工程数学教案

1、学习好资料欢迎下载线性代数课程教案授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换本授课单元教学目标或要求：1.会用对角线法则计算2 阶和 3 阶行列式。2.知道n阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义1.计算排列的逆序数的方法设12np pp是1,2,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比1p大的数排在1p前面，记为1t；再看有多少个比2p大的数排在2p前面，记为2t；最后看有多少个比np大的数排在np前面，记

2、为nt；则此排列的逆序数为12ntttt。2.n阶行列式1212111212122212()12( 1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa其中12np pp为自然数1,2,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列12()np pp求和。n阶行列式d中所含2n个数叫做d的元素，位于第i行第j列的元素ija，叫做d的( , )ij元。3.对角线法则：只对2 阶和 3 阶行列式适用1112112212212122aada aa aaa学习好资料欢迎下载111213212223112233122331132132313233132231122133112332

3、aaadaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自d中不同行、不同列的n个元素的乘积。由排列知识可知，d中这样的乘积共有!n项。(2) 和式中的任一项都带有符号( 1)t，t为排列12()np pp的逆序数， 即当12np pp是偶排列时，对应的项取正号；当12np pp是奇排列时，对应的项取负号。综上所述，n阶行列式d恰是d中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出4 阶行列式中含有1123a a的项。解：11233244a a a a和11

4、233442a a a a。例：试判断142331425665a a a a a a和3243 14512566a a a a a a是否都是6 阶行列式中的项。解：142331425665a a a a a a下标的逆序数为4312650122016， 所以142331425665a a a a a a是 6 阶行列式中的项。324314512566a a a a a a下标的逆序数为(341526)(234156)538， 所以324314512566a a a a a a不是 6 阶行列式中的项。例：计算行列式0001002003004000d解：0 1 2 3( 1)1 2 3 424

5、d本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：1 p.26 1(1)(3) 2 2(5)(6) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）学习好资料欢迎下载授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式 5 行列式的性质 6 行列式按行（列）展开 7 克拉默法则本授课单元教学目标或要求：1知道n阶行列式的性质。2知道代数

6、余子式的定义和性质。3会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。4知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：1.行列式的性质(1) 行列式d与它的转置行列式td相等。(2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6)

7、 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2.行列式的按行（列）展开(1) 把n阶行列式中( , )i j元ija所在的第i行和第j列划去后所成的1n阶行列式称为( , )i j元ija的余子式，记作ijm；记( 1)ijijijam，则称ija为( , )i j元ija的代数余子式。(2)n阶行列式等于它的任一行（列） 的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第i行展开：1122(1,2, )iiiiininda aa aa ain；或可以按第j列展开：1122(1,2, )jjjjnjnjda aa aa ajn. (3) 行

8、列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即11220,ijijinjna aa aa aij，或11220,ijijninja aa aa aij. 3.克拉默法则含有n个未知元12,nxxx的n个线性方程的方程组11 11221121 1222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb当12,nb bb全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。学习好资料欢迎下载(1)如 果 方 程 组 的 系 数 行 列 式0d， 那 么 它 有 唯 一 解 ：(1, 2,)iidxind， 其 中(1,

9、2,)idin是把d中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0d。(3)如果齐次线性方程组的系数行列式0d，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 4.一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即11121112222122112212nnnnnnnnnnaa

10、aaaaaada aaaaaa特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11221122nnnnaada aaa. 类似地，1(1)2,1212,111( 1)nn nnnnnnaada aaa. (2) 范德蒙（ vandermonde）行列式122221212111112111(,)()nnnnijn ijnnnnxxxv x xxxxxxxxxx计算行列式常用方法：(1)利用定义； (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本p.12例 7例 9 例：课本p.21例

11、13 学习好资料欢迎下载例：课本p.25例 16 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：5 p.26 4(1)(2)(3) ，5(1)(2)，7(1)(2) (5) 6 p.26 5 (4

12、)，7 (3) (6) 7 p.28 8(1)，9 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章节或主题）：第二章矩阵及其运算1 矩阵2 矩阵运算3 逆矩阵4 矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义,矩阵的加减法数乘 转置 矩阵求逆矩阵的行列式分块矩阵等运算,了解矩阵多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3 次课完成 ,第一讲 :1 矩阵 ,2 矩阵的运算 ;第二讲 :3 逆矩阵 ;第三讲 : 4矩阵分块法第一讲 :1 矩阵 ,2 矩阵的运算 ;

13、基本内容 :1 矩阵 : 一矩阵的定义 , 定义 1 由 mn 个数),2, 1;,2, 1(njmiaij组成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵 ,简称 mn 矩阵 ,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它 ,记作学习好资料欢迎下载mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这 mn 个数称为菊阵a 的元素 ,简称为元 ,数ija位于矩阵 a 的第i行j列,称为矩阵 a 的(i,j)元,以数ija为(i,j)元的矩阵可简记为)(ija或nmija )(,mn 矩阵 a 也记着nma. 元素是实数的矩阵称为实矩阵

14、,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵 ,n阶矩阵 a 也记作na. 只有一行的矩阵)(21naaaa称为行矩阵 ,又称为行向量 , 行矩阵也记作),(21naaaa只有一列的矩阵nbbba21称为列矩阵 ,又称为列向量 . 两个矩阵的行数相等,列数也相等 ,称它们是同型矩阵,如果a=)(ija,b=)(ijb是同型矩阵 ,并且它们的对应元素相等,即njmibaijij,2, 1,2, 1(), 那么就称矩阵a 与矩阵 b 相等 ,级作a=b 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 o,不同型的零矩阵是不同的. 2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义 2 设有两个nm矩

15、阵 a=)(ija和 b=)(ijb,那么矩阵a 与 b 的和记着a+b, 规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算. 学习好资料欢迎下载矩阵加法满足下列运算规律(设 a,b,c 都是nm矩阵 ): (i) a+b=b+a; (ii)(a+b)+c=a+(b+c) a=)(ija的负矩阵记为-a=)(ijaa+(-a)=o 规定矩阵的减法为a-b=a+(-b) 二 矩阵的数乘定义 3 数与矩阵 a 的乘积记作a或a,规定为mnmmnnaaaaaaaaaa212222111211矩阵数乘

16、满足下列运算规律(设 a,b 为nm矩阵 ,为数 ): (1) )()(aa; (2) aaa)(3) baba)(重点 ,难点 :矩阵乘矩阵 :让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因 .说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率. 三矩阵乘矩阵定义 4 设 a=(ija)是一个sm矩阵 ,b=(ijb)是一个ns矩阵 ,那么矩阵a 与矩阵 b 的乘积是一个nm矩阵 c=(ijc),其中), 2, 1;, 2, 1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij把此乘积记为c=ab 且有学习好资料欢迎下载sjjjisi

17、ibbbaaa2121),(ijskkjiksjisjijicbabababa12211例 4 求矩阵a=20121301与4311102311014b的乘积解c=ab=201213014311102311014=1199129例5求矩阵a=2142与 b=6342的乘积 ab 与 ba 解ab=21426342=1683216ba=63422142=0000ab对于两个n阶方阵 a,b, 若 ab=ba, 称方阵 a 与 b 可交换从上面等式可以得出结论:若oa而0)(yxa也不能得出x=y 的结论矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1)(ab)c=a(bc) (2)()()(ba

18、baab为数(3)a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 对于单位矩阵e,有nmnnmnmnmmaeaaae,即: ea=ae=a 特殊矩阵 : 1 单位矩阵 ; 学习好资料欢迎下载e=1000100012 数量矩阵e0000003 对角矩阵nnaaa00000022114 ;三角矩阵nnnnaaaaaa000022211211或nnnnaaaaaa21222111000可以得到 : )()(nnnnneaaae表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换定义矩阵的幂为kllklklkaaaaaaaaaa)( ,1121其中k为正整数例6证明nnnnncossinsincoscossinsinco

19、s证 用数学归纳法 ,1n时显然成立 ,设n=k时成立 ,即kkkkkcossinsincoscossinsincos当1kn时,有kkkkkcossinsincoscossinsincos1cossinsincos=sinsincoscossincoscossinsincoscossinsinsincoscoskkkkkkkk=)1cos() 1sin() 1sin() 1cos(kkkk等式得证 . 四矩阵的转置定义 5 把矩阵 a 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 a 的转置矩阵 ,记作ta学习好资料欢迎下载a=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211.则tamnnn

20、mmaaaaaaaaa212221212111a 的转置也是一种运算,满足(1) aatt)(2) tttbaba)(3) ttaa)(4) (ab)tttab证明 (4) 设smijaa)(,b=nsijb )(,记mnijttnmijddabccab)(,)(,有skkijkjibac1而tb的第i行为),(21siiibbb,ta的第j列为tjsjaa),(1,因此skkijkskjkkiijbaabd11),2, 1;,2 ,1(mjnicdjiij有tttabab)(例7已知231102a,b=102324171求tab)(解因为ab231102102324171=101317314

21、0所以1031314170)(tab若 a 是n阶方阵 ,如果满足aat,即), 2, 1,(njiaajiij那么 a 称为对称矩阵 . 例设列矩阵 x=tnxxx),(21满足1xxt,e是n阶单位阵 ,txxeh2,证明h是对称矩阵 ,且ehht证tttxxeh)2(hxxexxettt22所以 h 是对称矩阵 . 学习好资料欢迎下载thh=2h2)2(txxe=txxe4+)(4ttxxxx=txxe4+)(4ttxxxx=txxe4+txx4=e五 方阵的行列式定义 6 由n阶方阵 a的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵 a 的行列式 ,记作a或adet. a满足下列运算

22、规律(a,b 为n阶方阵 ,为数 ) (1) aat(2) aan(3) baab,且baab例 9 行列式a的各个元素的代数余子式ija所构成的如下的矩阵nnnnnnaaaaaaaaa212221212111称为 a 的伴随矩阵 ,试证eaaaaa证明 设)(ijaa,记)(ijbaa,则ijjninjijiijaaaaaaab2211故)()(eaaaaaijij类似有)()(1eaaaaaaaijijnkkjki本授课单元教学手段与方法：讲授为主 ,练习为辅 ,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则 ,从而掌握矩阵运算,并通过练习提高学生运算的准确率. 本授课单元思考题、讨论题、作业：p

23、53:3.4(1),(2);(3),(4) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）注： 1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、 “难点”、 “教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第二讲 :3 逆矩阵基本内容 :3 逆矩阵定义 7 对于n阶矩阵 a,如果有一个n阶矩阵 b,使ebaab则说矩阵a 是可逆的 ,并把矩阵b 称为 a 的逆矩阵 ,简称逆阵 .记为1a学习好资料欢迎下载如果 a 可逆 ,则 a 的逆阵是唯一的.因为 :设 b,c 都是 a

24、 的逆阵 ,则有b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c 定理 1 若矩阵 a 可逆 ,则0a证 a 可逆 ,即有1a,使eaa1,故11eaa所以0a. 定理 2 若0a,则矩阵 a 可逆 ,且aaa11其中a为 a 的伴随矩阵 . 证 由例 9 可知eaaaaa所以有eaaaaaa11按照逆矩阵的定义知a 可逆 ,且有aaa11当0a时称 a 为奇异矩阵 ,否则称 a 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵. 推论 若)(ebaeab或,则1ab证1eba,故0a,因而1a存在 ,有1111)()(aeaababaaebb逆阵满足下列运算: (1) 若 a 可逆 ,则1a也可逆 ,且aa1

25、1)(. (2) 若 a 可逆 ,数0,则a可逆 ,且111aa(3) 若 a,b 为同阶矩阵且可逆,则 ab 也可逆 ,且111)(abab证eaaaeaabbaabab111111)()(,由推论有 :111)(abab(4) 若 a 可逆 ,则ta也可逆 ,且ttaa)()(11学习好资料欢迎下载证eeaaaatttt)()(11,由推论有 :ttaa)()(11当0a时,定义ttaa)()(11kkaaea)(,10,k为正整数这样 ,当0a,为整数 ,有aaaaa)(,重点 ,难点 :逆矩阵的求法 .定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单

26、的求逆方法. 例 10 求二阶矩阵dcba的逆阵 . 解bcada,acbda, 当0a时,有bcada11acbd本授课单元教学手段与方法：讲授为主 ,练习为辅 ,通过逆矩阵的定义及定理2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵本授课单元思考题、讨论题、作业：p54:11(1),(3);12(1),(2);p55:19,22 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）第三讲 :4 矩阵分块法基本内容 :4 矩阵分块法. 对于行数和列数较高的矩阵a,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的

27、运算将矩阵a 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为a 的子块 .以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 . 例 将43矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaa可以分块为(1) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa(2) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa(3)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa分法 (1)可记为学习好资料欢迎下载22211211aaaaa其中2221121111aaaaa,2423141312aaaaa323121a

28、aa,343322aaa分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足 : (1) 设矩阵 a 与矩阵 b 的行数相同 ,列数相同 ,采用相同的分块法,有srsraaaaa1111,srsrbbbbb1111其中 ,ija与ijb的行数相同 ,列数相同 ,那么srsrssrrbababababa11111111(2) 设srsraaaaa1111,为数 ,那么srsraaaaa1111(3) 设 a 为lm矩阵 ,b 为nl矩阵 ,分块成ststaaaaa1111,trtrbbbbb1111其中itiiaaa,21的列数分别等于tjjjbbb,21的行数 ,那么absrsrcccc1111其

29、中), 1;, 1(1rjsibactkkjikij重点 ,难点 : 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵 ,对角阵的高阶 ,一般做四块分且尽量分出单位阵,零矩阵 . 例13设0211140110210101,1011011100100001ba求 ab 解 把 a,b 分块成学习好资料欢迎下载22211110211140110210101,1011012100100001bbebbeaoea则abeaoe1222111bbeb=2212111111babbaeb而21111bba=11212101+1101=1142221ba=1121+13330214所以131133421

30、0210101ab(4) 设srsraaaaa1111,则tsrtrtsttaaaaa1111(5) 设 a 为n阶矩阵 ,若 a 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且在对角线上的子块都是方阵,即saoooaoooaa21其中),2, 1(siai都是方阵 ,称 a 为分块对角矩阵. 分块对角矩阵的行列式有下列性质: saaaa21若), 2, 1(sioai,则0a,并有112111saoooaoooaa例14设120130005a,求1a解2100120130005aaa, 3211,1213,51),5(122111aaaa学习好资料欢迎下载32011000511a

31、对矩阵进行按行分快或按列分块: nm矩阵 a 有m行 ,称为矩阵a的m个行向量 ,若第i行记作),(21iniitiaaa则矩阵 a 记为tmtta21nm矩阵 a 有n列 ,称为矩阵 a 的n个列向量 ,若第j列记作mjjjjaaa21则),(21naaaa对于矩阵smijaa)(与矩阵nsijbb)(的乘积矩阵ab=c=nmijc )(,若把行分成m块,把 b分成n块,有abtmtt21nmijntmtmtmntttntttncbbbbbbbbbbbb21222121211121),(其中ijcjtib),(21isiiaaaskkjiksjjjbabbb121以对角阵m左乘矩阵nma时把

32、 a 按行分块 ,有mnmma21tmtt21=tmmtt2211以对角阵n右乘矩阵nma时把 a 按列分块 ,有na),(21naaam21=),(2211nnaaa学习好资料欢迎下载例15设oaat,证明oa证 设nmijaa)(,把 a 的列向量表示为a=),(21naaa,则aattttaaa21),(21naaa=ntntntnntttntttaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111因为oaat,所以 , ),2, 1,( , 0njiaajti, 特别有), 2, 1( , 0njaajtj而jtjaa0),(222212121mjjjmjjjmjjjaaaaa

33、aaaa得),2, 1( ,021njaaamjjj即oa下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则克莱姆法则对于n个变量 ,n个方程的线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111如果它的系数行列式0d,则它有唯一解),2, 1)(112211njabababdddxnjnjjjj证 把方程组写成向量方程bax这里nnijaa)(为n阶矩阵 ,因oda,故1a存在 . bbaaax1表明bax1是方程组的解向量,也是唯一的解向量. 由于aaa11,所以badbax11,即nnnnnnnnnnnnnnnnnababababababa

34、bababdbbbaaaaaaaaadxxx221122221211212111212122212121112111也就是),2, 1(112211njddabababdxjnjnjjj本授课单元教学手段与方法：讲授为主 ,练习为辅 ,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学学习好资料欢迎下载生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算 ,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例子的运算 . 本授课单元思考题、讨论题、作业：p55:26;p56:29. 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章

35、节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换本授课单元教学目标或要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容定义与记号初等行变换(,),ijiijrrrk rkra与b行等价()rab; 初等列变换(,),ijiijccck ckca与b列等价()cab; 初等变换 ,a与b等价()ab. 矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形0.00rm nef2.重点矩阵的初等变换对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：(1) 交换矩阵的两行(列); (2)

36、 以一个非零的常数k乘矩阵的某一行(列); (3) 把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行 (列). 3.例题与解题方法参见 ppt 本授课单元思考题、讨论题、作业：79.1(1)(3)p授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.2 初等矩阵本授课单元教学目标或要求：知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法. 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容初等矩阵(1) 定义单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵. (2) 对矩阵a作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左

37、(右)乘a. (3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：初等变换初等矩阵逆变换逆矩阵学习好资料欢迎下载ijrrijcc( , )e i jijrrijcc( , )e i jiirkck( ( )e i kiirkck1( ()e ikijjirkrckc( ( )e ij kijjirkrckc( ()e ijk(4) 方阵a可逆rae12()liappp p为初等矩阵ab存在可逆矩阵,p q使.bpaq(5)若(,)(,),ra be x则a可逆，且1.xa b特别地， 若( ,)(,),ra ee x则a可逆，且1.xa2.重点、难点对矩阵a作一系列初等行(列)变换，

38、相当于用可逆矩阵左(右)乘a，由此引出用初等变换求逆阵的方法；会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解. 3.例题与解题方法例 1 设1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,aaaaaaaaaaaaaaaaabaaaaaaaaaaaaaaaa120001100001000010,0010010010000001pp其中a可逆，则1b等于(a) 112app(b) 112p ap(c) 112pp a(d) 121p a p分析：把矩阵a的 1,4 两列对换 ,2,3 两列对换

39、即得到矩阵b,根据初等矩阵的性质,有12bapp或21.bap p那么111111211212().bap pp papp a所以应选 (c). 例 2 设 4 阶矩阵1100213401100213,0011002100010002bc且矩阵a满足关系式1(),tta ecbce试将所给关系式化简,并求出矩阵a. 解：由所给的矩阵关系得1(),ta c ecbe即(),ta cbe故1() .tacb用初等变换法求1() ,tcb由于学习好资料欢迎下载10001000100010002100010001002100() ,)3210001002103010432100010321400110

40、00100010001000010021000100210000101210001012100021230100010121tcbe故110002100() 12100121tacb其他例题参见ppt 本授课单元思考题、讨论题、作业：79.3(2)4(1)p授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.3 矩阵的秩本授课单元教学目标或要求：1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。2.知道矩阵秩的基本性质。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本

41、内容矩阵的秩(1) 定义矩阵的k阶子式，矩阵的秩。(2) ()r ara的行阶梯形含r个非零行a的标准形0.00ref(3) 矩阵秩的性质0()min, ;r am n()();tr ar a 若,ab则( )( );r ar b 若,p q可逆，则()();r paqr amax(),()( ,)()();r ar br a br ar b特别地，当b为列向量b时，有()( , )()1;r ar a br a()()();r abr ar b()min( ),();r abr ar b 若0,m nn lab则( )( ).r ar bn2.重点、难点矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变

42、换求秩，应用矩阵的秩解决问题。学习好资料欢迎下载3.例题与解题方法例 1.设三阶矩阵a为111111xaxx试求秩()r a分析 矩阵a含有参数, x因此其秩一般随x的变化而变化， 讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。解: 方法一直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论由于21111(2)(1)11xxxxx故当1x且2x时,|0,()3;ar a当1x时, | 0,a且1 111 11 ,()1;1 11ar a当2x时,|0,a且211121112a,这时有二阶子式210.12因此()2.r a方法二利用初等变换求秩21111111111011111111110

43、1100(2)(1)xxxaxxxxxxxxxxxxxx因此当1x且2x时,( )3;r a当1x时, ()1;r a当2x时,()2.r a例 2. 设a为5 4矩阵1231212011311042025ka且a的秩为 3,求. k解: 方法一用初等变换学习好资料欢迎下载1231123121205600113011311040333202504431231123101130113001 15001 15000120001000150000kkakk可见 ,()3,r a则必有10,k即1.k方法二因为a的秩为 3,故其 4 阶子式1231212001131104k解得1.k例 3. 设*a为

44、n阶矩阵a的伴随矩阵 ,证明*,(),()1, ()1,0,()1.n r anr ar anr an证明 : 已知(),r an则a可逆,| 0,a由*|aaa e知*a可逆 ,所以*().r an若()1,r an则a| 0,a由*|0,aaa e*( )(),r ar an*()()1,r anr a又()1,r an由矩阵秩的行列式定义有,矩阵a至少有一个1n阶子式不为零,那么矩阵*a中至少有一个元素非零,所以*()1,r a从而有*()1.r a若()1,r an则a的任一1n阶子式为零 ,故*0a,所以*()0.r a本授课单元思考题、讨论题、作业：79.9(2)(3)p授课题目（

45、教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4 线性方程组的解本授课单元教学目标或要求：1.理解线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件). 2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。3.知道矩阵方程axb有解的充要条件。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容(1) 线性方程组的解法学习好资料欢迎下载1 基本定理n元线性方程组.axb 无解的充分必要条件是()(, );r ar a b 有唯一解的充分必要条件是()(, );r

46、ar a bn 有无限多解的充分必要条件是()(, ).r ar a bn2 求解线性方程组的步骤(见教材 ) (2) 重要定理定理 1 线性方程组axb有解的充分必要条件是()( , ).r ar a b定理 2 n元齐次线性方程组0m nax有非零解的充分必要条件是().r an把定理 1 推广到矩阵方程，得定理 3 矩阵方程axb有解的充要条件是( )( ,).r ar a b2.重点、难点根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解；线性方程组的基本定理。3.例题与解题方法例1 求方程组的通解123412341234124562345xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵作初等行变换

47、得1111111111(, )21456032341234503234571021111133242401101133330000000000a b原方程组化为134234752334233xxxxxx取自由未知量340,xx得特解为07 4(,0,0),3 3t对应原方程的齐次方程组xxxxx令3410,01xx得基础解系为1252(,1,0) ,( 2, 1,0,1) ,33tt故原方程的通解为学习好资料欢迎下载01122127523342133001100 xkkkk其中12,k k为任意常数例 2. 设1232123123424xxkxxkxxkxxx问方程组

48、什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出相应的解。解 方法一方程组的系数行列式11|11(1)(4)112kakkk当|(1)(4)0akk即1,4k时，方程组有唯一解，且唯一解为(按克莱姆法则 ) 221232242,111kkkkkxxxkkk1k时，方程组为1231231234124xxxxxxxxx此时11141114(, )1111023811240005a b()2( , )3,r ar a b方程组无解。4k时，方程组为1231231234441624xxxxxxxxx114411441030( , )1411601140114112400000000a b()(, )23,r

49、ar a b故方程组有无穷多解，其同解方程组为1323304xxxx，通解为1230341 ,01xxxcx其中c为任意常数学习好资料欢迎下载本授课单元思考题、讨论题、作业：80.12(2),13(3)p授课题目（教学章节或主题）：第四章向量组的线性相关性1向量组及其线性组合2向量组的线性相关性本授课单元教学目标或要求：一、了解n维向量空间的概念二、掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件三、掌握线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线性关系本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一、向量

50、组及其线性组合（定义、定义、定义3、定理 1、定理 2、定理 3）二、n维向量的表示方法三、向量空间四、向量、向量组与矩阵五、线性相关性的概念（定义4）六、线性相关性的判定(定理 4、定理 5）向量可由（不可由）1，2，n线性表示的主要结论：（1）若 = k11+ k22 + +knn（ki为实数），则说可由1，2，n线性表示命题：可由向量组1，2，n线性表示方程组 ax = 有解，其中a =（1，2，n）秩（ a）= 秩（ a，） 推论 1：可由1，2，n线性表示，且表达式是惟一的方程组 ax = 有惟一解秩（ a）= 秩（ a， ）= n1，2，n线性无关，1，2，n， 线性相关推论 2：

51、可由1，2，n线性表示，且表达式是不惟一的秩（ a）= 秩（ a，） n（2）若对于任何一组数k1， k2，kn都有k11+ k22 + + knn则说不可由1，2，n线性表示命题：不可由1，2，n线性表示方程组 ax = 无解秩（ a）秩（ a， ） ，其中 a =（1，2，n） 七、线性相关性在线性方程组中的应用重点（难点） ：. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。本授课单元思考题、讨

52、论题、作业：. p108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、 20 授课题目（教学章节或主题）：第四章向量组的线性相关性学习好资料欢迎下载3向量组的秩本授课单元教学目标或要求：一、掌握最大无关组与向量组的秩的概念二、掌握求向量组的秩的方法三、掌握求向量组的最大无关组的方法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一、最大线性无关向量组的概念（定义 5）二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩的重要结论：1m 维向量组1，2，n线性无关的充分必要条件：向量组1，2，n线性无关对于任何一组不全为零的数组k1，k2，kn都有 k11+ k22+ +k

53、nn 0 对于任一个i（1i n）都不能由其余向量线性表示ax = 0 只有零解秩（ a）= n，其中 a =（1，2，n） 2m 维向量组1，2，n线性相关的充分必要条件：向量组1，2， ，n线性相关存在一组不全为零的数组k1， k2， ，kn，使得 k11+ k22 + + knn 0 至少存在一个i（1i n）使得i可由其余向量线性表示ax=0 有非零解秩（ a）n，其中 a =（1，2，n） 3线性相关向量组的几个结论：（1）设1，2线性相关，则1，2，3必线性相关（反之不一定对）；（2）含有零向量的向量组必线性相关（反之不一定对）；（3）若向量个数向量维数，则向量组必线性相关4列向量

54、组1，2，t可由1，2，s线性表示则（1）若 t s，则1，2，t线性相关；（2）若1，2，t线性无关，则ts；重点（难点） ：最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。本授课单元思考题、讨论题、作业：p109：13、14、 15、16、17 授课题目（教学章节或主题）：第四章向量组的线性相关性4线性方程组的解的结构本授课单元教学目标或要求：一、理解基础解

55、系的概念。学习好资料欢迎下载二、掌握齐次线性方程组基础解系的求法。三、掌握非齐次线性方程组解的求法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一、齐次线性方程组解的性质（性质、性质、定理7）线性齐次方程组ax = 0（a 是 m n矩阵）解的性质：（1）设 x1，x2是 ax = 0 的两个解，则k1x1+ k2x2也是 ax = 0 的解，其中k1，k2为两个任意数；（2）零解 x = 0 总是 ax = 0 的解； ax = 0 有非零解秩（a） n；ax = 0 只有零解秩（ a）= n = a 的列数；若a 是 n 阶矩阵，则ax = 0 有

56、非零解 | a | = 0，ax = 0 只有零解 | a |0 ；二、基础解系及其求法（1）基础解系定义；掌握判断一组向量1，2，p是 ax = 0 的基础解系的三点；（2）设秩（ a）= r，则ax = 0 的基础解系中含有n - r 个向量 x1，x2， xn r；ax = 0 的通解（一般解）是k1x1 + k2x2 +kn rxn r其中 k1，k2， kn r是任意常数；ax = 0 的任何 n r 个线性无关的解都是ax = 0 的基础解系三、非齐次线性方程组解的性质及求法线性非齐次方程组ax = ， （ 0）（1）ax = 的导出组ax = 0 两者之间关系：若 ax =有惟一

57、解，则ax = 0 只有零解（惟一解） ；若 ax =有无穷多组解，则ax = 0 有非零解（无穷多组解） 若 ax = 0 只有零解（有非零解） ，不能简单地判断ax = 有惟一解（有无穷多组解），而需要其它条件才能判断（2）设 x1，x2是 ax = 的解，则x1x2是导出组ax = 0 的解；（3）设秩（a） = 秩 （a ） = r， 则 ax =的通解： + k1x1+ k2x2 + + kn rxn r， 其中 x1， x2， ，xn r是导出组ax = 0 的基础解系，是 ax = 的一个特解（4）设 x1，x2是 ax = 的两个解，则x1 + x2， x1（ 1）肯定不是ax

58、 = 的解重点（难点） ：1 线性相关性在线性方程组中的应用；2 基础解系的求法本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。学习好资料欢迎下载本授课单元思考题、讨论题、作业：p110：22、28、 29、33、35 授课题目（教学章节或主题）： 第四章向量组的线性相关性5向量空间；第四章习题课本授课单元教学目标或要求：一、掌握向量空间（基和维数）的概念二、掌握子空间的概念三、掌握由向量组生成的向量空间本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一、向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；二、由向量组生成的向量空间三、向量在两个基中的坐标之间的关

59、系式(坐标变换公式). 四、习题课重点（难点） ：向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间子空间的概念向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法本授课单元教学手段与方法：讲授、练习本授课单元思考题、讨论题、作业：p112：36、39、 40 授课题目（教学章节或主题）：第五章相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性2 方阵的特征值与特征向量本授课单元教学目标或要求：一了解向量的内积、长度及正交性的概念二掌握方阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一内积的定义及性质二向

60、量的长度及性质三正交向量组的概念及求法基本概念：矩阵的特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式四正交矩阵与正交变换五特征值与特征向量的概念六特征值和特征向量的性质（1）设 x1，x2都是 a 的属于特征值0的特征向量， 则 k1x1+ k2x2也是属于0的特征向量 （其学习好资料欢迎下载中， k1， k2为任意常数，且k1x1+ k2x2 0） 若 x1，x2是 a 的属于两个不同特征值1，2的特征向量，则x1+x2不是 a 的特征向量（2）ninniatraaa1221112n =| a| （3）命题： n 阶矩阵 a 可逆a 满秩a 非奇异a 0 a 无零特征值（4）设是 a 的特征值， x