2018版高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和(一)学案新人教B版必修5

1、2.3.2等比数列的前n项和(一)【学习目标】1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考 对于S64= 1 + 2 + 4+ 8+ 2 + 2，用 2 乘以等式的两边可得2SS4=2 + 4+ 8+262+ 263+ 264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?梳理 设等比数列少的首项是ai,公比是q,前n项和S可用下面的“错位相减法”求得.2n1Sn=ai+aiq+aiq+aiq.则q$=aiq+aq1 2+aiqni+aqn.由一得(I q)Sn=aiaiq.ai一qn当ql时，Sn

2、=i :.i iq当q= i 时，由于ai=a2=an,所以S= nai.结合通项公式可得等比数列前n项和公式：知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考 要求等比数列前 8 项的和：1i i(i)若已知前三项；，；，：，用哪个公式比较合适？2481I若已知ai= 27，a9= 243，q= 3，用哪个公式比较合适?1 qnSn=*Iq=jaiq= 1 *qMlaianqI q2梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q= 1 的情况；ai | qn知道首项ai、公比q和项数n,可以用 一;知道首尾两项(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：ai,n,q,an,可

3、求其余两个.题型探究类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度 1 前n项和公式的直接应用例 1 根据题干中的条件，求相应的等比数列an的前n项和S.(1)ai= 3,q= 2,n= 6;1 1(2) a =8 8, q= 2an=反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、=1 是否成立.跟踪训练 1 若等比数列an满足a2+a4= 20,a3+a5= 40,则公比Sn=_.命题角度 2 通项公式与前n项和公式的综合应用例 2 在等比数列an中，S2= 30,SB=155,求S.a1 aqai，&和 q,可以用-1 q公比，应特别注意qq=_;前n项和3反思与感悟(1)

4、应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q= 1 或ql进行判断，若 两种情况都有可能，则要分类讨论.当q= 1 时，等比数列是常数列，所以nai;当ql时，等比数列的前n项和S有两比较方便.跟踪训练 2 在等比数列an中，a= 2,S3= 6，求as和q.类型二等比数列前n项和的实际应用例 3 借贷 10 000 元，月利率为 1%每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016沁1.061,1.015 1.051)反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息， 即把上期的本利和作为下一期本金，在计算

5、时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式 为S=P(1 +r)n,其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.跟踪训练 3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ai个公式.当已知ai, q与n时，用S= 1-qni q比较方便; 当已知ai,q与an时，用決4等比数列an的各项都是正数，若a1= 81,a5= 16,则它的前 5 项的和是（）179 B . 211 C . 243 D . 2754.某厂去年产值为a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%从今年

6、起 5 年内，该厂的 总产值为_ .规律与方法-1当堂训练i.等比数列 1,n1 xA.-1 x的前n项和$等于（）n1A.卩n-x1-xn,n1 *1 x1 x,xM1,Ji, x = 1设等比数列an的公比q= 2,前n项和为S,则等于（）a22 B . 4 C.1 125 5D.耳2 2A.x= 1C.,XM1,5问题导学知识点一知识点二思考（1 1）用 s s=aii q题型探究类型一命题角度 1例 1 解(1)Tai= 3,q= 2,n= 6,1 1(2)Ta1= 8,q= 2,an=,跟踪训练 12 2+1-2命题角度 2 例 2 解方法一由题意知a11+q= 30,a11+q+q

7、2= 155,ca1=180180,a1= 5,解得或 f f 5q=5 5lq=- -6. .从而=4(5-1)1 54合案精析思考 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S4，即S64=寄=264- 1.(2)用S=aianq1-q. .l-q1-q189.a1anq1-q11-231y.1-26n N+.方法二若q= 1,贝US3:82= 3 : 2, 而事实上，S3:S2= 31 : 6,故qz1.1 +q6两式作比，得 1+q+q2= 31a a = 5 5,a1=180180,解得或5q=5 5q=6,n55n从而S=15= 4(5 1)1801 或S=1 跟踪训练 2 解由题意

8、，得若q= 1,则83= 3a1= 6，符合题意.此时，q= 1,a3=a1= 2.若 1,则由等比数列的前n项和公式,解得q= 2.22此时，a3= ag = 2x( 2) = 8.综上所述，q= 1,a3= 2 或q= 2,a3= 8.类型二 例 3 解 方法一 设每个月还贷a元，第 1 个月后欠款为ao元，以后第n个月还贷a元后,1801 或S=1 1 0801 5n11a11q2=30,155,1 0801 5 5n11nN+.小a1得83=1-q1 q21- q：1 q所以1 qa11-q31 q7还剩下欠款an元(1 nw6)，贝yao= 10 000 ,ai= 1.01aoa,a

9、2= 1.01a1a= 1.012a。一 (1 + 1.01)a,65a6= 1.01a5a=-= 1.01a。一 1 + 1.01 + 1.01 a.由题意，可知a6= 0,65即 1.01a。 1 + 1.01 + 1.01 a= 0,1.016x102a=61.01 1. - 6因为 1.01疋1.061 ,21.061x10一所以a10611 1 739(兀)故每月应支付 1 739 元.方法二 一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储6 个月，则它的本利和为S= 107 8(1 + 0.01)6= 104x1.016(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分 6 个月还清

10、，到贷款还清时，其本利和为54S2=a(1 + 0.01) +a(1 + 0.01) +a=a_ l+Ml6- 1= 1.01 1=a1.016 1x102(元).由S=S2,.016x102得a=101611 739(元).故每月应支付 1 739 元.跟踪训练 3 解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，4由题意，得an+1=an,51 q7因此数列an是首项a1= 25，公比q=；的等比数列.8热气球在前n分钟内上升的总高度为ca1 1qnSn=a1+a2+an=8=125X|14 4n125125.9故这个热气球上升的高度不可能超过当堂训练51 C 2.C 3.B 4.11a（1.151）1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1,an