直线和圆的方程——高中数学基础知识与典型例题

1、学习必备欢迎下载数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0 ,故直线倾斜角的范围是0180. 2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率k,即tank. 注：每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.当90 时，直线 l 垂直于x轴，它的斜率k 不存在 . 过两点111(,)p xy、222(,)p xy12()xx的直线斜率公式2121tanyykxx二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件

2、斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y- y0=k(x-x0) (x0，y0)直线上已知点，k 斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)， (x2，y2)是直线上两个已知点与 两 坐 标 轴 平 行的 直 线 不 能 用 此式截距式xa+yb=1 a直线的横截距b直线的纵截距过（ 0，0）及与两坐 标 轴 平 行 的 直线不能用此式一般式ax+by+c=0 (a 、b 不全为零 ) a、b 不能同时为零直线的方程注:确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法; 确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方

3、程的适用范围. 直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程ax+by+c=0（a2+b20）是一一对应的. 直线的方程例 1. 过点),2(am和)4,(an的直线的斜率等于1, 则a的值为 ( ) (a)1(b)4(c)1 或 3 (d)1 或 4 例 2. 若,62, 则直线 2xcos3y1=0 的倾斜角的取值范围（）(a),62(b) 5,6(c) (0,6) (d) 5,2 6例 3. 直线123yx的倾斜角是（） （a）1arctan()3（b）1arctan3（c）1 arctan()3（ d）1arctan()3例 4. 连接(4,1)a和( 2,4)b两点的直线斜率为

4、_,与 y 轴的交点p的坐标为 _. 例 5. 以点)1,5()3, 1(和为端点的线段的中垂线的方程是.两直线的位置关系一、两直线的位置关系1. 两直线平行 : 斜率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，则 l1l2k1=k2;两条 不重合 直线21,ll的倾斜角为21, 则1l212l. 2.两直线垂直 : 斜率存在的两条直线l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2, 则 l1l2k1k2= - 1; 两直线l1a1x+b1y+c1=0， l2a2x+b2y+c2=0，则 l1l2a1a2+b1b2 = 0 3. “到角”与“夹角”: 直线1l到2l的角（方

5、向角） ；直线1l到2l的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是(0,). 注 : 当 两 直 线 的 斜 率k1,k2都 存 在 且k1 k2 - 1时,2112tan1kkk k;当直线的斜率不存在时,可结合图形判断. 例 6. 将直线0632yx绕着它与y轴的交点逆时针旋转45的角后，在x轴上的截距是( ) (a)54(b) 52(c) 25(d) 45例 7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次， 使点 (2，0)与点 (2， 4)重合， 若点（7，3）与点（ m ,n）重合，则 m+n 的值为 () (a)4 (b)4 (c)1

6、0 (d)10 例 8. 与直线:2350 xy平 行且 过 点(1, 4)a的 直 线的方程是 _。例 9. 已知二直线08:1nymxl和012:2myxl，若21ll，1l在 y 轴上的截距为 -1 ， 则m=_ ，n=_. 学习必备欢迎下载两直线的位置关系两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是0,2,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2- 1 时，则有2112tan1kkk k. 4.距离公式。已知一点p(x0，y0)及一条直线l：ax+by+c=0，则点p到直线 l 的距离

7、 d=0022|axbycab；两平行直线l1:ax+by+c1=0， l2:ax+by+c2=0 之间的距离 d=1222|ccab。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系. 在点斜式方程y- y0=k(x- x0)中，当（ x0，y0）确定， k 变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当 k确定， (x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系. 已知直线l：ax+by+c=0，则方程ax+b y+m=0 （m 为参数）表示与 l 平行的直线系；方程 - bx+a y+n=0（n 为参数

8、）表示与l 垂直的直线系。已知直线l1：a1x+b1y+c1=0，直线 l2：a2x+b2y+c2=0，则方程 a1x+b1y+c1+(a2x+b2y+c2)=0 表示过 l1与 l2交点的直线系（不含l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路 . 例 10. 经过两直线11x3y90 与12xy 190 的交点，且过点 (3,- 2)的直线方程为 _. 例 11. 已知 abc 中，a（2，-1） ，b（4，3） ，c（3，- 2） ，求：bc 边上的高所在直线方程； ab 边中垂线方程；a 平分线所在直线方程 . 例 12. 已知定点p（6，4）与定直线 l1：y=4

9、x，过 p 点的直线 l与 l1交于第一象限q点，与 x 轴正半轴交于点 m，求使 oq m 面积最小的直线 l 方程. 简单的线性规划线性规划当点 p(x0，y0)在直线 ax+b y+c=0 上时，其坐标满足方程ax0+by0+c=0；当 p不在直线ax+by+c=0 上时，ax0+b y0+c0， 即 ax0+by0+c0 或 ax0+by0+c0（或 0） ,圆心坐标为（-2d， -2e） ，半径为 r=2422fed. 圆的参数方程： (x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为 :cossinxarybr（为参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。注: 确定圆的方程

10、需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法 ; 圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识. 圆 的 直 径 式 方 程 ：1212()()()()0 xxxxyyyy, 其 中1122(,) ,(,)a xyb xy是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导） . 二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线： ax+by+c=0，圆： x2+y2+dx+ey+f=0，联立得方程组2200axbycxydxeyf消元一元二次方程24bac判别式000相交相切相离（2）几何法：直线 :ax+by

11、+c=0，圆： (x- a)2+(y- b)2=r2，圆心（ a，b）到直线的距离为 d=22|aabbcab，则drdrdr相离相切相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为o1、o2，半径分别为 r1，r2，|o1o2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|o1o2|r1+r2两圆外离；|o1o2|=r1+r2两圆外切；| r1- r2|o1o2| r1+r2两圆相交；| o1o2 |=| r1-r2|两圆内切；0| o1o2|0，m0 x0-10 20000101|4221omqxsomxmxx令 x0-1=t，则 t0,210(1)110(2)tsttt40 当且仅当 t=1，x0=11 时

12、，等号成立 ,此时 q （11，44） ，直线 l：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数o msq的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距 b，角度 ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例 13.b 例 14. 4，2例 15.14学习必备欢迎下载例 16. 种蔬菜 20 亩,棉花 30 亩,水稻不种 ,总产值最高 27 万元. 例 17.解：设初中 x 个班，高中 y 个班，则2030(1)28581200 xyxy设年利润为 s，则yxyxyxs22.16.15.22.1215.04006.060作出（1） 、

13、 （2）表示的平面区域，如图，过点 a 时，s 有最大值，由1200582830yxyx解得 a（18，12）. 易知当直线 1.2x+2y=s 即学校可规划初中18 个班，高中 12 个班, 6 .45122182.1maxs（万元） . 可获最大年利润为45.6 万元. 评线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：根据实际问题的约束条

14、件列出不等式，作出可行域，写出目标函数，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的是函数方程思想的应用 . 例 18.a 例 19.d 例 20. x2+)1(142xy例 21. (x94)34()3422y例 22. 解：以12o o的中点o为原点，12o o所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1( 2 0)o，2(2 0)o，.由已知2pmpn，得222pmpn.因为两圆半径均为1，所以221212(1)popo.设()p x y，则2222(2)12(2)1xyxy，即22(6)33xy.(或221230 xyx) 例 23.d 例 24.c 例 25.c 例 26.b 例 27. x2+(y- 1)2=1 例 28. x+y=0 或 x+7y- 6=0 例 29. 解：x2+y26x8y=0 即(x3)2+(y4)2=25，设所求直线为 ykx。圆半径为 5，圆心 m（3，4）到该直线距离为3，2