例谈化归思想在中学数学解题中的应用

1、    例谈化归思想在中学数学解题中的应用    姬小光摘 要 化归思想是中学数学解题中常用的一种重要思想，在解题时的应用十分广泛。本文通过例举化归思想在中学数学解题中的应用，如：解方程，求数列通项，处理含参不等式，解三角函数，解应用题等。通过对这些题目的逐一分析，继而总结出化归思想解题的一般规律与原则，即通过将未知的问题转化归结为已知的知识、将复杂问题转化归结为简单问题。关键词 化归思想;中学数学;解题;应用：b027 ：a ：1002-7661（2019）02-0075-01化归思想的最终目的是为了简化求解过程，实现复杂问题简单化、抽象问题

2、具体化。化归思想以其高度的实用性和有效性，赢得了师生的一致认可，是实现对学生综合素养教学的重要手段。一、化归思想的基本概念化归思想是处理数学问题的一般思想方法，其核心是：在解决数学问题时，常常是将要解决的问题a通过某种转化手段，归结为另一个问题b，而问题b是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题b的解决可得原问题a的解答。化归的基本功能是：生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。二、化归思想在中学数学解题中的应用（一）解方程例1.解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0解：原方程可化为：（x2+8x+7）2+8（x2+8x+7）+15=0令y=x2+8

3、x+7这样，我们将解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0转化为规范化方程y2+8y+15=0的形式。对于方程y2+8y+15=0可化为（y+3）（y+5）=0，可得方程的解为： y=-3或y=-5。所以我们有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5，继而接着解两个方程可得原方程的解：从上题我们可以看出：在解方程时对方程变量进行替换把高次方程转化为低次方程，再对低次方程进行变形化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0），使之纳入原有的已经解决的知识结构，这就是化归。（二）求数列通项例2：设正数数列an的前n项和为sn，又    

4、;    ，求an。分析：因为当n2时，an=sn-s（n-1），所以2sn=，所以2sn2-2snsn-1=（sn-sn-1）2+1，所以sn2-sn-12=1，所以数列sn的平方数列sn2是公差为1的等差数列，易求s1=1，所以sn2=n，因为an>0，所以      ，所以                   。从上

5、述两题我们看到不少既非等差又非等比的数列，却可以通过适當的变形，化归为一个等差数列、等比数列或一个通项易求的数列，从而求出原数列的通项公式。（三）处理含参不等式函数与不等式关系密切，尤其是含参数的不等式问题，变量较多。遇到这类问题时，我们应如何处理呢？例3：如果2x-1>m（x2-1）对任意m-2，2都成立，求x的范围。分析：解题时易想到，由原不等式解出x，再根据m的范围确定x的范围。可以想象，此法解题过程非常烦琐，很难解出结果。应如何考虑呢？注意到m的范围已确定，转换一下角度，把所给不等式看成m的不等式如何？解：原不等式变形为：m（x2-1）-（2x-1）<0左边显然是m的一次函

6、数，记作f（m），由题知，f（m）<0对任m-2，2恒成立，由一次函数性质只需即可，这样便可解这个关于x的不等式组，从而得解：从上例可以看出，处理这类问题时我们不妨换个角度，可通过化归思想，把它转化为函数问题，反客为主。把我们熟悉的未知数看作参变量，而把原来的参数看作主元未知数，分离变量，利用转化思想把它化归为函数问题，利用函数性质即可轻松获解。这样处理，不但方法巧妙，而且过程简单，有利于培养思维能力，提高解题能力。例4：某商店进货每件50元，据市场调查，销售价格（每件x元）在50x80时，每天售出的件数p=    。若想每天获得的利润最多，销售价

7、格每件应为多少元？这是一个u关于    的二次函数，当               。即x=60（x50，80）时，u取最大值，故每件定价为60元时，利润最大为2500元。在这一题中我们先把实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题，再在数学问题的解决中继续应用化归转化的思想，尽管上述方法转化方向各不相同，但其实质都是一样的：尽量转化为熟悉的知识或方便求解的问题上。从以上几道例题我们可以总结出化归思想解题的一般规律，即：生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。化归思想作为一种重要的数学思想方法，在数学问题的学习中有着十分重要的作用。通过分析化归思想在中学数学中的具体应用，我们总结出了化归思想解题的一般规律