抛物线及其标准方程李用学习教案

1、会计学1抛物线及其标准抛物线及其标准(biozhn)方程李用方程李用第一页，共62页。yxoyxoyxoyxo(, 0)2p2px 图图 形形 焦焦 点点 准线方程准线方程 标准方程标准方程y2= -2px(p0)x2=2py(p0)x2= -2py(p0)y2=2px(p0)2px (,0)2p 0 ,2p 2py 0,2p 2py 第1页/共61页第二页，共62页。图形图形标准方程标准方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p 焦 点 在 一 次 项 字 母(zm)对应的坐标轴上. 一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 左边都是平方项， 右边都是一次项.第2页/共61

2、页第三页，共62页。 2.已知抛物线的标准方程是y2 = -6x ，则它的焦点坐标是 ,准线方程是 . 3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a0），则它的焦点坐标是 ,准线方程是 . 1(0,)24a124ya3(,0)232x 题型一（由方程(fngchng)求有关量）1.已知抛物线的标准方程是y2 = 6x ，则它的焦点坐标是 ,准线方程是 .3( ,0)232x 感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点: 1.先化为标准(biozhn)方程 2. 判断焦点的位置是一次项系数的14是一次项系数 的相反数14即：准确(zhnqu)“定型”第3页/共61页第四页，共62页。练习(linx

3、)：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口(ki ku)向右开口(ki ku)向左开口向上开口向下第4页/共61页第五页，共62页。 1. 焦点(jiodin)为F（-2，0），则抛物线的标准方程为_. 2. 准线方程是y = -2，则抛物线的标准方程为_. 3.焦点(jiodin)到准线的距离是4,则抛物线的标准方程为_ _.y2=-8xx2=8yy2=8x 、 x2=8y （1）（2）题型二（由有关量求标准(biozhn)方程

4、）感悟 ：1.“定型”“定量”2.如果焦点位置或者(huzh)开口方向不定则要注意分类讨论.第5页/共61页第六页，共62页。4.标准方程中p前面的正负号决定(judng)抛物线的开口方向 1.抛物线的定义(dngy):2.抛物线的标准方程有四种(s zhn)不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离第6页/共61页第七页，共62页。，和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标(zubio)和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准(biozhn)方程。解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为x

5、=- .3232 1 12解:方程可化为:x =- y,故p=,焦点坐标为(0, -),准线方程为y= .16 1 24 1 242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y2第7页/共61页第八页，共62页。练习(linx)1：1、根据下列条件(tiojin)，写出抛物线的标准方程：（1）焦点(jiodin)是F（3，0）；（2）准线方程 是x = ；41（3）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y第8页/共61页第九页，共62页。2、求下列抛物线的焦点坐标(zubio)和准线方程：(1)

6、y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =012焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2第9页/共61页第十页，共62页。 思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点 M 的横坐标为x0，则点M到焦点(jiodin)的距离是 x0 + 2pOyxFM这就是抛物线的焦半径(bnjng)公式!第10页/共61页第十一页，共62页。3、(1)抛物线y2 = 2px（p0）上一点M到焦点(jiodin)的距离是a，则点M到准线的距离是_，点M

7、的横坐标为_ a - 2pOyxFMP67练习(linx)3(1)a第11页/共61页第十二页，共62页。3、(2)抛物线y2 = 12x上与焦点的距离等于(dngy)9的点的坐标为_ OyxFMP67练习(linx)3(2)3-3第12页/共61页第十三页，共62页。 2. 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线(zhn xin)的距离，则点M的坐标是_. 第13页/共61页第十四页，共62页。变式练习:已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于(dngy)5，求抛物线的标准方程.解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为由抛物线

8、的定义知 -(-3)=5 即p=4.所以所求抛物线标准方程为y2 = -8xy2=-2px(p0)2p数形结合(jih),用定义转化条件。第14页/共61页第十五页，共62页。 5.求过点A（-3，2）的抛物线的标准(biozhn)方程.AOyx当当点点轴轴时时设设抛抛线线为为将将2 2解解：( (1 1) ) 焦焦在在y y正正方方向向，所所求求物物方方程程：x x = = 2 2p py y( (p p 0 0) )9 9A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =4 4( (2 2) )当当点点轴轴负负时时设设抛抛线线为为将将2 2焦焦在在x x方方向向，所所求求物

9、物方方程程：y y = = - -2 2p px x( (p p 0 0) )2 2A A（- -3 3，2 2）代代入入方方程程得得：p p = =3 3y所所以以抛抛线线为为或或2 22 2所所求求物物方方程程：x x = = y y = = - -x x9 94 42 23 3感悟(gnw)：1.待定系数法 2.数形结合 3. 分类讨论题型三（由有关(yugun)量求标准方程）第15页/共61页第十六页，共62页。oxy4.求焦点在直线(zhxin)3x+4y-12=0上的抛物线的标准方程.题型三（由有关量求标准(biozhn)方程）标准方程对应(duyng)的抛物线焦点在坐标轴上.分析

10、:解:由3x+4y-12=0令x=0得y=3 令y=0得x=4(0,3)(4,0)抛物线的焦点坐标为或2(0,3),2,362ppyp当焦点为设抛物线的方程为x由得2(4,0),2,482ppxp当焦点为设抛物线的方程为y由得2216 . x抛物线的方程为x =12y或y第16页/共61页第十七页，共62页。例2 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹(guj)方程.解：如图,设点M的坐标为(x,y),依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据(gnj)抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4,0）为焦点的抛物线.4 , 82pp 焦点(jio

11、din)在x轴的正半轴上，点M的轨迹方程为：y2=16xllMxOyF第17页/共61页第十八页，共62页。题型四 抛物线的应用(yngyng)例3:一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道(sudo),如下图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.第18页/共61页第十九页，共62页。第19页/共61页第二十页，共62页。第20页/共61页第二十一页，共62页。第21页/共61页第二十二页，共62页。第22页/共61页第二十三页，共62页。第23页/共61页第二十四页，共62页。答案(d n):A第24页/共61页第二十五页

12、，共62页。第25页/共61页第二十六页，共62页。答案(d n):D第26页/共61页第二十七页，共62页。解析:y2=8x=24x,p=4,准线(zhn xin)方程为2.2px 第27页/共61页第二十八页，共62页。.,11.()88.CD23xayy2aA 8B8抛物线的准线方程是则实数 的值为答案(d n):B解析(ji x):x2=ay的准线方程为 ,a=-8.24ay 第28页/共61页第二十九页，共62页。111.,0. 0,. 0,.()8,44.BCD24y2xA 1 0抛物线的焦点坐标是答案(d n):C1.210,.8:y22y2xx解析 由得焦点坐标为第29页/共6

13、1页第三十页，共62页。22222294.239423.,().4.39.2A xyyxyxxyC xyD yx 52 3B顶点在原点 坐标轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是或或答案(d n):B第30页/共61页第三十一页，共62页。:(, ),()(),(,49),(),2,3249.32pyx 221121222 3x2py p0y2p x p02 322p 392p22pxy解析点在第二象限设抛物线的标准方程为或把代入 得或或故所求的抛物线方程为或第31页/共61页第三十二页，共62页。y2=8x 解析(ji x):设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点P(2,4),则16=2a,a=

14、8,y2=8x.第32页/共61页第三十三页，共62页。-1 解析(ji x):由y2=4x得焦点F(1,0),代入直线方程得a+1=0.a=-1.第33页/共61页第三十四页，共62页。解析:抛物线y2=4x的焦点(jiodin)坐标为(1,0),圆心坐标为(1,0),半径r=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D第34页/共61页第三十五页，共62页。第35页/共61页第三十六页，共62页。1249422,32:( )(, ),()(392,.),ppxxy2211213 2y2px p0 x2p y p03 2y解点在第二象限设抛物线的标准方程为或则由抛物

15、线过解得或所求抛物线方程为或例2:求适合下列条件的抛物线的标准(biozhn)方程.(1)过点(-3,2);第36页/共61页第三十七页，共62页。 (2)令x=0,由方程(fngchng)x-2y-4=0得y=-2,当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程(fngchng)为x2=-2py(p0),则由 =2得p=4,所求抛物线方程(fngchng)为x2=-8y.令y=0,由方程(fngchng)x-2y-4=0得x=4,当抛物线的焦点为F(4,0)时,设抛物线方程(fngchng)为y2=2px(p0),则由 =4得p=8,所求抛物线方程(fngchng)为y2=16x.综上,所求

16、抛物线方程(fngchng)为x2=-8y或y2=16x.2p2p例2:求适合(shh)下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线x-2y-4=0上;第37页/共61页第三十八页，共62页。5,25,2例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程(fngchng).(3)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为5,2第38页/共61页第三十九页，共62页。解:(1)点(3,-4)在第四象限,设抛物线标准方程(fngchng)为y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),12

17、169, 2.34169.34pyxy 22px故所求的抛物线方程为或第39页/共61页第四十页，共62页。 (2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).故所求的抛物线的标准(biozhn)方程为x2=-20y或y2=-60 x.变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准(biozhn)方程.(2)焦点在直线x+3y+15=0上.第40页/共61页第四十一页，共62页。解析(ji x):因为定点(3,5)在直线上,所以点的轨迹是直线.答案:D第41页/共61页第四十二页，共62页。方法(fngf)：利用平移第42页/共61页第四十三页，共62页

18、。3.动点P到点A(0,2)的距离比到直线(zhxin)l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为_x2=8y第43页/共61页第四十四页，共62页。1.抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系; 2.抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往(wngwng)可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用.第44页/共61页第四十五页，共62页。提示(tsh)：利用准线第45页/共61页第四十六页，共62页。2p第46页/共61页第四十七页，共62页。故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.于是(ysh)|PA|+d

19、-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当A P F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为13.故所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.第47页/共61页第四十八页，共62页。第48页/共61页第四十九页，共62页。179.3. 5.22ABCD解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离(jl)等于到焦点的距离(jl).由图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点(0.5,0)三点共线时距离(jl)之和最小.第49页/共61页第五十页，共62页。22117(0)(20).22d所以最小距离答案(d n):A第50页/共61页第五十一页，共62页。1.已知定点A(3,2)和抛物线y2

20、=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点(y din)P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最小值.提示：利用点到直线距离定义(dngy)及二次函数最值提示：利用(lyng)准线第51页/共61页第五十二页，共62页。2(,),24( ):,2(),2,.42aaaaapp 22yx2py p0BBxay解 以拱顶为原点 拱高所在直线为 轴 建立直角坐标系如上图所示 设抛物线方程为则点 的坐标为由于点 在抛物线上 所以所以 抛物线方程为第52页/共61页第五十三页，共62页。0.64.0( . , ),.64(,.)344,.yaaaa E 0 8 yEABya12 21aa13将

21、点代入抛物线方程 得所以 点 到拱底的距离为解得取整数的最小值为第53页/共61页第五十四页，共62页。第54页/共61页第五十五页，共62页。第55页/共61页第五十六页，共62页。2162.516:,51655.4,( ,)(),().,.pxy 222yx2py p0A 45x2py p0162p54x4B BB 2 y2yy解 以拱桥的拱顶为坐标原点 拱高所在直线为 轴 建立如图所示的直角坐标系 设抛物线方程为由题意知 点在抛物线上所以所以抛物线方程为设水面上涨到船面两侧与抛物线拱桥接触于 时船开始不能通航 设由于所以所以水面与抛物线拱顶相3|2( ).4ym距答:水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始(kish)不能通航.第56页/共61页第五十七页，共62页。y2=4x 解析:设抛物线方程为y2=ax(a0),由方程组得交点坐标为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)为AB的中点(zhn din),从而a=4.故所求抛物线方程为y2=4x.2,yxyax第57页/共61页第五十八页，共62页。22:,).226 ,4,2 6.