广东省汕头市第四中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析

1、广东省汕头市第四中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是 （    ）   a.        

2、 b.             c.         d. 参考答案：2. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是（   ）。 a      b      c       d参考答案：a知识点：由三视图求

3、几何体的表面积.解析 ：解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的球的半径，这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积,故选a思路点拨：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的，据此可得出这个几何体的表面积3. =（    ）a-2-i   b-2+i    c2-id2+i参考答案：【知识点】复数的运算l4c 解析：因为，所以选c.【思路点拨】直接利用复数的除法与乘法运算进行计算即可.4. 已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是(a) 

4、60;   (b)    (c)     (d)参考答案：a【知识点】简单的线性规划问题e5作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由目标函数z=-mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10，最小值为-2m-2，当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，目标函数z=-mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x-y+6=0的斜率小，即-1m2，【思路点拨】作出不等式组对应的

5、平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=-mx+y的最大值为-2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围5. 已知函数f（x）为定义域在r上的奇函数，当x0，f（x）=lnx2xf（1），则当x0时，f（x）的表达式为（）af（x）=ln（x）+2x+1bf（x）=ln（x）2x+1cf（x）=ln（x）2x1df（x）=ln（x）+2x1参考答案：c【考点】36：函数解析式的求解及常用方法【分析】求出f（1）的值，设x0，则x0，故f（x）=ln（x）2（x）+1=f（x），由此可得函数f（x）的解析式【解答】解：

6、f（1）=2f（1），解得：f（1）=1，由奇函数的性质可得：设x0，则x0，故f（x）=ln（x）2（x）+1=f（x），求得f（x）=ln（x）2x1，故选：c6. 设函数，则它的图象关于   (    ）       ax轴对称    by轴对称    c原点对称  d直线对称参考答案：c7. 如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，p为aa1的中点，m在侧面aa1b1b上，有下列四个命题：若，则面积

7、的最小值为；平面内存在与平行的直线；过a作平面，使得棱ad，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；过a作面与面平行，则正方体abcd-a1b1c1d1在面的正投影面积为则上述四个命题中，真命题的个数为（   ）a. 1b. 2c. 3d. 4参考答案：c【分析】建立空间坐标系，得到点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；对于，平面，所以也与平面相交故错；对于过作平面，使得棱，在平面的正投影的长度相等，因为，且，所以在平面的正投影长度与在平面的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平面的个数；对于面与面平行，则正方体在面的正投影为正六边形，且正六边形的边

8、长为正三角形外接圆的半径，故其面积为【详解】解：对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过作平面，是垂足，过作，交于，连结，则，设，则，解得，当时，正确；对于，平面，所以也与平面相交故错；过作平面，使得棱，在平面的正投影的长度相等，因为，且，故在平面的正投影的长度等于在平面的正投影的长度，使得棱，在平面的正投影的长度相等，即使得使得棱，面的正投影的长度相等，若棱，面的同侧，则为过且与平面平行的平面，若棱，中有一条棱和另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱，在平面的正投影的长度相等的平面有4个；正确过作面与面平行，则正方体在面的正投影为一个正六边形

9、，其中平面，而分别垂直于正三角形和，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，在平面内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形的外接圆半径（投影线与正三角形、垂直），所以正六边形的边长为，所以投影的面积为对故选：c【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力8. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为（    ）    参考答案：b9. 在abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c

10、，若，且，则abc的面积为a.          b.           c.             d. 参考答案：a在中，由余弦定理得，解得， ，故选a.10. 将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（

11、0;   ）       a120                     b240                   

12、0;   c360                     d720参考答案：答案：b二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知ar，i为虚数单位，若为实数，则a的值为          .参考答案：?2为实数，则. 12. 若等比数列an的公比q1且满足：a1+a2+

13、a3+a7=6，a12+a22+a32+a72=18，则a1a2+a3a4+a5a6+a7的值为    参考答案：3【考点】数列的求和；等比数列的前n项和【分析】由已知利用等比数列的前n项和公式求得，进一步由等比数列的前n项和求得a1a2+a3a4+a5a6+a7的值【解答】解：a1+a2+a3+a7=6，a12+a22+a32+a72=18，等比数列an的公比q1，则a1a2+a3a4+a5a6+a7=故答案为：3【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13. 已知数列的前项和为，且当时是与的等差中项，则数列的通项参考答案：

14、14. 已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为_       .参考答案：15. 在二项式的展开式中，含项的系数记为，则         的值为          参考答案：    略16. 现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂  红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的

15、  涂法种数共有_（用数字作答）参考答案：617. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分）如图，三棱锥sabc中，sc丄底面abc,m为sb中点，n在ab上,满足(i)求点n到平面sbc的距离；(ii)求二面角c-mn-b的大小.参考答案：解：（1）取的中点，连结、，则由底面，知，又，平面，平面sbc，即为点n到平面sbc的距离.由题易知，所以.5分（2）(方法一)在直角三角形中，因为为的中点，所以。由（1）

16、知，所以，作于点，连结，则，所为二面角的平面角在三角形中，易知，故可求，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即二面角的大小为.             12分 （方法二）过c作交ab于d，如图建立空间直角坐标系，则易知点、，则、， 设平面的法向量为，则由，得故可取，再设平面的法向量为，则由，得故可取，则向量与的夹角大小即为二面角的大小。，故二面角的大小所求. 12分略19. （14分）已知函数f（x）=a（x1）2+lnx，ar（）当a=时，求函数y=f（x）的单调区

17、间；（）a=时，令h（x）=f（x）3lnx+x求h（x）在1，e上的最大值和最小值；（）若函数f（x）x1对?x1，+）恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】导数的综合应用【分析】（）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（）构造函数，转化为设g（x）=a（x1）2+lnxx+1，x1，+），则g（x）max0，x1，+），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可【解答】解：（）当a=时，f（x）=（x1）2+lnx，（x0）f'

18、;（x）=x+=，当0x2时，f'（x）0，f（x）在（0，2）单调递增；当x2时，f'（x）0，f（x）在（2，+）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+）（）当a=时，h（x）=f（x）3lnx+x=x22lnx，h（x）=x令h（x）=0解得x=，当x1，时，h（x）0，当x，e）时，h（x）0，故x=是函数h（x）在1，e上唯一的极小值点，故h（x）min=h（）=1ln2，又h（1）=，h（e）=e22，所以h（x）max=e22    （）由题意得a（x1）2+lnxx1对x1，+）恒成立，设g（x）=a（

19、x1）2+lnxx+1，x1，+），则g（x）max0，x1，+），当a0时，若x1，则g（x）0，所以g（x）在1，+）单调递减，g（x）max=g（1）=00成立，得a0；当时，g（x）在1，+）单调递增，所以存在x1，使g（x）g（1）=0，则不成立；当时，x=1，则f（x）在1，上单调递减，+）单调递增，则存在，+），有g（）=a（1）2+ln+1=lna+a10，所以不成立，（13分）综上得a0（14分）【点评】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题20. 口袋里装有7个大小相同小球, 其中三个标有数字1, 两个标

20、有数字2, 一个标有数字3, 一个标有数字4.() 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球, 记第一次与第二次取到小球上的数字之和为. 当为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由; () 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与第二次取到小球上的数字之和为. 求的分布列和数学期望.参考答案：()  可能的取值为() 可能的取值为                 

21、;                234567               21. abc的面积是30，内角a，b，c所对边长分别为a，b，c，cosa=（）求?；（）若cb=1，求a的值参考答案：【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可

22、知，需求bc的值，考虑已知abc的面积是30，cosa=，所以先求sina的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosa=得sina的值，再根据abc面积公式得bc=156；直接求数量积?由余弦定理a2=b2+c22bccosa，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值【解答】解：由cosa=，得sina=又sina=30，bc=156（）?=bccosa=156×=144（）a2=b2+c22bccosa=（cb）2+2bc（1cosa）=1+2?156?（1）=25，a=522. (本小题满

23、分12分) 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点（i）求椭圆的方程；（ii）直线与椭圆相交于、两点， 为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围参考答案：（i）依题意，可设椭圆的方程为             由  椭圆经过点，则，解得 椭圆的方程为·············

24、3;·················································

25、3;······························ （ii）联立方程组，消去整理得·················

26、········ 直线与椭圆有两个交点， ，解得  ············································