(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.5.1直线与直线平行Word版含答案

1、A. 30 & 5 空间直线、平面的平行 8. 5.1 直线与直线平行 问题导学 预习教材 P133 P135 的内容，思考以下问题: 1 基本事实 4 的内容是什么? 2 .定理的内容是什么？ 1 基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线平彳这一性质通常叫做平行线的传递性. 符号表示: a II b I I? a II c. b I c| 2.定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 名师点拨 . . . . 定理实质上是由如下两个结论组合成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行 且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；若一个角的两边与另一个角的

2、两边分别平 行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补. .自球检测F 判断（正确的打“V”，错误的打“X” ） （1）如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等. （ ） 如果两个角相等，则它们的边互相平行. （ ） 答案：X X 秒 已知 AB II PQ，BC II QR，若/ ABC= 30，则/ PQR 等于（考点 学习目标 核心素养 基本事实 4 理解基本事实 4，并会用它解决两直线平行 问题 直观想象、 逻辑推理 定理 理解定理的内容，套用定理解决角相等或 互补问题 直观想象、 逻辑推理 硏读导学蛙直* 预习眾* C. 150 D .以上结论都不对

3、 答案：B 在长方体 ABCD-A B C D中，与 AD 平行的棱有 _ （填写所有符合条件的棱） U 答案：A DB C , BC探究案， 解惑：探究-案破. 例 J 如图，E, F 分别是长方体 ABCD-AIBICIDI的棱 AiA, CiC 的中点求证：四边形 BiEDF 为平行四边形. 【证明】 如图所示，取 DDI的中点 Q,连接 EQ , QCi. 因为 E 是 AAI的中点，所以 EQAiDi. 因为在矩形 AiBiCiDi中，AiDi丿 BiCi, 所以 EQBiCi, 所以四边形 EQCiBi为平行四边形，所以 BiE 乜 CiQ. 又 Q , F 分别是 DID , C

4、IC 的中点, 所以 QDCiF, 所以四边形 DQCIF 为平行四边形， 所以 CiQ 卫 FD. 又 BIEJLCIQ，所以 BiEJLFD , 故四边形 BiEDF 为平行四边形. 证明空间中两条直线平行的方法 (i)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比 例定理等)来证明.探究点 基本事实的 证明：如图所示，在正方体 ABCD-AIBICIDI中，取棱 BBi的中点 G,连接 CIG , EG. 因为 E, G 分别为棱 AAI, BBI的中点, 所以 EG 乜 AiBi. 又 AiBiCiDi，所以 EGCiDi, 从而四边形 EGCiDi为平行

5、四边形, 所以 DiE 乜 CiG. 因为 F, G 分别为棱 CCI, BBi的中点，所以 CiFBG，从而四边形 BGCiF 为平行四边 形，所以 BF 卫 CiG, 又 DiECiG，所以 DiEBF , 从而四边形J5 不妨设正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为 a，易知 BE = BF = a, 故平行四边形 EBFDi是菱形. 探究点 定理的应用 如图所示，不共面的三条射线 OA, OB, OC,点 Ai, Bi, Ci分别是 OA, OB, OC 上的点，且 OAi = OBi = 求证： AiBiCiSA ABC. 利用基本事实 4 即找到一条直线 c,使得 a / c,

6、同时 b/ c,由基本事实 4 得到 a/ b. 如图，已知 E, F 分别是正方体 ABCD-AIBICIDI的棱 AAi, CCi的中点, 求证：四边形 EBFDi是菱形. G A | C 【证明】 在厶 OAB 中，因为|AJ = OB1,所以 A1B1 /AB. OA OB 同理可证 A1C1/AC, B1C1/BG 所以/ C1A1B1 = / CAB, ZA1B1C1=Z ABC. 所以 A1B1C1 s公 BC. 规I律方册 运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同; 二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补

7、. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，M，N，P 分别为 AA1, BB1, CC1的中点.求 证：/ MC1N = Z APB. 证明：因为 N , P 分别是 BB1, CC1的中点，所以 BNC1P,所以四边形 BPC1N 为平行四 边形，所以 C1N/BP同理可证 C1M /AP, 又/MC1N 与/APB 方向相同，所以/ MC1N =/APB. 三点，A, B, C, D, E 分别为 AD , DB , BE, EC, CF 的中点.求证：/ ABC =Z C D E .测评案丁 1. 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 是 AD 的中点，N 是 B1C1 的中点

8、，求证：CM / A1N. 1 证明：取 A1D1的中点 P,连接 C1P, MP,贝 U A1P = -A1D1.又 N 为 B1C1 的中点，B1CA1D1, n / 所以 GN 乜 PA1，四边形 FA1NC1为平行四边形，A1N /GP. 又由 FM 卫 DD1 卫 CC1, 得 C1F /CM.所以 CM / A1N. 2 .如图，已知直线 a, b 为异面直线, A, B, C 为直线 a 上三点, D, E, F 为直线 b 上 fi 证明：因为A： B 分别是 AD, DB 的中点，所以 AB/ a, 同理 CD / a, BC /, D E /，所以 AB/ C D, BC

9、D E 又/ABC 的两边和/CDE 的两边的方向都相同, 所以/ A B C = / C D E A 基础达标 1.下列结论中正确的是（ ） 在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平 行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间中有四条直 线 a, b, c, d，如果 a/ b, c/ d,且 a/ d,那么 b/ c. A . B . C. D . 解析：选 B.错，可以异面. 正确.错误，和另一条可以异面. 正确，由平行线 的传递性可知. 2. 下列命题中，正确的有（ ） 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

10、 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角 （或直角） 相等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. A . 1 个 B . 2 个 C. 3 个 D . 4 个 解析：选 B.由等角定理可知：对于这两个角可能相等，也可能互补； 对于显然正确.对于如图，ZDDiCi与/DADi的两边 DiCi丄 ADi, AD 应用泉丁 丄 DiD，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实 4 知命题正确.所以是正确的. 3若/ AOB = Z A1O1B1且 OA/ O1A1,

11、OA 与 OiAi的方向相同，则下列结论中正确的是 （ ） A OB / O1B1且方向相同 B OB/ OiBi C. OB 与 OiBi不平行 D . OB 与 OiBi不一定平行 解析：选 D.OB 与 OiBi不一定平行，反例如图. A. 3 条 C. 5 条 解析：选 B.由于 E, F 分别是 BiO , CiO 的中点，故 EF / BiCi,因为和棱 BiCi平行的棱 还有 3 条：AD , BC, AiDi，所以共有 4 条. 6 .空间中有两个角 a, 3，且角a、3的两边分别平行.若 a= 60，贝 U 3 _ 解析：因为a与3两边对应平行，但方向不确定， 所以a与3相等

12、或互补. 4.如图，a A 3 = I, a? a , b? 3 下结论中正确的是（ ） A . a, b 都与 1 平行 B. a, b 中至多有一条与 I平行 C. a, b 都与 1 相交 D. a, b 中至多有一条与 I相交 根据基本事实 4,有 a / b,这与 a, b 为异面直线矛盾, 故 a, b 中至多有一条与 I平行. 5 如图所示，在长方体木块 中与 EF 平行的有（ ） ACi中，, 分解析：选 B.如果 a，b 都与 I平行, ,且 a, 答案：60。或 i20 7.如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，BD 和 BiDi分别是正方形 ABCD 和AiBiC

13、iDi的对角线， (1) / DBC 的两边与 _ 的两边分别平行且方向相同； (2) / DBC 的两边与 _ 的两边分别平行且方向相反. 解析：因为 BiDi/BD, BiCi/BC 且方向相同，所以 / DBC 的两边与/ DiBiCi的两边 分别平行且方向相同. (2)BiDi /BD, DiAi /BC 且方向相反，所以/ DBC 的两边与/ BiDiAi的两边分别平行且方 向相反. RS 是平行直线的图是 _ (填序号). 解析：结合基本事实 4 可知，均是平行直线，中 RS 和 PQ 相交，是异面直线. 答案： 9. 如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M , Mi分别

14、是棱 AD 和 AiDi的 中占 I 八、 求证：四边形 BBiMiM 为平行四边形； (2)/ BMC = Z BiMiCi. 证明：因为在正方形 ADDiAi中，M , Mi分别为 AD , AiDi的中点， 所以 MMiAAi. 又因为 AAiBBi, 所以 MMi/BBi , 且 MM i= BBi. 所以四边形 BBiMiM 为平行四边形. 由知四边形 BBiMiM 为平行四边形, 答案：(i) / DiBiCi (2) / BiDiAi 8.如图，点 P, Q, R, S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 所以 BiMi/BM. 同理可得四边形 CCiMi

15、M 为平行四边形, 所以 CiMi /CM. 由平面几何知识可知，/ BMC 和/BiMiCi都是锐角, 所以/BMC = Z BiMiCi. iO.如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M, N 分别是棱 CD , AD 的中 占 八、 求证：四边形 MNAiCi是梯形； (2)/ DNM =/ DiAiCi. 证明：(i)如图，连接 AC,因为在 ACD 中，M , N 分别是 CD, AD 的中点，所以 MN 是厶 ACD 的中位线， i 所以 MN / AC, MN = 2AC. 由正方体的性质得： AC / AiCi, AC = AiCi. i 所以 MN

16、/ AiCi，且 MN = 2AiCi，即 MN 工 AiCi, 所以四边形 MNAiCi是梯形. (2)由(i)可知 MN / AiCi. 又因为 ND / AiDi，所以/ DNM 与/ DiAiCi相等或互补. 而/ DNM 与/ DiAiCi均为锐角， 所以 / DNM = / DiAiCi. B 能力提升 ii. 如图所示，在四面体 ABCD 中，M , N , P, Q, E 分别是 AB, BC, CD , AD, AC 的 中点，则下列说法不正确的是 ( )8 A . M , N, P, Q 四点共面 B. Z QME = Z CBD C. BCDs MEQ D .四边形 MN

17、PQ 为矩形 解析：选 D.由条件易得 MQ / BD , ME /BC, QE/CD , NP/BD，所以 MQ / NP.对于 A, 由 MQ / NP，得 M , N, P, Q 四点共面，故 A 正确；对于 B，根据定理，得Z QME = Z CBD , 故 B 正确；对于 C,由定理知 Z QME = Z CBD , ZMEQ = Z BCD，贝 U BCDMEQ，故 C 正确；对于 D，没有充分理由推证四边形 MNPQ 为矩形，故 D 不正确. 12. 如图所示，E, F, G , H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB, BC, CD, DA 的中点，若 BD = 2, AC

18、= 4,则四边形 EFGH 的周长为 _ . 解析：因为 E, H 分别是空间四边形 ABCD 中的边 AB , DA 的中点， 1 所以 EH / BD , 且 EH = ?BD , 同理 FG / BD，且 FG = |BD. 1 1 所以 EH = FG = BD = 1，同理 EF = GH = AC = 2, 所以四边形 EFGH 的周长为 6. 答案：6 13. （2019 丽水检测）一个正方体纸盒展开后如图所示， 在原正方体纸盒中 有如下结论： AB / CM :EF 与 MN 是异面直线； MN / CD. 以上结论中正确的序号为 _ . EF 与 MN 是异面直 14. 如图，在空间四边形 ABCD 中，E, H 分别是 AB, AD 的中点， CF CG 2 解析：答案： F,G 分别是 CB,CD 上的点，且 CB = CD = 3,若 BD = 6 cm,梯形 EFGH 的面积为 28 cm2,求平行