中考复习专题之三角函数与几何结合

1、学习必备欢迎下载与三角函数有关的几何题例 1、如图 3，直线ab经过 o 上的点c，并且oaob，cacb， o 交直线ob于ed，连接eccd，（1）求证：直线ab是 o 的切线；（2）试猜想bcbdbe，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan2ced， o 的半径为3，求oa的长析解： （1）证明：如图6，连接ocoaob，cacb，ocabab是 o 的切线（2）bc2=bd beed是直径，90ecd90eedc又90bcdocd，ocdodc，bcde又cbdebc，bcdbecbcbdbebc bc2=bd be. （3）1tan2ced，12cdecbcdbec，12b

2、dcdbcec设bdx，则2bcx又 bc2=bd be，（ 2x）2=x(x+6) 解之，得10 x，22x0bdx，2bd325oaobbdod学习必备欢迎下载2、已知：如图，ab是 o 的直径，10ab, dc切 o 于点caddc，垂足为d，ad交 o 于点e（1）求证：bcec; （2）若4cos5bec, 求dc的长3、如图， 以线段 ab 为直径的 o 交线段 ac 于点 e，点 m 是的中点， om 交 ac于点 d， boe=60 ，cosc=，bc=2（1）求 a 的度数；（2）求证： bc 是 o 的切线；（3）求 md 的长度分析： （1）根据三角函数的知识即可得出a

3、的度数（2）要证 bc 是 o 的切线，只要证明ab bc 即可（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出md 的长度解答： （1）解： boe=60 ， a=boe=30 （2）证明：在 abc 中， cosc=， c=60 又 a=30 ， abc=90 ， ab bc bc 是 o 的切线（3）解：点m 是的中点， om ae在 rtabc 中， bc=2， ab=bc ?tan60 =2=6oa=3， od=oa=， md=点评： 本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4、如图，已知rtabc 和 rt

4、ebc ， b=90 以边 ac 上的点 o 为圆心、 oa 为半径的 o 与 ec 相切， d 为切点， ad bc（1）用尺规确定并标出圆心o； （不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证： e=acb ；（3）若 ad=1 ，求 bc 的长d c b o a e 学习必备欢迎下载分析： （1）若 o 与 ec 相切，且切点为d，可过 d 作 ec 的垂线，此垂线与ac 的交点即为所求的o 点（2） 由 （1） 知 odec， 则 oda 、 e 同为 ade 的余角，因此 e=oda= oad ，而 ad bc，可得 oad= acb ，等量代换后即可证得e=acb （3）由（ 2）证得

5、 e=acb ，即 tane=tandac=，那么 bc=ab；由于ad bc，易证得 ead ebc，可用 ab 表示出 ae、bc 的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出ab 的长，进而可得到bc 的值解答： （1）解： （提示： o 即为 ad 中垂线与 ac 的交点或过d 点作 ec 的垂线与ac的交点等）（2）证明：连接od ad bc， b=90 ， ead=90 e+eda=90 ，即 e=90 eda 又圆 o 与 ec 相切于 d 点， odec eda+ oda=90 ，即 oda=90 eda e=oda ；又 od=oa ， dac= oda ， dac= e ）ad

6、 bc， dac= acb ， e= acb （3）解： rtdea 中， tane=，又tane=tandac=，ad=1 ， ea= rtabc 中， tanacb=，又 dac= acb ， tanacb=tan dac =，可设ab=， bc=2x ，ad bc， rtead rtebc=，即x=1，bc=2x=2 学习必备欢迎下载点评： 此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出o 点的位置，是解答此题的关键5、如图，在 abc 中， ab=ac ，以 ab 为直径的半圆o 交 bc 于点 d，de ac，垂足为 e（1）求证：点d

7、 是 bc 的中点；（2）判断 de 与 o 的位置关系，并证明你的结论；（3）如果 o 的直径为 9，cosb=，求 de 的长分析： （1）连接 ad ，根据等腰三角形的性质易证；（2）相切连接od，证明 odde 即可根据三角形中位线定理证明；（3）由已知可求bd ，即 cd 的长；又 b=c，在 cde 中求 de 的长解答： （1）证明：连接ad ab 为直径， ad bc ab=ac ，d 是 bc 的中点；（2）de 是 o 的切线证明：连接od bd=dc ，ob=oa ，odac ac de， oddede 是 o 的切线（3）解： ab=9 ，cosb=，bd=3 cd=3

8、 ab=ac ， b=c，cosc=在 cde 中， ce=1，de=点评： 此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大6、如图以 abc 的一边 ab 为直径作 o， o 与 bc 边的交点d 恰好为 bc 的中点，过点d 作 o 的切线交 ac 边于点 e（1）求证： deac ；（2）若 abc=30 ，求 tanbco 的值分析： （1）连接 od，根据三角形的中位线定理可求出odac ，根据切线的性质可证明 deod，进而得证（2）过 o 作 of bd，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用ob 表示出 of、cf 的长，根据三角函数的定义求解解答： （1）证明

9、：连接od o 为 ab 中点， d 为 bc 中点，odac de 为 o 的切线， de od deac 学习必备欢迎下载（2）解：过o 作 ofbd，则 bf=fd 在 rtbfo 中， b=30 ，of=ob，bf=ob bd=dc ， bf=fd ，fc=3bf=ob在 rtofc 中，tanbco=点评： 本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性7、如图，在等腰梯形abcd 中， ad bc o 是 cd 边的中点，以o 为圆心， oc长为半径作圆，交bc 边于点 e过 e 作 eh ab，垂足为h已知 o 与 ab 边相切，切点

10、为f（1）求证： oeab ；（2）求证： eh=ab；（3）若，求的值分析： （1）判断出 b=oec，根据同位角相等得出oeab；（2）连接 of，求出 eh=of=dc=ab （3）求出 ehb dec，根据相似三角形的性质和勾股定理解答解答： （1）证明：在等腰梯形abcd 中， ab=dc ， b= c， oe=oc ， oec=c， b=oec， oeab （2）证明：连接of o 与 ab 切于点 f， of ab， ehab ，ofeh，又 oeab，四边形oehf 为平行四边形，eh=of，of=cd=ab ， eh=ab（3）解：连接 decd 是直径， dec=90 ，则

11、dec=ehb ，又 b=c， ehb dec，=，=，设 bh=k ，则 be=4k，eh=k，学习必备欢迎下载cd=2eh=2k，=点评： 本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题8、如图，等腰三角形abc 中， ac=bc=10 ，ab=12 以 bc 为直径作 o 交 ab 于点 d，交 ac 于点 g，dfac，垂足为 f，交 cb 的延长线于点e（1）求证：直线ef 是 o 的切线；（2）求 sine 的值分析： （1）求证直线ef 是 o 的切线，只要连接od 证明 odef 即可；（2）根据

12、e=cbg，可以把求sine 的值得问题转化为求sincbg，进而转化为求 rtbcg 中，两边的比的问题解答： （1）证明：方法1：连接 od、cdbc 是直径， cd ab ac=bc d 是 ab 的中点 o 为 cb 的中点，odac df ac， odef ef 是 o 的切线方法 2：因为 ac=bc ，所以 a= abc ，因为 adf= edb （对顶角），ob=od ，所以 dbo= bdo，所以 a+adf= edb+ bdo=90 ef 是 o 的切线（2）解：连bg bc 是直径， bgc=90 cd=8 ab?cd=2sabc=ac ?bg，bg= cg=bgac ，

13、dfac ， bgef e=cbg，sine=sincbg=点评： 考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可9、如图 9，直线 y=kx-1 与 x 轴、 y 轴分别交与b、c两点， tan ocb=21. （1）求 b点的坐标和k 的值；学习必备欢迎下载（2）若点 a （x， y） 是第一象限内的直线y=kx-1 上的一个动点 . 当点 a运动过程中，试写出 aob的面积 s与 x 的函数关系式；（3）探索：当点 a运动到什么位置时， aob 的面积是41；在成立的情况下，x 轴上是否存在一点p，使 poa是等腰三角形. 若存在，请写出满足条件的所有p点的坐标；若不存在，请说明理由. 图 9 【答案】解：（ 1） y= kx-1与 y 轴相交于点c，oc=1 tan ocb=