2019-2020学年北京市高考压轴卷：数学(理)试卷(含解析)

1、. . 北京市高考压轴卷理科数学第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 个小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合2|340mx xx，| 05nxx，则mni（）a(0,4 b0,4) c 1,0) d ( 1,02. 等比数列na中，452,5aa，则数列lgna的前 8 项和等于（）a6 b5 c4 d3 3. 已知双曲线c的离心率为2，焦点为1f、2f，点 a在 c上，若122f af a，则21cosaf f（）a14 b13 c24 d234. 若向量,a br r满足：1, 2,aabaabb

2、rrrrrrr则br（）a2 b2 c 1 d225.已知函 数的一个对 称中心是. . ，且，要得到函数的图像，可将函数的图像 ( ) . . 向 左 平 移个单位长度向左平移个单位长度. . 向 右 平 移个单位长度向右平移个单位长度6. 若120( )2( ),fxxf x dx则10( )f x dx（）. . a.1 b.13 c.13 d.1 7. 已知甲盒中仅有1 个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球3,3mn，从乙盒中随机抽取1,2i i个球放入甲盒中. （a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为1,2ii；（b）放入i个球后，从甲盒中取1 个球是红球的概率记为1,2ip

3、 i. 则a.1212,pp ee b.1212,ppeec.1212,pp ee d.1212,ppee8. 已知点p 为函数lnfxx的图象上任意一点，点q为圆221()1xeye上任意一点，则线段pq的长度的最小值为a21eee b221eee c21eee d11ee第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（共6 个小题，每题 5 分，共 30 分）9. 执行右侧的程序框图，若输入9x，则输出y . 10. 若函数( )cos2sinf xxax在区间(,)62是减函数，则a的取值范围是 . . . 11. 当实数x，y满足240,10,1,xyxyx时，14axy恒成立，则实数a的取

4、值范围是 _. 12. 已知曲线c：24xy，直线l ：x=6。若对于点a（m ，0）,存在 c 上的点p和l上的点q使得0apaqu uu ru uu rr，则 m的取值范围为。13. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos1 sinxcy：， （为参数）交于a、b两点，且2ab，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_. 14.若函数, 则不等式的解集是 _.三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. （本小题满分13 分）已知 a，b， c 分别为 abc三个内角a，b，c的对边， c asin c

5、 ccos a. . . (1) 求 a； (2)若 a2， abc的面积为，求b，c. 16. （本小题满分13 分）某校高一年级学生举行了“跳绳、短跑、乒乓球”三项体育健身活动，要求每位同学至少参加一项活动，高一（ 1）班 50 名学生参加健身活动的项数统计如图所示。（i ） 从该班中任意选两名学生，求他们参加活动项数不相等的概率。（） 从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动项数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 e. （）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动项数之和，记 “函数xf=12xx在区间 （ 3,5 ）上有且只有一个零点”为事件a,求事件 a发生的概率。1

6、7. （本小题满分13 分）如图，三棱柱111abca b c中，点1a在平面 abc内的射影d在 ac上，090acb，11,2bcaccc. （i ）证明：11aca b；（ii ）设直线1aa与平面11bcc b的距离为3，求二面角1aabc的大小 . db1cc1a1ab18. （本小题满分13 分）已知函数. (1) 当时，求的极值；. . (2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围 . 19.( 本题满分 14分) 如图，设椭圆,01:2222babyaxc动直线l与椭圆c只有一个公共点 p ，且点 p在第一象限 . （1）已知直线l的斜率为k，用kba,表示点 p的坐标；（2）

7、若过原点o的直线1l与l垂直，证明：点 p到直线1l的距离的最大值为ba. 20. （本小题满分 14 分）设实数0c，整数1p，*nn. （i ）证明：当1x且0 x时，pxxp1)1(；（）数列na满足pca11，pnnnapcappa111，证明：pnncaa11. . 试卷答案1.b 2.c 3.a 4.b 5.c 6.b【解析】设10mfx dx，则2( )2f xxm，111123000011( )2( )2233f x dxxf x dx dxxmxmm，所以13m. 7.a【解析】.302031306323018306124321212111)2(ee2306*118*26*3

8、e,306) 1 (,3018)2(,306)3(3737805923,2,12.23e,211,211)(3, 32121122262326131326231appppccpcccpccpqqnm选个，是红球的概率个后，再从甲中取从乙中取个，是红球的概率个后，再从甲中取从乙中取分别，概率是个后，甲中的红球可能从乙中取，概率均为是个后，甲中的红球可能从乙中取令=+=+=+=8.c9. 【答案】929【解析】929y929,311)2(311, 5)2(5,9)1(=yxyxyx各步运算结果如下：10. 【答案】,211. 【答案】23, 1【解析】23, 1,.230,42521-, 41,4

9、1).1 , 2(),23, 1(),0, 1(1,01-,04-2+=+aaaayaxxyxyx所以解得代入目标函数分别是的三角形区域的顶点，计算三条直线12.【答案】3 ,2. . 【解析】3 ,2 3, 20 ,2- ,62), 6(),()0,(,0 0, 2- 211111所以，是的中点为轴左侧，的半个圆，在图像是半径为mxxmtqyxpmaaqapxyc+=+13.14. 【答案】(1,2)15. 【答案】 (1) 由c3asin cccos a及正弦定理，得3sin asin ccos asin csin c0，由于 sin c0，所以sina612，又 0a，所以6a656，故

10、a3. (2) abc的面积s12bcsin a3，故bc4. 而a2b2c22bccos a，故b2c28，解得bc2. 由于 sin c0，所以sina612，又 0a，所以6a656，故a3. (2) abc的面积s12bcsin a3，故bc4. 而a2b2c22bccos a，故b2c28，解得bc2. . . 16.17. 解：解法一： （i）1ad 平面 abc ，1a d 平面11aac c ，故平面11aac c 平面 abc 又 bcac，bc 平面11aac c 连结1ac ， 侧面11aac c 为菱形，故11acac， 由三垂线定理得11acab；（ii ）bc 平面

11、11,aac cbc 平面11bcc b ，故平面11aac c 平面11bcc b 作11,a ecce为垂足，则1ae 平面11bcc b 又直线1aa 平面11bcc b ，因而1ae 为直线1aa 与平面11bcc b 的距离，13a e =1ac 为1accd的角平分线，故113a da e=作,dfab f为垂足，连结1af ，由三垂线定理得1afab，故1afdd为二面角1aabc的平面角由22111adaaad=-=得d为ac的中点，1115, tan15 ,25a dacbcdfa fdabdf=?=二面角1aabc的大小为 arctan 15 . . b1c1dcbaa1e

12、fzyxb1c1dcbaa1解法二：以c 为坐标原点，射线ca 为x轴的正半轴，以cb 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz-由题设知1a d 与z轴平行，z轴在平面11aac c 内（i）设()1, 0 ,aac，由题设有()()2 ,2 , 0 , 0 ,0 ,1, 0 ,aab则()()()()()11112 ,1 , 0 ,2 , 0 , 0 ,2 , 0 ,4 , 0 ,1,.abacaaacacacaaacbaac=-=-=-=+=-=-uuu ruuu ruuuruuuu ruuu ruuuruuur由12aa =u uu r得()2222ac-+=，即2240aac

13、-+=（） 于是22111140 ,acbaaacaca b?-+=uuuu r uuur（ii ） 设平面11bcc b 的法向量(),mxyz=u r则1,mcbmbbu ruuu ruruuur即10 ,0m cbm bb?ur uuu ru r uuur()0, 1, 0 ,cb =uuu rq()112 , 0 ,bbaaac=-uuuruuur故0y =，且()20axcz-+=令xc=，则()2, 0 , 2zamca=-=-ur，点a到平面11bcc b 的距离为()222cos,2ca mccam cacmca?=+-uuu r u ruuu ru ruuu ru r又依题设

14、，点a到平面11bcc b 的距离为3 ,3c = 代入解得3a= （舍去）或1a= 于是()11, 0,3aa =-uu u r 设平面1aba 的法向量(),npq r=r，则1,naanabruuurruuu r， 即10 ,0 ,30n aan abpr?-+=ruuurr uuu r， 故 且20pq-+= 令3p =， 则2 3,1,qr=3,23,1nr又0,0,1pu r为平面abc的法向量，故1cos,4n pn pnpru rr u rru r，二面角1aabc的大小为1arccos418. （1）当b=2时，= x+2- xfx21 2的定义域为1-2，252112212

15、2221212x xfxxxxxx令0fx，解得12x2,0 x当1x2x2和0时，0fx，所以( )f x在1, 2,2, 0上单调递减；. . 当12 x2时，0fx，所以( )f x在12,2上单调递增；所以，当x2时，( )f x取得极小值( 2)0f；当1x2时，( )f x取得极大值(0)4f。（2）fx在10,3上单调递增0,fx且不恒等于0 对 x10,3恒成立7分2211523212221212xxbxfxxbxxbxbxx25320 xbxx8 分min253xb10 分1252513339xq11 分19b12 分19. )bkab,bkaka-(,bkabybkaka-

16、x1byax0bk2ya2x0by2ya2x:1byax)y,p(x0,k222222222222022220220220202022222200+=+=+=+=+=+p，所以，联立求得：，求导得对设由题知 . . .-ba2ab)b-(abakbka2)b-(abakbka)b-(abk1)a(k)b-k(a-|1kbkakbbkaka-|)bkab,bkaka-(.037373805920,k1222222222222222222222222222222222221222222221balpbadlpkyxqqll的距离最大值为到直线所以，点的距离到直线点为方程直线斜率为设直线=+=+=+

17、=+=+=+20. （）证：用数学归纳法证明当2p时，xxxx2121)1(22，原不等式成立假设),2(*nkkkp时，不等式kxxk1)1(成立，当1kp时，)1)(1()1)(1 ()1(1kxxxxxkkxkkxxk)1(1)1(12所以1kp时，原不等式也成立综合可得，当0, 1 xx时，对一切整数1p，不等式pxxp1)1 (均成立（）证法1：先用数学归纳法证明pnca1当1n时，由题设pca11知pnca1成立假设kn（*, 1nkk）时，不等式pkca1成立由pnnnapcappa111易知，*, 0nnan当1kn时，)1(1111pkpkkkacpapcppaa由01pkca得0)1(111pkacpp由（）中的结论得，pkpkppkpkkacacppacpaa)1(11)1(11 )(1因此capk 1，即pkca11. . . 所以1kn时，不等式pnca1也成立综合、可得，对一切正整数n，不等式pnca1均成立再由)1(111pnnnacpaa可得11nnaa，即nnaa1综上所述，*11,nncaapnn证法 2：设ppcxxpcxppxf11,1)(，则