，11函数的值域是(0 ,日.x+ 2x+ 3210 .若二次函数f(x

15、)满足f(x+ 1) f(x) = 2x，且f(0) = 1，则f(x)的表达式为 _.答案f(x) =x2x+ 12解析 由f(0) = 1 可设f(x) =ax+bx+ 1(a*0),2故f(x+ 1) =a(x+ 1) +b(x+ 1) +1,可得f(x+ 1) f(x) = 2ax+a+b= 2x,所以 2a= 2,a+b= 0，故a= 1,b= 1,所以f(x) =x2x+ 1.11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a* 0)的图象与x轴交点的横坐标分别是2,6，图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式.解 设二次函数解析式为y=a(xX1)(xX2).T与x轴交点的横

16、坐标分别为X1= 2,X2= 6代入得y=a(x+ 2)(x 6),y=a(x2 4x 12) =ax2 4ax 12a.又图象与y轴相交，交点和原点的距离为3 ,I 12a| = 3.11 12a= 3 或一 12a= 3，即a=-或a=-.4412所求函数解析式为y= (x 4x 12)12亠 12=X+x+ 3 或y= (x 4x 12)1 12=x 一x一 3.411三、探究与创新12. 设函数f(x) =ax2 2x+ 2.对于满足 1VxV4 的一切x的值都有f(x) 0,求实数a的取值范围.121解 方法一 当a0 时，f(x) =a(x-)+ 2 -.aa1216a 8+2 0.1 1 a1或2a;f/1Fa2+20,当a2.2方法二/x (1,4)时，f(x) 0 即ax 2x+ 20,1 1a2(2(= =x) )，又一 2(1= 2(1 1 V+1 1,xx221 1由 1x 4, 知xC(4，1)，1 121 1 10 0 2213.已知函数f(x) = 2x 2ax+ 3 在区间1,1上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的函数表