三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用1o是的重心;若o是的重心，则故;为的重心.2o是的垂心;若o是(非直角三角形)的垂心，则故3o是的外心(或)若o是的外心则故4o是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才o是内心的充要条件可以写成 ，o是内心的充要条件也可以是 。若o是的内心，则acbccp故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1o是平面上的一定点，a,b,c是平面上不共线的三个点，动点p满足，则p点的轨迹一定通过的（ ）（a）外心（b）内心（c）重心（d）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向

2、上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知ap平分，那么在中，ap平分，则知选b. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 h是abc所在平面内任一点，点h是abc的垂心.由,同理，.故h是abc的垂心. （反之亦然（证略）例3.(湖南)p是abc所在平面上一点，若，则p是abc的（d）a外心b内心c重心d垂心解析:由.即则 所以p为的垂心. 故选d. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4 g是abc所在平面内一点，=0点g是abc的重心.证明 作图如右，图中连结be和ce，则ce=gb，be=gcbgce为平行四边形d是bc的中点，ad为bc边上

3、的中线.将代入=0，得=0，故g是abc的重心.（反之亦然（证略）例5 p是abc所在平面内任一点.g是abc的重心.证明 g是abc的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）例6 若 为内一点， ，则 是 的（     ）a内心           b外心        c垂心        

4、0; d重心 解析：由得，如图以ob、oc为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选d。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若 为内一点，则 是 的（     ）a内心           b外心        c垂心          d重

5、心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选b。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查例8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 p1p2p3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五b组第6题）证明 由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，从而p1p2p3是正三角形.反之，若点o是正三角形p1p2p3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即o是abc所在平面内一点，+=0且|=|=|点o是正p1p2p3的中心.例9在abc中，已知q、g、h分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：q、g、h三点共线，且q

6、g:gh=1:2。【证明】：以a为原点，ab所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设a(0,0)、b（x1,0）、c(x2,y2)，d、e、f分别为ab、bc、ac的中点，则有： 由题设可设,ab(x1,0)c(x2,y2)yxhqgdef即，故q、g、h三点共线，且qg：gh=1：2例10若o、h分别是abc的外心和垂心.求证 .证明 若abc的垂心为h，外心为o，如图.连bo并延长交外接圆于d，连结ad，cd.，.又垂心为h，ahcd，chad，四边形ahcd为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共

7、线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 设o、g、h分别是锐角abc的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 g是abc的重心按垂心定理 由此可得 .一、“重心”的向量风采【命题1】 是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.m 图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】

8、 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得

9、，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。补充练习1已知a、b、c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点p满足= (+2),则点p一定为三角形abc的 （ b ）a.ab边中线的中点 b.ab边中线的三等分点（非重心）c

10、.重心 d.ab边的中点1. b取ab边的中点m，则，由= (+2)可得3，即点p为三角形中ab边上的中线的一个三等分点，且点p不过重心，故选b.2在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （  d  ） 外心 内心 c 重心 d 垂心2已知abc的三个顶点a、b、c及平面内一点p满足：，则p为的 （  c  ） 外心 内心 c 重心 d 垂心3已知o是平面上一 定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p 满足：，则p的轨迹一定通过abc的 （  c  ）

11、外心 内心 c 重心 d 垂心4已知abc，p为三角形所在平面上的动点，且动点p满足：，则p点为三角形的 （  d   ） 外心 内心 c 重心 d 垂心5已知abc，p为三角形所在平面上的一点，且点p满足：，则p点为三角形的 （ b   ） 外心 内心 c 重心 d 垂心6在三角形abc中，动点p满足：，则p点轨迹一定通过abc的： （ b ） 外心 内心 c 重心 d 垂心7.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则abc为( )a.三边均不相等的三角形 b.直角三角形 c.等腰非等边三

12、角形 d.等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角a的平分线垂直于bc， ab=ac，又= ，a=，所以abc为等边三角形，选d8.的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m = 19.点o是所在平面内的一点，满足，则点o是的（b）（a）三个内角的角平分线的交点（b）三条边的垂直平分线的交点（c）三条中线的交点（d）三条高的交点10. 如图1，已知点g是的重心，过g作直线与ab，ac两边分别交于m，n两点，且，则。 证 点g是的重心，知o，得o，有。又m，n，g三点共线（a不在直线mn上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。1、课前练习1.1已知o是abc内的一点

13、，若，则o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心1.2在abc中，有命题；若，则abc为等腰三角形；若，则abc为锐角三角形，上述命题中正确的是 a、 b、 c、 d、例1、已知abc中，有和,试判断abc的形状。练习1、已知abc中，b是abc中的最大角，若，试判断abc的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知o是abc所在平面内的一点，满足，则o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知p是abc所在平面内的一动点，且点p满足，则动点p一定过abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心练习2、已知o为平面内一点，a、b、c平面上不共线的三点，动点p满足，则动点p 的轨迹一定通过abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心例4、已知o是abc所在平面内的一点，动点p满足，则动点p一定过abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心练习3、已知o是abc所在平面内的一点，动点p满足，则动点p一定过abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内心例5、已知点g是的重心，过g作直线与ab、ac分别相交于m、n两点，且，求证：7、作业1、已知o是abc内的一点，若，则o是abc的 a、重心 b、垂心 c、外心 d、内