抛物线的简单几何性质学习教案

1、会计学1抛物线的简单抛物线的简单(jindn)几何性质几何性质第一页，共41页。第1页/共40页第二页，共41页。第2页/共40页第三页，共41页。一、复习一、复习(fx)回顾：回顾：l.FMd.xOyK抛物线标准抛物线标准(biozhn)方程方程0p 是焦准距22ypx1、抛物线的定义、抛物线的定义(dngy)：平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l (l不经过点不经过点F )的距离相的距离相等的点的轨迹叫做等的点的轨迹叫做。定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的。定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的。 第3页/共40页第四页，共41页。标准标准方程方程图形图形 焦点焦

2、点 准准 线线)0(22ppxy) 0(22ppyxxyoF.xyFo)0 ,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0 ,2(pF 2px )0(22ppyx)2,0(pF2py 2、抛物线的标准、抛物线的标准(biozhn)方程：方程：第4页/共40页第五页，共41页。（3）抛物线方程是）抛物线方程是2x2+5y=0 , 即x2=- y, 2p= 2525则焦点坐标是则焦点坐标是F（0，- ）, 准线方程是准线方程是y= 858533:(, 0 ),22x 解 ( 1 )焦 点 坐 标准 线 方 程yx21218y(2)焦点坐标是焦点坐标是 准线方程是准线

3、方程是81, 0第5页/共40页第六页，共41页。求下列抛物线的焦点坐标求下列抛物线的焦点坐标(zubio)和准线方程：和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）116y= - 1168x= 5（- ，0）58（0，-2）y=241练习练习(linx)：第6页/共40页第七页，共41页。抛物线的方程为抛物线的方程为x=ay2x=ay2（a0)a0)求它的焦点坐标求它的焦点坐标(zubio)(zubio)和准线方程？和准线方程？ 解：抛物线标准方

4、程为：解：抛物线标准方程为：y y2 2= x= x1a2p=1 a4a1 焦点坐标是（ ，0），准线方程是：x=4a1当a0时, , 抛物线的开口向右p2=14a第7页/共40页第八页，共41页。yxoMFdK复习复习(fx)第8页/共40页第九页，共41页。结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索(tn su)其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比类比(lib)探探索索x0,yR关于关于(guny)x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的对称轴又叫抛物线的轴轴抛物线和它的轴的交点叫做抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶

5、点抛物线的顶点.二、讲授新课：二、讲授新课：.yxoF(4)离心率离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e表示，由抛物表示，由抛物线的定义可知，线的定义可知，e=1 只有一个顶点只有一个顶点第9页/共40页第十页，共41页。方程图形范围对称性顶点离心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0 yRxRy0y0 xRlFyxO关于(guny)x轴对称关于(guny)x轴对称关于(guny)y轴对

6、称关于y轴对称（0,0）e=1第10页/共40页第十一页，共41页。补充补充(bchng)（1）通径：）通径：通过焦点且垂直通过焦点且垂直(chuzh)对称轴的直线，对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度(chngd)：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何

7、意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出反映可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。抛物线基本特征的草图。第11页/共40页第十二页，共41页。XY抛物线的基本元素 y2=2px第12页/共40页第十三页，共41页。特点特点(tdin)1.抛物线只位于半个坐标平面抛物线只位于半个坐标平面(pngmin)内内,虽然虽然它可以无限延伸它可以无限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条抛物线只有一条(y tio)对称轴对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离

8、心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔第13页/共40页第十四页，共41页。图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1第14页/共40页第十五页，共41页。变

9、式变式: 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.2 2典型典型(dinxng)例例题：题：例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标原顶点在坐标原点点,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免可避免(bmin)讨论讨论)0(2),22, 2(2PPxyMx程为所以，可设它的标准方点点，并且经过轴对称，它的顶点在原解

10、：因为抛物线关于222)22(2pPM，即在抛物线上，所以因为点xy42准方程是因此，所求抛物线的标第15页/共40页第十六页，共41页。第16页/共40页第十七页，共41页。xyOFABBA224 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点为由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线所以直线(zhxin

11、)AB的方的方程为程为y=x-1第17页/共40页第十八页，共41页。xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知,第18页/共40页第十九页，共41页。 变式：变式： 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条任作一条(y tio)

12、直线直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切第19页/共40页第二十页，共41页。证明(zhngmng)：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的圆为直径的圆E的半径的半径(bnjng)，且，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点的中点(zhn din)为为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引垂线引垂线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH第20页/共40页第二十一页，共41页。练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对

13、称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦轴，焦点在直线点在直线3x-4y-12=0上，那么上，那么(n me)抛物线通抛物线通径长是径长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3第21页/共40页第二十二页，共41页。例例3.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线和抛物线

14、顶点的直线交抛物线的准线(zhn xin)于于点点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xOyFABD第22页/共40页第二十三页，共41页。例例3 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过两点，通过(tnggu)点点A和抛和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对平行于抛物线的对称轴。称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),2(0020 xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的

15、准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB/xyOFABD第23页/共40页第二十四页，共41页。小结小结(xioji):1.掌握抛物线的几何性质掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点焦点(jiodin)坐标及解决其它问题坐标及解决其它问题;第24页/共40页第二十五页，共41页。第25页/共40页第二十六页，共41页。图形图形标

16、准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于(guny)x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于(guny)x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于(guny)y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2第26页/共40页第二十七页，共41页。 分析分析:直线与抛物直线与抛物线有一个公共点线有一个公共点的情况有两种情的情

17、况有两种情形：一种形：一种(y zhn)是直线平是直线平行于抛物线的对行于抛物线的对称轴；称轴；另一种另一种(y zhn)是直线与抛物线是直线与抛物线相切相切 第27页/共40页第二十八页，共41页。判断判断(pndun)直线与抛物线位置关系的操作程直线与抛物线位置关系的操作程序序把直线把直线(zhxin)方程代入抛方程代入抛物线方程物线方程得到一元得到一元(y yun)一次方程一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 分析分析:直线与抛物线没有直线与抛物线没有(mi yu)公

18、共点时公共点时0 第30页/共40页第三十一页，共41页。个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk注注:在方程中在方程中,二次项系数含有二次项系数含有k,所以要对所以要对k进行讨论进行讨论作图要点作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形形(qng xing),观察直线绕点观察直线绕点P转动的情形转动的情形(qng xing)第31页/共40页第三十二页，共41页。变式一变式一:已知抛物线方程已知抛物线方程y2=4x,当当b为何为何(

19、wih)值时值时,直直线线l:y=x+b与抛物线与抛物线(1)只有一个公共点只有一个公共点(2)两个公共点两个公共点(3)没有公共点没有公共点.当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多的最大值是多少少?分析分析(fnx):本题与例本题与例1类型相似类型相似,方法一样方法一样,通过联立方程组求得通过联立方程组求得.(1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的最的最大值当直线与抛物线相切时取得大值当直线与抛物线相切时取得.其值为其值为1第32页/共40页第三十三页，共41页。变式二变式二:已知实数已知实数x、y满足方程满足方程y2=4x,

20、求函数求函数 的最值的最值12yzx 变式三变式三:点点(x,y)在抛物线在抛物线y2=4x上运动上运动(yndng),求函求函数数z=x-y的最值的最值.本题转化为过定点本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共的直线与抛物线有公共(gnggng)点时斜率的最值问题点时斜率的最值问题.本题转化为直线本题转化为直线(zhxin)y=x-z与抛物线有公共点时与抛物线有公共点时z的最值问题的最值问题.min1z 无最大值无最大值1 21minmaxkk第33页/共40页第三十四页，共41页。xyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypx pABA xyB xyy yp 例例2、2、过过抛抛物物线线焦焦点点作作直直线线交交抛抛物物线线于于， 两两点点，设设求求证证解：因为直线解：因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为222221222 ()2220ypxpyp mypxmyypmypy yp 即：（定值）2pxmy第34页/共40页第三十五页，共41页。xyBAFO_?,:21221xxpyy，那么注意到在同样的条件下联想.4),(),()0(2:122122112