大学微积分l知识点总结(二)_4303

1、【第五部分】不定积分1. 书本知识（包含一些补充知识）（ 1）原函数： F（x）=f（x）， xI，则称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”。（ 2）若 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数，则 f （x）在区间上的全体函数为 F（x） +c（其中 c 为常数）（ 3）基本积分表1dxdxxcxdx1x 1c（1 ，为常数）11dxln xcxa xdxa xc a0， a1， a为常数ln aexdxexc1dxarctan x 或arc cot xc1x21dxarcsin x 或arccos xc1x2ln x dxxln x x c11x2dxln x1x2c1x2dxarcsi

2、n xca2a1dx1xca2x2arctanaaa21x2dx1ln axc2aaxshx dxchxcchx dxshxcd cosxln cosx ccosxsin x dxcosxccosx dxsin xctan x dxln cosxccot x dxln sin xcsecx dxln secxtan xccscx dxln cscxcosxcsin 2 x dxx1 sin 2xc24cos2x dxx1 sin 2xc24tan2 x dxtanxxccot2x dxcot xxcsec2x dxtan xccsc2x dxcot xcsecx tan x dxsecxccs

3、cx cot x dxcscxc1dxln x2 a2x cx 2a2（ 4）零函数的所有原函数都是 c（ 5） C 代表所有的常数函数（ 6）运算法则a f (x) dxaf ( x) dxf (x)g( x)dxf ( x) dxg ( x) dx数乘运算线性运算加减运算（ 7） 复合函数的积分：f( x)'( x) dxF( x)c（ 8） 一般地， f (axf ( xb) dxb) dxF ( xb)1acf (axb) d (axb)1aF (axb)c（ 9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（ 10）不定积分的计算方法 凑微

4、分法 （第一换元法），利用复合函数的求导法则 变量代换法 （第二换元法），利用一阶微分形式不变性a2x2dxxasin tx2a2dxxasectx2a2dxxatan t 分部积分法 ：若 u u( x), v v( x)均可导，且 u'(x) v( x) dx存在，则 u(x) v'( x) dx也存在并有： u(x) v'( x) dx u( x) v( x)u' (x) v( x) dx简写为： u dv u vv du【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应： y=f(u)功能： dyy' duf '(u) du说明：设函数为yf (

5、u),此时如果是自变量，则函数y的微分形式为：uf (u)dyy' duf '(u) du如果 是中间变量，即u g (x),函数即为复合函数。自 变量为 ，即ux:yg(x) ,复合函数求导得：y'那么复合函数f ' g (x) g' (x).y f g(x) 自变量为 x， g( x) u为中间变量 的微分形式为：dyy' dx因为带入得：f ' g' (x) g'( x) dx.ug( x), g' (x) dx du.dyf '(u)du因此，无论 是自变量还是中间变量 ，均有dy f '(

6、u) duu这称为一阶微分形式不 变性。1x2a 2（ 11）dxlnxc（ 12）分段函数的积分例题说明：max 1, x2dx解：2）（ xx- 1max 1, x2（x）1 -112（ ）xx11 x32233) dx（-1max(1, xx c21 x2233c（x - 1）1x1）c（x1）3需要说明的一点，依据连续的原则， c1, c2 , c3需要调整（ 13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一次方处理到最后dx的部分。如sin 3 x dxsin2 x d cos x（14）在做不定积分问题时 ，若遇到 sinx与 cosx同时出现且指数不

7、同的 情况 ,则需要通过三角函数公式尽 量将其转化成同一次方 再进行计算或将二者合 并以达到化简的目的。（15）在计算不定积分过程中，如果单独遇到sinx 的问题，则 sinx2sin xcos x22（ 16）隐函数求不定积分例题说明：例题：设 是由方程y( xy)2确定的隐函数，试求1dxyxx - 3y解法 ：令x y t，则xt 31 , yt带入。1t 2t 2 1 ,解法 ：y( xy)2x(xy)21x(xy)2221cosy所以1xsin2y所以： x sinsin; ysin，带入。2coscos（ 17）三角有理函数积分的万能变换公式R(sin x, cosx)令tx1t

8、22t2 )22 dtdxtanR(t2,t211 t1cos x1t 21t 2,ttan 2xtan x2t其中：2t1t 2sin x1t 2（ 18）某些无理函数的不定积分无理函数中带有（根号），变形时将整 个根号变为，即tAAt例如： 1x2令x2t 218tdtxxdx tx22t2t222t 2 14t 2dt211dt .t 21 t 2t 21 t 211欧拉变换2c的积分若 a 0，令 ax 2bx c t - a x含有 ax bx若 c0，令 ax 2bx c xt - c对于可得： ax 2bxct 22 atx ax 2对于可得：b2ctxt 2a（ 19）其他形式

9、的不定积分x f ' '( x) dxx df ' ( x)xf ' ( x)f ' ( x) dxxf ' (x)f ( x)cexsin x dxA1exsin xA2excosxc 待定系数法x2exdxexA1x2A2xA3c B1 x2 B2 x B2 ex dx ex A1 x2 A2 x A3 c组合法：I1sin xsin xdx2 cos xI 2cos xsin xdx2 cos xI1I 21 dx x2I 1I 2ln sin x 2 cosx2. 补充知识（课外补充）【例谈不定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分

10、方法2 、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（ 1）定义： 若函数 f(x) 在区间 I 上连续，则 f(x) 在区间 I 上存在原函数。其中 (x)=F(x)+c 0,(c 0 为某个常数），则 (x)=F(x)+c 0 属于函数族 F(x)+c积分号f ( x)被积函数x 积分变量f ( x) dx被积表达式n推论：若f ( x)kifi (x) dxi1n则：f ( x) dxkifi (x) dxi 1（ 2）一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法， 要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，

11、因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分：2例如： e xdx,sin xdx,xsin 2 x dx1dxln x11dxx41x3 dx1 k2 sin2 x dx 0K 1.2、特殊类型不定积分求解方法汇总（ 1）多次分部积分的规律uv( n 1)dx uv( n)u' v(n ) dxuv( n)u' v(n 1)u'' v(n 1) dx.uv( n)u' v( n 1)u' ' v(n 2).1 n1u(n 1) vdx（2）对于a cos xb sin xdx的积分c cos xd sin x求解方法为：令a cos

12、xb sin xA(c cos xd sin x)B (c cos xd sin x)'例如：求3cos x cos xsin x sin xdx解：令 3cosxsin xA(cosxsin x)B(cos xsin x)'即可（ 3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分R( x, naxb) dx设 tn axbR x, naxbdx令tn axbcxdcxdR x, naxb, m axb dx令tp ax b, 其中 p是 m,n的最小公倍数（4）求 Idxdx, 其中 a b ksin( xa) sin(xb)解法：I1sin

13、 (x a)( xb)dxsin(ab)sin( xa)sin(xb)（5）求： Idxdx, 其中， n为自然数n ( x a)n 1 ( x b) n 1解法： I1dx,令 tn xa( x a)( xb)nxaxbxb（6）求 Ix m ax2bxcdx1解法：令 xt（ ）统一公式7axeaxI1esinbx dxa 2b2( a sin bxb cosbx)cI 2axcosbx dxeax(a cosbxb sin bx)cea22b（8）计算技巧同时出现同时出现同时出现同时出现x和1x时，令 xtan2 tx和1x时，令 xsin 2 t1x2和 arcsin x时，令 xsi

14、n t1x2和 arccos x时，令 xcost（9）求1dxa 2x2解法：令 I1(ax) ( ax)2a(ax) (adxx)小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。（10）当遇到形如dx的不定积分，可以分为以下三种情况：2ax2ax bx cbx c 0时，可将原式化为： ( xx1 ) (xx2 )其中， x1 , x2为 ax 2bxc 0的两个解 .则原不定积分为：dxdx1d (x x1)d (x x2 )ax 2bx c( x x1 ) ( x x2 ) x2x1x x1x x21xx1cx2x1lnx2x0时，可以利用完全平方公式，然后化为： (

15、xk) 2 d (xk )10时，可以先给分母进行 配方，然后化成： dx的形式求解 x2 a（11）三角函数的积分：sin m x cosnxdx m和 n中有一个奇正数时利用恒等式：sin 2 x1 cos2x或 cos2 x1 sin 2 x。最后将得到形如： cosp x sin xdx或 sin q xcos xdx。这两个积分可以直接 得到：cosp x sin x dxcospx d cos x1cosp 1 x cp1sin q x cos x dx sin q xd sin x1sinq 1 xcq1m, n都是偶数时可以利用恒等式：21 cos2x21cos2 xcosx,

16、sinx22此外，也可以利用“积化和差，和差化积”公式（12）三角函数的积分： tanm x secn x dx m, n均为偶数时，利用恒等 式：sec2 x tan2 x 1 m, n均为奇数时，可分出 tan x secx（即 secx的导数）计算 m偶n奇时，将 tanm x改为 secx，然后利用 sec2 x 1 tan2 x计算（ ）关于形如： m cosxn sin x220的解法13a cosxdx abb sin x若a，则原式m cosxn sin xm1 xn0b0a cosxdxtan x dxaam xnln cosx caa若 a 0.b 0，则原式m cosx

17、n sin x dxn1 xmcot x dxb sin xbbn xm ln sin xcbb若a，至少有一个不为 ，则：0, b 0 m, n0m cosxn sin xA a cosxb sin xB(a cosxb sin x)'a cos xb sin xdxdxa cosxdxa cosxb sin xb sin x( AaBb) cosx( Ab Ba) sin xdxa cosxb sin xAaBbmAbBan.(以下内容省略）对m cos xn sin xm cos xn sin xla cos xb sin xdx的推广a cos x b sin xdx a, b

18、, c, m, n, l为常数c，且 a,b,c, 不同时为 0）若 a0， b0或 a0,b0， c为常数，则化简十分简单若 a0， b0， c, m, n,l 中至少有一个不为0，则：原式A(a cos xbsin xc)dxB( acos xb sin x c)' dxa cos xb sin xca cos xb sin xcDdxa cos xbsin xcAmanbAaBbma2b2mbna有 AbBanB代入原式a2b2AcDlmanbDcla2b2至此，还需求出1dx的解，使用万能代换法，将其转化为有bsin xa cos xctan x , 则 dx22t1t2理不定

19、积分的形式，令t2 dt ,sin x2 , cos x221t1 t1t化简之后为： I2dta) t 22bt（ catc依据 a,b, c的关系得出最后结论。（14）计算积分时，如遇到 x的高次项（如 x n）位于分母，并难以分解时，一般使用倒代法。1如计算： x( xn1) dx解：令 x1 , 则dxd 11dtttt 2dx1111dtt n 1dt1 ln t n 1 cx xnt 1 t nt 21 t nn（ ）xnm的递推式15 Ina2b2 x2dx方向：针对如x3dx,1dx,x75等积分1x2x1x2dx4 x2推导过程：Inxna2 mdxxn1 d1b2 x2 )

20、m 1x2b22(1m)b2 (a21xn 1(n1)xn 2m 1dx2(1m)b2( a2b2 x2 )m 1a2b2 x22(11a2xn 1(n 1) xn 2 a2b2 x2dxm)b2b2 x2 m 1a2b2 x2 m1xn 1(n 1)a 2xn 2b2 xndx（2( a2b2x2)m 1(a222)m2 1 m)bb x1xn 1(n1)2I n2(1m)b2( a2x2b2 )m 1a2（16）利用三角函数性质进行解题：一般情况下例如：求不定积分1dx2 xcos2 xsin解：原式sin 2 x cos2 xdxtan x cot xsin 2 x cos2 x一些特殊

21、情况利用公式：secx和 tan x是两个十分重要的三角 secx ' secx tan x221tanxsec xc函数，二者的关系为：注：当被积函数是三角 函数的乘积时，拆开奇角函数的偶次幂时，常 用半角公式通过降低幂拆一项凑微分，剩余偶 次项用半角公式降幂之例如：计算不定积分 sec6 x dx次项去凑微分。当被积 函数是三次的方法来计算。若为 奇次幂，后再计算。解： sec6 x dx1 tan22x d tan xtan4 x2 tan2 x1 d tan xtan x2tan3 x1tan5 x c35（17）双曲代换的应用被积函数中含有x2a 2 或x2a2 时，除了采用

22、三角代换外，还可利用公式：ch 2tsh2t1采用双曲代换：xa sht或 xa cht，消去根式，所得结果一致（18）一个特殊变换：f ( xn ) 1 dx1f ( xn )1n dx nxnx（19）两个重要递推公式 I ndxx2a2nI n 11x2n12na2x2a2n2na2I n I ntann x dxtann 1xI n2 n2n1（20）重难点：解题时使用的最多的方法：分部积分法例如求不定积分1dxsin x解：利用分部积分法，令 usin 1 x, dvdx ,则： dudx, v x1 x 2sin 1 x dxxsin 1 xxd sin 1 xx sin 1 xx

23、dx1x2xsin1x1dx2xsin1x11d(12)21x221 x2xxsin 1 x1x2c递推公式：sin n xdx1sin n1 xcos xn1sin n 2 xdx n1，是正整数nn此递推公式表明：如果可以将 sin n2x的积分积出，便可以积出 sin n x的积分。公式证明过程：令 usinn 1 x dvsinx dx 则 du(n1)sinn 2 xcosx dx vcosx,所以有：Isin n x dxsin n 1 x d (cos x)sin n 1 x cos xcos x d sin n 2 xsin n 1x cos xn1sin n 1x cos x

24、n1sin n 1x cos xn1sin n 1x x cos xn 1sin n 2 x cos2 x dxsin n 2 x 1sin2 xdxsin n 2 x dxn1sin n x dxsin n 2 x dxn1 Isinn x dx1sinn 1 x cosxn 1sin n 2 x dxnn例如：计算不定积分 sin3 xdx解：原式sin3 x dx1sin 2 x cosx2sin x dx331 sin 2 x cosx2 cos xc33【第六部分】定积分1. 书本知识（包含一些补充知识）（ 1）定义bnnf ( x)的定义：Silimf ( ) ( xi xi 1

25、)dxlimani 1nn把 a, b 区间分成 n个小区间， ax0x1.xn b要求当n时，xi 10max xi记 I ixi 1, xi , 在I i上的代数面积为 Si ,在 I i 上用矩形代替 Si , 在I i 上任取一点 i，Si f ( i ) xixi 1n求和： Sf ( i) (xixi 1)i 1n求极限：即 limf ( i ) ( xixi1 )ni 1（2）定积分的性质b 1baabbb线性运算性质：f ( x)g(x)dxf ( x) dxg( x) dxaaabaf ( x) dxf ( x) dxabaf ( x) dx0abcb区间的可加性：f (x)

26、 dxf ( x) dxf (x) dxaac(其中，包含a,b,c 的区间可积即可，不一定要求 c （ a, b）b f ( x)在 a, b 上可积且 f (x)0，则f ( x) dx0abb若 f ( x)， g( x)在 a, b 上可积且 f (x)g ( x), 则 f ( x) dxg( x) dxaab若 f ( x)在 a, b 上连续， f (x) 0， f ( x)不恒等于 0，则f ( x)dx0af ( x) 0 : 可能个别点上等于0，也可能整个区间均为0； f ( x)0 : 则是指在整个区间上都等于 0推论：若 f ( x), g ( x)在区间 a,b 上连

27、续， f ( x)g( x), 且 f ( x)不恒等于 g( x), 则：bbf ( x) dx g( x) dxaa若 f ( x)在a,b 上可积，则bbf ( x) dxf ( x)dxaa若f ( x)在a,b上可积，mf ( x) M，x a,b， ，M均为常数，则：mbm(ba)f (x) dxM (ba)a（积分中值定理）若 f ( x)在闭区间 a, b 上连续，则至少存在一 点a, b ，使得：bf ( x) dxf ( ) (ba)a（3）微积分学基本公式：牛顿 莱布尼茨公式bf ( x) dxF (b) F (a)aF ( x)是 f ( x)的一个原函数（ ）微积分学基本定理：3x设在区间上连续，aI是一个固定点，则由变 上限积分G( x)f (t ) dtf ( x)Iax I ，定义的函数在 I上可导，且 G'( x) f ( x)推论：若函数 f ( x)在某区间 I上连续，则在此区间上 f ( x)的原函数一定存在，x原函数的一般表达式写 成：f (t ) dtc（ 是任意常数，x I，I为固定点）ca（4）若 U ( x),V ( x)在区间 I上可导，当 xI