大一下高数下册知识点

1、学习必备精品知识点高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理 1：设向量 a0，则向量 b 平行于 a 的充要条件是存在唯一的实数，使ba1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb；则),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zyxr；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxba3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4） 方向余弦：rzryr

2、xcos,cos,cos1coscoscos2225） 投影：cospraaju，其中为向量a与u的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0ba学习必备精品知识点zzyyxxbabababa2、 向量积：bac大小：sinba，方向：cba,符合右手规则1）0aa2）ba/0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),(:zyxfs2、 旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfc，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、 柱面：0),(yxf表示母线平行于

3、z轴，准线为00),(zyxf的柱面4、 二次曲面学习必备精品知识点1） 椭圆锥面：22222zbyax2） 椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3） 单叶双曲面：1222222czbyax4） 双叶双曲面：1222222czbyax5） 椭圆抛物面：zbyax22226） 双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22227） 椭圆柱面：12222byax8） 双曲柱面：12222byax9） 抛物柱面：ayx2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：0),(0),(zyxgzyxf学习必备精品知识点2、 参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btzt

4、aytaxsincos3、 空间曲线在坐标面上的投影0),(0),(zyxgzyxf，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxh（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000zzcyybxxa法向量：),(cban，过点),(000zyx2、 一般式方程：0dczbyax截距式方程：1czbyax3、 两平面的夹角：),(1111cban，),(2222cban，222222212121212121coscbacbaccbbaa210212121ccbbaa21/212121ccbbaa4、 点),(0000zyxp到平面0dczbyax的距离：222000cbadczb

5、yaxd（六） 空间直线及其方程学习必备精品知识点1、 一般式方程：0022221111dzcybxadzcybxa2、 对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),(pnms，过点),(000zyx3、 参数式方程：ptzzntyymtxx0004、 两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21ll0212121ppnnmm21/ ll212121ppnnmm5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmcbacpbnam/l0cpbnamlpcnbma第九

6、章多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：（1）定义：设 n 维空间内的点集d是 r2的一个非空子集，称映学习必备精品知识点射 f：dr为定义在 d上的 n 元函数。当 n2 时，称为多元函数。记为u=f（x1，x2， xn） ， （x1，x2， xn）d。3、 二次函数的几何意义：由点集d所形成的一张曲面。如z=ax+by+c 的图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。4、 极限： （1）定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域 d,p0(x0,y0) 是 d的聚点

7、d,如果存在函数a 对于任意给定的正数, 总存在正数 , 使得当点 p（x,y ）d（ p0, ）时 ,都有 f(p)-a =f(x,y)-a成立 , 那么就称常数a为函数 f(x,y)当(x,y) (x0,y0) 时的极限，记作ayxfyxyx),(lim),(),(00多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质： （1）在有界闭区域d 上的多元连续函数，必定在 d上有界，且能取得它的最大值和最小值； （2）在有界区域d上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、 偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0) 是其定义域 d内一点。把 y 固

8、定在 y0 而让 x 在 x0 有增量 x，相应地函数 z=f(x,y)有增量( 称为对 x/y 的偏增量) 如果 z 与 x/ y 之比当 x0/ y0 时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0) 处对 x/y 的偏导数记作学习必备精品知识点xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000007、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y) 和 fyx(x,y) 在 d内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。8、 方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角

9、。9、 全微分： 如果函数 z=f(x, y) 在(x, y) 处的全增量 z=f(x x， y y)-f(x,y)可以表示为 z=a x+b y+o( )，其中 a、b不依赖于 x, y，仅与 x,y 有关，当 0，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分， a x+ b y 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dddzzzxyxy（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义：ux2） 复合函数求导：链式法则z偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义1 2 2 3 4 学习必备精品知识点若( , )

10、,( , ),( , )zf u v uu x y vv x y，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfaxx，),(00yxfbxy，),(00yxfcyy， 若02bac，0a，函数有极小值，若02bac，0a，函数有极大值； 若02bac，函数没有极值； 若02bac，不定。2） 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxl lagran

11、ge 函数解方程组0),(00yxllyx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxm（对应参数为0t ）处的学习必备精品知识点切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2） 曲面的切平面与法线曲面0),(:zyxf，则上一点),(000zyxm处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法线方程为：),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx第十章

12、重积分（一） 二重积分1、 定义：nkkkkdfyxf10),(limd),(2、 性质： （6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标bxaxyxyxd)()(),(21，21( )()( , )d dd( , )dbxaxdf x yx yxf x yydycyxyyxd)()(),(21，学习必备精品知识点21()()( , )d dd( , )ddycydf x yx yyf x yx2） 极坐标)()(),(21d21()()( ,)d d(cos , sin)ddf x yx ydf（二） 三重积分1、 定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),

13、(2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二 ”zdbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一”2） 柱面坐标zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3） 球面坐标学习必备精品知识点cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr（三） 应用曲面dyxyxfzs),(, ),(:的面积：yxyzxzaddd)()(122第十二

14、章无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuus3211，正项级数：1nnu ，0nu交错级数：1) 1(nnnu ，0nu2）级数收敛：若ssnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）绝对收敛：1nnu收敛，则1nnu绝对收敛；学习必备精品知识点条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散，则1nnu条件收敛。定理：若级数1nnu绝对收敛，则1nnu必定收敛。2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；2） 级数1nna 与1nnb 分别收敛于和 s 与， ，则1)(nnnba收敛且，其

15、和为s+3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4） 级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5） 必要条件：级数1nnu收敛即0limnnu. 3、 审敛法正项级数：1nnu ，0nu1） 定义：ssnnlim存在；2）1nnu收敛ns有界；3） 比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且), 3, 2, 1(nvunn若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散. 4） 比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m， 当mn时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，当mn时，学习必备精品知识点nnk

16、vu，而1nnv发散，则1nnu发散. 做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列，p 级数 1/np） ；比较大小；是否收敛。5） 比较法的极限形式：设1nnu，1nnv为正项级数，（1）若)0(limllvunnn，而1nnv收敛，则1nnu收敛；（2）若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv 发散，则1nnu 发散. 6） 比值法：1nnu 为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu 收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散 . 7） 根值法：1nnu为正项级数， 设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu 发散；当1l时，级数1nnu 可能收敛也可能发散 . 8） 极限审敛法：1nnu 为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p， 使得)0(limllu