(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.4.1平面Word版含答案

1、& 4 空间点、直线、平面之间的位置关系& 4.1 平面导I学聚I焦预习教材 P124- P127 的内容，思考以下问题:1.教材中是如何定义平面的？2 .平面的表示方法有哪些？3 点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示?4 .三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？、新知初探/尹1 .平面(1) 平面的概念几何里所说的“平面”， 是从课桌面、 黑板面、 海面这样的一些物体中抽象出来的平 面是向四周无限延展的.(2) 平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向._(3)

2、平面的表示方法我们常用希腊字母 a, 3 , Y 等表示平面，如平面 a、平面氏平面丫等，并将它写在代 表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的 两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面a，也可以表示为平面 ABCD、平面 AC 或者平面 BD .2zzzc考点学习目标核心素养平面的概念了解平面的概念，会用图形与字母表示平面直观想象点、线、面的位置关系能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系直观想象三个基本事实及推论能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用直观想象、逻辑推理硏读导学尝述自主学习名

3、师点拨 .(1) 平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量.(2) 平面无厚薄、无大小，是无限延展的.2 .点、线、面之间的关系及符号表示A 是点，I, m 是直线，a,3是平面.文字语言付号语言图形语言A 在 1 上A 土 IAIA 在 1 夕卜A?IAtA 在a内A aA 在a外A?aI 在a内I?aI 在a外I?aX_/I, m 相交于 AIAm=AI,a相交于 AICl a=Aa,3相交于 1aCl 3=Iyw名师点拨 .从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1) 直线可以看成无数个点组成的集合， 故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“或“？”表示.(2) 平面

4、也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“？表示.(3) 直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“？”或“表示.3.平面的性质基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实 1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A, B, C 三点不共线 ?存在唯一的平面a使 A,B, C a基本事实 2如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内A l , B l，且 A a,B a?l?a基本事实 3如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线P a,且 P价aQ B=l，且 P l名师点拨.在画两个相交平面时

5、，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.如下图4.平面性质的三个推论推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图(1).推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图(2).推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图(3).自我检测0 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.()(2) 22 个平面重叠起来要比 10 个平面重叠起来厚一些.()(3) 直线 a 与直线 b 相交于点 A，可用符号表示为 aQb = A.()2平面 A

6、BCD 的面积为 100 m .()(5)过三点 A, B, C 有且只有一个平面.()，图所示: 答案：X(2)X(3)V(4)X(5)X因 若一直线 a 在平面a内，则正确的图形是()A.I aB.P?lC.l?a解析：选 A.观察图知：P?l, P a,I?a,则 I a是错误的.下面是一些命题的叙述语(A, B 表示点，a 表示直线，a, B表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A .因为 A a,B(嘉所以 AB aB .因为 a a,a 3，所以aA 3=aC.因为Aa,a?a,所以 A aD .因为 A?a,a?a,所以 A?a解析：选 C.对于 A，直线 AB 在平面a内

7、，应为 AB?a,故 A 错误;对于 B，直线 a 在平面a B内，应为 a?a,a? 故 B 错误;对于 C,因为 A a, a?a,所以 A a，故 C 正确；对于 D , A?a , a?a,有可能 Aa,故 D 错误.故选 C. 已知如图，试用适当的符号表示下列点、 系：(1) 点 C 与平面肢_ .(2) 点 A 与平面a: _.(3) 直线 AB 与平面a： _.直线 CD 与平面a: _平面a与平面 3：_ .答案：(1)C?3(2) A?a(3)ABA a=B (4)CD?a(5)a A 3= BD探究案*探究点图形、文字、符号语言的相互转化例 1(1)用符号语言表示下面的语句

8、，并画出图形.解析：选 A.选项 B, C, D 中直线 a 在平面a外，选项 A 中直线 a 在平面a如图所示，下列符号表示错误的是()直线和平面之间的平面 ABD 与平面 BDC 交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.aA 3= =l，Al,AB ?a ,AC?3.【解】(1)符号语言表示： 平面 ABDA平面 BDC = BD,平面 ABCA平面 ADC = AC.用图形表示如图所示.A 在平面a与平面3的交线 I 上，直线 AB, AC 分别在平面a,3内，图形语言表示如图 所示.三种语言的转换方

9、法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.(1)点 P 与直线 AB; 点 C 与直线 AB;点 M 与平面 AC;点 Ai与平面 AC;(5) 直线 AB 与直线 BC;(6) 直线 AB 与平面 AC;(7) 平面 AiB 与平面 AC. 解：点 P直线 AB.点 C?直线 AB.点 M 平面 AC.点 Ai?平面 AC.直线 ABA直线 BC =点 B.图(2)文字语言叙述为：点i 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之

10、间的关系.直线 AB?平面 AC.平面 AiB 门平面 AC =直线 AB.2 .根据下列条件画出图形：平面aQ平面3=直线 AB，直线 a?a，直线 b?3, a / AB, b/ AB.解：图形如图所示.探究点 _点、线共面问题例 m 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【解】 已知：如图所示，1 小 12= A,123= B,丨1口3= C.证明：法一：（纳入平面法）因为 1iQ12= A,所以 11和 12确定一个平面a因为 I2QI3= B,所以 B 12.又因为 12?a,所以 B a同理可证 C a.又因为 B 13, C 13,所以 13?a.所以直线 1i, 12,

11、13在同一平面内.法二：（辅助平面法）因为 1iQ12= A,所以 11, 12确定一个平面a因为 I2QI3= B,所以 12, 13确定一个平面3因为 A12,12?a,所以 A a.因为 A12,12?3,所以 A 3求证：直线 11, 12, 13在同一平面内.同理可证 Ba,B3, Ca, C 3.所以不共线的三个点 A , B , C 既在平面a内，又在平面3内.所以平面a和B重合，即直线 11, 12, 13在同一平面内.例0|CAA1跟踪训练平面a, B重合.平面.证明：如图所示.由已知 a / b,所以 Aa,Ba,且 A 1, B 1 ,所以 1?a.即过 a , b ,

12、1 有且只有一个平面.探究点蜃三点共线、三线共点问题1所以EF丿2DIC,所以 E , F ,DI,C 四点共面,可设DIFACE = P.又DIF?平面 AiDiDA , CE?平面 ABCD ,所以点 P 为平面 AiDiDA 与平面 ABCD 的公共点.证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法:先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法:已知直线 a / b,直线 I 与 a , b 都相交，求证：过 a , b , 1 有且只有一个设 aA1=A,bAI=B,先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面3,最后证明所以过 a , b 有且只有一个平面a如图所示，在正

13、方体 ABCD-AiBiCiDi中，E、F 分别为 AB、的中点求证：CE ,DIF, DA 三线交于一点.【证明】 连接 EF ,DIC, AiB ,因为 E 为 AB 的中点,iF 为 AAi的中点，所以 EFJAiB.又因为 AiBDiC ,C.IA a =MD.IAa =N又因为平面 AiDiDA 门平面 ABCD = DA ,所以据基本事实 3 可得 P DA,即 CE , DiF , DA 三线交于一点.互动探究变条件、变问法若将本例条件中的“ E, F 分别为 AB, AAi的中点”改成“ E, F 分别为AB, AAi上的点，且 DiFACE = M”，求证：点 D、A、M 三

14、点共线.证明：因为 DiFACE= M ,且 DiF?平面 AiDiDA，所以 M 平面 AiDiDA ,同理 M 平面 BCDA ,从而 M 在两个平面的交线上,因为平面 AiDiDAA平面 BCDA = AD ,所以 M AD 成立.所以点 D、A、M 三点共线.(1)证明三点共线的方法证明三点共线的方法方法:这两牛平面的輕共点，根播基本事实3可知i这些点截在诵个平面的交張上；注諒丑卡商煎蔬元一示五鼻 扭后证明期点也住此頁践上:(2)证明三线共点的步骤证明三线共点的步骤证明：因为梯形 ABCD 中，AD /BC,所以 AB, CD 是梯形 ABCD 的两腰,所以 AB, CD 必定相交于一

15、点,方法二歩骡师明话斥丘義戾帝区赛于二羡i.如图，已知平涉骡二歩骤三说明这个点在另萌个甲面上，井且这两个乎面相交蒂到交戟况过此点从而得到三螞共点1a, B,且aA 3=I，设梯形 ABCD 中，AD / BC ,且 AB?a, CD?3求证：AB, CD , I 共点.如图，设 ABQCD= M.又因为 AB?a,CD?3,所以 M a,且 M 3,又因为aA 3=l,所以 MI即 AB, CD , l 共点.2 .如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB / CD，直线 AB, BC, AD , DC 分别与平面a相 交于点 E, G, H, F.求证：E, F, G, H 四点必定共线.证

16、明：因为 AB / CD，所以 AB, CD 确定一个平面3即平面 ABCD），又因为 ABA a=E ,AB?3,所以 Ea, E 3,即 E 为平面a与3的一个公共点.同理可证 F , G , H 均为平面a与3的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以 E , F , G , H 四点必定共线.测评案 1.能确定一个平面的条件是（）A .空间三个点C.无数个点解析：选 D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A , B , C 条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确.2 .经过同一条直线上的 3 个点的平面（）A .有且只有一个B .有且只有 3

17、 个C.有无数个D .不存在解析：选 C.经过共线3 个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点.B .一个点和一条直线D .两条相交直线C.IA a =MD.IAa =N3 .如果直线 a?平面a,直线 b?平面a,M a , N b , M I , N I,则（）A.I?aB.I?a解析：选 D.根据基本事实 3 可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有 且只有一条经过该点的公共直线.5 说明语句“ I?a, mA a= A, A?l ”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形.解：直线 I 在平面a内，直线 m 与平面a相交于点 A,且点 A 不在直线 I 上，图形如

18、图 所示.应用案 5A基础达标1 .下列说法中正确的是（）A .三点确定一个平面B .四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D .两个不同平面a和B有不在同一条直线上的三个公共点解析：选 C.不共线的三点确定一个平面，故A 不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C 正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D 不正确，故选 C.2 .给出以下四个命题：1不共面的四点中，其中任意三点不共线；2若点 A, B, C, D 共面，点 A, B, C, E 共面，则点 A, B, C, D, E 共面；3若直线

19、a, b 共面，直线 a, c 共面，则直线 b, c 共面；4依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C. 2D . 3解析：选 B假设其中有三点共线， 则该直线和直线外的另一点确定4 .如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )A .没有其他公共点B .仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D .有无数个公共点解析：选 A.因为 M a, a?a,所以 Me a,同理，N a,又 M I,N I，故 I?a.通黄 *第四个点不在此平面内时，则可确定4 个平面.一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以 平面有三个公共点 A，B，C,但 A，B

20、，C, D，E 不共面；显然不正确；不正确，因为此 时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.3.已知a, B为平面，A, B, M , N 为点，a 为直线，下列推理错误的是（）A.Aa,A 3 ,Ba,Bp?a?3B.Ma,M3,N a ,N3?a A 3= =MNC.A a ,A 3?a A 3= =AD.A, B, M a, A, B, M 3,且 A,B,M 不共线？a,3重合解析：选 C.选项 C 中，a与3有公共点 A,则它们有过点 A 的一条交线，而不是点 A，故 C 错.4. 在空间四边形 ABCD 中，在 AB, BC, CD , DA 上分别取 E, F ,

21、 G , H 四点，如果 GH ,EF 交于一点 P,则（）A . P 一定在直线 BD 上B . P 一定在直线 AC 上C. P 在直线 AC 或 BD 上D . P 既不在直线 BD 上，也不在 AC 上解析：选 B.由题意知 GH?平面 ADC , GH , EF 交于一点 P,所以 P 平面 ADC .同理，P 平面ABC.因为平面 ABCA平面 ADC = AC,由基本事实 3 可知点 P 一定在直线 AC 上.5 下列各图均是正六棱柱，P, Q , R, S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（）解析：选 D.在选项 A, B, C 中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知

22、均有 PS/QR,即在此三个图形中 P, Q, R, S 共面，故选 D.6 .设平面a与平面3相交于 I，直线 a?a，直线 b?3, aAb= M，贝UM_ l.解析：因为 aAb= M , a?a,b?3,所以 M a,M 3.又因为aA 3=l，所以 M l.答案：7 .已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_ .解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1 个平面，当正确；如图，两个相交i3答案：1 或 48看图填空:(1)平面 ABiH平面 AiCi=平面 AiCiCA 门平面 AC =解：以 AB 为其中一边，分别画出来表示平面的平行四

23、边形.如图.io.已知空间四边形 ABCD（如图所示），E，F 分别是 AB, AD 的中点，G，H 分别是 BC，iiCD 上的点，且 CG = 3BC, CH = 3DC.求证:(i)E, F , G, H 四点共面;直线 FH , EG, AC 共点.答案：AiBiAC9. 按 照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段 的交线.AB 分别是两个平面4 - liAB1R( (1)AaI)ai3分别是 BC , CD 上的点，且 CG = 3BC , CH = DC.证明：连接 EF, GH因为E,F 分别是 AB , AD 的中点，所以 EF JBD，因为 G , H1所以

24、GH 卫 3BD ,所以 EF / GH ,所以 E, F , G, H 四点共面.1因为 E, F 分别是 AB, AD 的中点，所以 EF 丄 qBD ,1 1 因为 G, H 分别是 BC, CD上的点，且 CG = -BC, CH = 3DC.1所以 GH=BD ,所以 EF / GH，且 EF丰GH，所以四边形 EFHG 是梯形，设两腰 EG, FH 相交于一点 T.因为 EG?平面 ABC, FH?平面 ACD ,所以 T平面 ABC，且 T平面 ACD，又平面 ABC 门平面 ACD = AC,所以 T AC,即直线 EG, FH , AC 相交于一点 T.B 能力提升11空间四

25、点 A, B, C, D 共面但不共线，那么这四点中（）A .必有三点共线B .必有三点不共线C.至少有三点共线D 不可能有三点共线解析：选 B.若 AB/ CD，则 AB, CD 共面，但 A, B, C, D 任何三点都不共线，故排除A , C;若直线 I 与直线外一点 A 在同一平面内，且 B, C, D 三点在直线 I 上，所以排除 D. 故选 B.12.如图，平面aQ平面3=I, A、Ba,C3, C?l，直线 ABAI /J7=D，过 A、B、C 三点确定的平面为 丫，则平面丫、3的交线必过（）A .点 AB .点 BC.点 C,但不过点 DD .点 C 和点 D解析：选 D.根据基本事实判定点 C 和点 D 既在平面3内又在平面丫内，故在3与丫的交线上.故选 D.113.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M , N 分别是棱 DD1和 BB1上的点，MD = 7D