刚体习题及答案

1、例例1.1.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为的质量为 M/4，均匀分布在其边缘上，绳子，均匀分布在其边缘上，绳子 A 端有一质量为端有一质量为 M的人抓住了绳端，而在绳的另的人抓住了绳端，而在绳的另一端一端 B 系了一质量为系了一质量为 M/ /2 的重物，如图示。的重物，如图示。设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？端重物上升的加速度？ABABT1Mg12MgaT2o解：解：受力分析如图示，受力分析如图示，由题意由题意 a人=aB=a2:

2、 MgMaT人111: -=22物TMgMa21 ()轮： TT RJaR27ag例例2 2. .两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为组合轮。小圆盘的半径为r r，质量为，质量为mm；大圆盘的半径；大圆盘的半径r r 2 2r r，质量为质量为mm=2=2mm。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴平固定轴O O转动，对转动，对O O轴的转动惯量轴的转动惯量J J9 9mrmr2 2/2/2。两圆盘边缘上。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为分

3、别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为mm的物体的物体A A和和B B，如，如图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。已知长度不变。已知r r = 10 cm= 10 cm求：求： (1) (1) 组合轮的角加速度；组合轮的角加速度； (2) (2) 当物体当物体A A上升上升h h40 40 cmcm时，组合轮的角速度时，组合轮的角速度 。 rm, m,r A O B 例例3 3. .以以 30Nm 30Nm 的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上，的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上，10s 10s 内飞轮内飞轮的转速由零增大到

4、的转速由零增大到5 5radrad/ /s s ，此时移去该恒力矩，飞轮因摩擦力，此时移去该恒力矩，飞轮因摩擦力距的作用经距的作用经 90s 90s 而停止，试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。而停止，试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。解法一：在恒力矩和摩擦力矩作用下，在恒力矩和摩擦力矩作用下，010s内有：内有：用转动定律求解用转动定律求解11 1t1rMMJ11rtJMM 12 20t2rMJ移去恒力矩后，移去恒力矩后，090s内有：内有：)(21121tttMtJ254mkg22 tJMr解题过程尽可能用文字式，最后再带入数字。解题过程尽可能用文字式，最后再带入数字。)(/21121ttt

5、MtJ11()rMMtJ012)(J0tMr2mkg 54)(21121ttJtMt0-10s:0-90s:联立得：联立得：解法二解法二: :用角动量定理求解用角动量定理求解例例4 4. .一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度以角速度 按图示方按图示方向转动向转动，若射来两颗完全相同的子弹，方向相反并在同一条直，若射来两颗完全相同的子弹，方向相反并在同一条直线上，子弹射入圆盘并留在其中，则子弹射入后的瞬间，盘的线上，子弹射入圆盘并留在其中，则子弹射入后的瞬间，盘的角速度角速度 （A）增大增大; ;（B）减小减小; ; （C）不变不变; ;（D）不能确定。不

6、能确定。mOmOmOmO例例5 5. .一车轮，轴光滑，在竖直面内转动，质量为一车轮，轴光滑，在竖直面内转动，质量为M，J= =MR2 2，轮原静止，一质量为轮原静止，一质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0 0沿与水平方向成沿与水平方向成角射角射中轮缘中轮缘A处，并留在处，并留在A处。设作用时间极短，问：处。设作用时间极短，问：（1 1）以车轮、子弹为研究系统）以车轮、子弹为研究系统 撞击前后系统的动量是否守恒？为什么撞击前后系统的动量是否守恒？为什么？ 动能是否守恒？为什么？动能是否守恒？为什么？ 角动量是否守恒？为什么？角动量是否守恒？为什么？（2 2）子弹和轮开始一起运动时，）子弹和轮开

7、始一起运动时， 轮的角速度是多少？轮的角速度是多少？ ARcosv0sinv0例例6.一块质量为一块质量为M1kg 的木板，高的木板，高L0.6m，可以其一边为轴，可以其一边为轴自由转动。最初板自由下垂自由转动。最初板自由下垂.今有一质量今有一质量m10g的子弹，垂直击的子弹，垂直击中木板中木板A点，点，l0.36m，子弹击中前速度为，子弹击中前速度为500m/s，穿出后的，穿出后的速度为速度为200m/s，求求： (1) 子弹给予木板的冲量子弹给予木板的冲量 (2) 木板获得的角速度木板获得的角速度LAl例例7.如图所示，滑轮转动惯量为如图所示，滑轮转动惯量为 0.01kg.m2， 半径为半

8、径为 7cm，物体，物体的质量为的质量为 5kg，有一细绳与劲度系数，有一细绳与劲度系数 k=200N.m-1的弹簧相连，若的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求:（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落，能达到）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落，能达到的最大距离。的最大距离。（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。Jkm,kxmgx221 (1)kmgx2m49.0(2)kmgx/0m245.02020200212121kxJmvmgxmgRJmkv021)/

9、(21 -sm3 .1解：解：,mgkx 0加速度为加速度为0 0时速度最大，时速度最大，滑轮受力矩为滑轮受力矩为0 0例例8.一个内壁光滑的圆形细管，正绕光滑固定轴一个内壁光滑的圆形细管，正绕光滑固定轴oo转动，管是刚转动，管是刚性的，转动惯量是性的，转动惯量是J0，半径为，半径为R，初速是，初速是0，一质量为一质量为m的小球静的小球静止于止于A点，如图，由于微小扰动，小球向下滑动。点，如图，由于微小扰动，小球向下滑动。 ABCRo oo o1.1.地球、环与小球系统的机械能守恒否？地球、环与小球系统的机械能守恒否？ 2.2.小球的动量守恒否？小球的动量守恒否？ 3.3.小球对小球对o oo

10、 o轴的角动量守恒否？轴的角动量守恒否？ 4.4.当小球到达当小球到达B B时，环的角速度为多少？时，环的角速度为多少？ 小球相对于环的速度多少？小球相对于环的速度多少？5.5.当小球到达当小球到达C C时，环的角速度及小球时，环的角速度及小球 相对于环的速度各是多少？相对于环的速度各是多少？例例9.长为长为l质量为质量为m匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转转动，另一质量也为动，另一质量也为m的小球，用长为的小球，用长为l的轻绳系于的轻绳系于O轴上，如图。轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂

11、直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最大摆角为的最大摆角为/3，求小球最初被拉开的角度，求小球最初被拉开的角度。 在小球下落过程中，对于小球与地球系统，只有重力做功，在小球下落过程中，对于小球与地球系统，只有重力做功，所以机械能守恒，设所以机械能守恒，设v v为小球碰前速度，有为小球碰前速度，有: :221)cos1 (mvmgl球与杆的碰撞过程极短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因球与杆的碰撞过程极短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因此球与杆系统的重力对定轴此球与杆系统的重力对定轴O O无力矩，轴的支

12、持力也无力矩，所无力矩，轴的支持力也无力矩，所以系统在碰撞过程中对轴的角动量守恒，以系统在碰撞过程中对轴的角动量守恒，设设v v为小球碰后的速度，为小球碰后的速度， 为杆碰后的角速度，有：为杆碰后的角速度，有： 231mllvmmvl弹性碰撞，故动能也守恒，有弹性碰撞，故动能也守恒，有: : 2222)31(212121mlvmmv碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒: :)3cos1 (21)31(2122mglml联立求解，得：联立求解，得：32arccos例例1010一个质量为一个质量为 MM半径为半径为R R 的匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴的

13、匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为 半径为半径为mm 的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为为 mm的物体，如图。求当物体由静止下落的物体，如图。求当物体由静止下落h h 时的速度时的速度v v。 例例11.如图所示，一均匀细杆长为如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为，质量为 m，平放在摩擦系数，平放在摩擦系数为为的水平桌面上，设开始时杆以角速度的水平桌面上，设开始时杆以角速度 0 绕过中心绕过中心 o 且垂直于且垂直于桌面的轴

14、转动，试求桌面的轴转动，试求:（1）作用在杆上的摩擦力矩）作用在杆上的摩擦力矩; （2）经过多长时间杆才会停止转动。）经过多长时间杆才会停止转动。olm,0rgdmdM)1 (解：rgdrlmrdrlm2102rdrlmdMMmgl41由角动量定理：)2(00JJJtMMJt0mgl30 计算转动惯量的两条规律计算转动惯量的两条规律1.1.平行轴定理平行轴定理CdmJCJ平行平行 2mdJJC最小对同一个刚体 CJ例例：在质量为：在质量为M，半径为，半径为R的均质圆盘上挖出半径为的均质圆盘上挖出半径为r的两个圆的两个圆孔，圆孔中心在半径孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的