三角形添加辅助线技巧及答案

1、第四讲·三角形添加辅助线技巧图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形1、已知：如图，在abc中，ab=ac，d点在ab边上，e在ac边的延长线上，de交bc于点f，bd=ce，求证：df=ef.由d点作bc的平行线交ac于g因为dgbc，所以三角形adg为等腰三角形，则：ad=ag因为ab=ac，所以：bd=(ab-ad)=(

2、ac-ag)=cg。那么c为三角形deg的边eg上的中点，dgbc根据中位线定理，则有：f为ed的中点，即：df=ef。得证（2） 作垂线 遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质,通过三角形全等求解2、如图，已知op平分aob，c，d分别在oa、ob上，若pco+pdo=180°，求证：pc=pd. 证明：过p做pe垂直于oa于e,过p做pf垂直于ob为f 3、已知：如图，在abc中，ab=2ac，1=2，ad=bd，求证：cdac. 证明：过d作dmab，垂足为m,因为ad=bd,所以am=bm=ab/2(三线合一)，因为ab=2ac,所以ac=am,因为ad

3、平分bac，所以1=2，在adc和adm中,ac=am,2=1,ad为公共边，所以adcadm,所以acd=adm=90,即:cdac (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac，延长be交ac于f，求证：af=ef.延长ad交bm于m点因为d为bc的中点所以abmc为平行四边形所以bm=ac因为be=ac所以be=bm所以角bem=角bme因为bm/ac所以角cam=角bme=角bem因为角bem=角aef(对等角)所以af=ef5、如图，已知：ad是ab

4、c的中线，且cd=ab，ae是abd的中线，求证：ac=2ae.已知ad是abc的中线,ae是abd的中线,且ab=bd,求证：ac=2ae 可证明abecba（sas）则eab=acb，aeb=cab且adb =acb+cad=dab=eab+dae=acb+dae所以cad=dae ad角cae平分线可由角分线定理得ac：ae=cd：de=2ac=2ae 6.如图，在abc中，d是bc上的靠近b点的三等分点，e是ab的中点，直线ac与de交于点f，求证：ef=3de.证明：找cd中点g，连接ag，再根据两个中位线证明比例关系7.在abc中，b=2c,m为bc的中点，adbc，求证：dm=1

5、/2ab. 取ab的中点e，连接de、em。因为，de是rtabd斜边上的中线，所以，de = be = (1/2)ab ，可得：bde = b 。因为，em是abc的中位线，所以，emac ，可得：dme = c 。因为，dem = bde-dme = b-c = c = dme ，所以，dm = de = (1/2)ab 8.在正方形abcd中，对角线ac,bd相交于点o, cab的平分线交bd于点f，交bc于点g，求证：cg=2of. 证明：找cg中点e，连接oe，证明of=ge。 （四）截长: 9.已知：如图，abc中，ad平分bac，若c=2b,证明：ab=ac+cd. 在三角形ab

6、c的边ab上截ac1=ac则对于三角形adc和三角形adc1用三角形全等的边角边定理可知这两个三角形全等所以ac=ac1,dc=dc1角acd=角ac1d=2倍角b又因为角ac1d=角b+角c1db故角c1db=角b故bc1=dc1=dc所以ab=ac1+c1b=ac+cd证毕10.已知：如图，abc中，a=60°，b与c的平分线be,cf交于点i，求证：bc=bf+ce. 解： 在bc上取bd=bf，连接od。因为bf=bd，角abe=角cbe，bo=bo，所以，三角形bfo全等于三角形bdo，所以，角bof=角bod，of=od。因为角boc=角abe+角bfc=角abe+角a+

7、角acf，而角abe=角abc/2，角acf=角acb/2，所以，角boc=角a+（角abc+角acb）/2=角a+（180-角a）/2=90度+角a/2=120度。所以，角bof=角bod=角cod=角coe=60度；又因为oc=oc，角acf=角bcf，所以，三角形cod全等于三角形coe，所以，od=oe，cd=ce，所以，oe=of，bc=bd+cd=bf+ce。 （五）补短11.已知：如图，在正方形abcd中，e为ad上一点，bf平分cbe交cd于f，求证：be=cf+ae. 证：延长dc至g，使cg=ae，连接bg正方形abcd中ab=bc（正方形各边相等）a=bcf=90

8、6;（正方形各角相等且为90°）a=bcg=90°在bae与bcg中ba=bca=bcgae=cgbaebcg（sas）be=bg（全等三角形对应边相等）abe=cbg（全等三角形对应角相等）正方形abcd中abcd（正方形对边平行）abf=bfcbfc=1+abe=2+cbg=fbgfg=bg（等角对等边）be=bg=gf=cg+cf=ae+cf 家庭作业1、如图，在中，求证：。 a 解： b d c2、已知：如图，正方形abcd，q在dc上，p在bc上。求证：pa=pb+dq。 a d 2 3 1 q b p c解：解： 延长pb至g,使bg=dq,连接ag则adqab

9、gaqd=g,daq=bag又aqd=baq=bap+qap,daq=qapbag+bap=bap+qap=aqd=g即g=pagpa=pg即pa=pb+qd3如图，已知bd平分abc，ac=bc，c=90°，aebd于e，判断ae与bd的数量关系并证明. 解： 结论：bd=2ae证明：延长ae与bc的延长线交于f因为bd平分abc且bdae所以afb为等腰三角形所以af=2ae在afc与bdc中ac=bcacfbcd=90ºcaf=cbd(等角的余角相等)所以afcbdcbd=af=2ae4 如图3，在abc中，a=90°，ab=ac，d为ac的中点，aebd于e，延长ae交bc于f，求证： adb=cdf 解： 作cmac,交af的延长线于m,aebd,可得aeb=90°,即bae+abe=90°,由a=90°，可得bae+dae=90°,所以abe=dae，cmac，可得acm=90°a，再加上ab=ac，可证三角形abd与三角形cam全等，从而可得cm=ad=cd,adb=m由a=90