函数模型及其应用

1、第九节函数模型及其应用【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)几种常见的函数模型几种常见的函数模型: :函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(xf(x)=ax+b(a,b)=ax+b(a,b为常数为常数,a0),a0)二次函数模型二次函数模型f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数为常数,a0),a0)与指数函数相关模型与指数函数相关模型f(xf(x)=ba)=bax x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数为常数,a0,a0且且a1,b0)a1,b0)与对数函数相关模型与对数函

2、数相关模型f(xf(x)=blog)=bloga ax+c(a,b,cx+c(a,b,c为常数为常数,a0,a0且且a1,b0)a1,b0)与幂函数相关模型与幂函数相关模型f(xf(x)=ax)=axn n+b(a,b,n+b(a,b,n为常数为常数,a0),a0)(2)(2)三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较: :y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性单调单调_函数函数单调单调_函数函数单调单调_函数函数增长速度增长速度越来越越来越_越来越越来越_相对平稳相对平稳图象

3、的图象的变化变化随随x x值增大值增大, ,图象与图象与_轴轴接近平行接近平行随随x x值增大值增大, ,图象与图象与_轴轴接近平行接近平行随随n n值变化值变化而不同而不同增增增增增增快快慢慢y yx x(3)(3)解决实际应用问题的一般步骤解决实际应用问题的一般步骤: :审题审题: :弄清题意弄清题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,理顺数量关系理顺数量关系, ,初步选择数学模型初步选择数学模型; ;建模建模: :将自然语言转化为数学语言将自然语言转化为数学语言, ,利用数学知识利用数学知识, ,建立相应的数学建立相应的数学模型模型; ;求模求模: :求解数学模型求解数学模型, ,得

4、出数学结论得出数学结论; ;还原还原: :将数学问题还原为实际问题将数学问题还原为实际问题. .以上过程用框图表示如下以上过程用框图表示如下: :2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记“f(xf(x)=x+ (a0)”)=x+ (a0)”型函数模型型函数模型形如形如f(xf(x)=x+ (a0)=x+ (a0)的函数模型称为的函数模型称为“对勾对勾”函数模型函数模型: :该函该函数在数在(-,- (-,- 和和 ,+) ,+)上单调递增上单调递增, ,在在- ,0)- ,0)和和(0, (0, 上单上单调递减调递减. .当当x0 x0时时,x=_,x=_时取最小值时取最小值_,_

5、,当当x0 x1)1)的增长速度会超过并远远大的增长速度会超过并远远大于于y=xy=xa a(a(a0)0)的增长速度的增长速度.(.() )(3)“(3)“指数爆炸指数爆炸”是指数型函数是指数型函数y=ay=ab bx x+c(a0,b0,b1)+c(a0,b0,b1)增长速度增长速度越来越快的形象比喻越来越快的形象比喻.(.() )(4)(4)指数函数模型指数函数模型, ,一般用于解决变化较快一般用于解决变化较快, ,短时间内变化量较大的实短时间内变化量较大的实际问题中际问题中.(.() )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .当当x x(0,2)(0,2)和和(4,+(4,+) )时时

6、,2,2x xxx2 2, ,当当x x(2,4)(2,4)时时,x,x2 222x x. .(2)(2)正确正确. .由两者的图象易知由两者的图象易知. .(3)(3)错误错误. .增长越来越快的指数型函数是增长越来越快的指数型函数是y=ay=ab bx x+c(a+c(a0,b1).0,b1).(4)(4)正确正确. .根据指数函数根据指数函数y=ay=ax x(a(a1)1)函数值增长特点知函数值增长特点知(4)(4)正确正确. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编链接教材练一练教材改编链接教材练一练(1)(1)(必修必修1P107A1P107

7、A组组T1T1改编改编) )在某个物理实验中在某个物理实验中, ,测量得变量测量得变量x x和变量和变量y y的的几组数据几组数据, ,如下表如下表: :则则x,yx,y最适合的函数的是最适合的函数的是( () )A.yA.y=2x=2xB.yB.y=x=x2 2-1-1C.y=2x-2C.y=2x-2D.yD.y=log=log2 2x xx x0.500.500.990.992.012.013.983.98y y-0.99-0.990.010.010.980.982.002.00【解析【解析】选选D.D.根据根据x=0.50,y=-0.99,x=0.50,y=-0.99,代入计算代入计算,

8、 ,可以排除可以排除A;A;根据根据x=2.01,y=0.98,x=2.01,y=0.98,代入计算代入计算, ,可以排除可以排除B,C;B,C;将各数据代入函数将各数据代入函数y=logy=log2 2x,x,可知满足题意可知满足题意. .故选故选D.D.(2)(2)(必修必修1P107A1P107A组组T3T3改编改编) )一根蜡烛长一根蜡烛长20cm,20cm,点燃后每小时燃烧点燃后每小时燃烧5cm,5cm,燃燃烧时剩下的高度烧时剩下的高度h(cmh(cm) )与燃烧时间与燃烧时间t(ht(h) )的函数关系用图象表示为图中的函数关系用图象表示为图中的的( () )【解析【解析】选选B.

9、B.由题意知由题意知h=20-5t(0h=20-5t(0t t4),4),故选故选B.B.3.3.真题小试感悟考题试一试真题小试感悟考题试一试(1)(2015(1)(2015泉州模拟泉州模拟) )某产品的总成本某产品的总成本y(y(万元万元) )与产量与产量x(x(台台) )之间的函之间的函数关系是数关系是y=3000+20 x-0.1xy=3000+20 x-0.1x2 2(0 x240,xN(0 x240,xN* *),),若每台产品的售价为若每台产品的售价为2525万元万元, ,则生产者不亏本时则生产者不亏本时( (销售收入不小于总成本销售收入不小于总成本) )的最低产量是的最低产量是(

10、 () )A.100A.100台台B.120B.120台台C.150C.150台台D.180D.180台台【解析解析】选选C.C.设利润为设利润为f(xf(x)()(万元万元),),则则f(xf(x)=25x-(3000+20 x-0.1x)=25x-(3000+20 x-0.1x2 2) )=0.1x=0.1x2 2+5x-3000+5x-30000,0,所以所以x x150.150.(2)(2015(2)(2015武汉模拟武汉模拟) )里氏震级里氏震级M M的计算公式为的计算公式为:M=lg A-lg:M=lg A-lg A A0 0, ,其中其中A A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是测

11、震仪记录的地震曲线的最大振幅,A,A0 0是相应的标准地震的振幅是相应的标准地震的振幅. .假假设在一次地震中设在一次地震中, ,测震仪记录的最大振幅是测震仪记录的最大振幅是1000,1000,此时标准地震的振幅此时标准地震的振幅为为0.001,0.001,则此次地震的震级为则此次地震的震级为级级;9;9级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级级地震最大振幅的地震最大振幅的倍倍. .【解析【解析】由由lg1000-lg0.001=6,lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为得此次地震的震级为6 6级级. .因为标准地因为标准地震的振幅为震的振幅为0.001,0.001,设设9

12、9级地震最大振幅为级地震最大振幅为A A9 9, ,则则lglg A A9 9-lg0.001=9-lg0.001=9解得解得A A9 9=10=106 6, ,同理同理5 5级地震最大振幅级地震最大振幅A A5 5=10=102 2, ,所以所以9 9级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地级地震的最大振幅的震的最大振幅的1000010000倍倍. .答案答案: :6 61000010000考点考点1 1一次函数、二次函数模型一次函数、二次函数模型知知考情考情以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中, ,尤尤其是二次函数其

13、是二次函数, ,考查较多考查较多, ,既有选择题、填空题既有选择题、填空题, ,也有解答题也有解答题, ,难度适中难度适中, ,属中档题属中档题. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:单一考查一次函数或二次函数模型单一考查一次函数或二次函数模型【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015西安模拟西安模拟) )某电信公司推出两某电信公司推出两种手机收费方式种手机收费方式:A:A种方式是月租种方式是月租2020元元,B,B种方式是月种方式是月租租0 0元元. .一个月的本地网内通话时间一个月的本地网内通话时间t(t(分钟分钟) )与电话与电话费费s(s(元元) )的函数关系如图所示的函数

14、关系如图所示, ,当通话当通话150150分钟时分钟时, ,这这两种方式电话费相差两种方式电话费相差( () )A.10A.10元元B.20B.20元元C.30C.30元元D. D. 元元403(2)(2015(2)(2015昆明模拟昆明模拟) )在如图所示的锐角三角形空地中在如图所示的锐角三角形空地中, ,欲建一个面积欲建一个面积最大的内接矩形花园最大的内接矩形花园( (阴影部分阴影部分),),则其边长则其边长x x为为m.m.【解题提示【解题提示】(1)(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程根据对应点的坐标分别求出两条直线方程. .(2)(2)根据相似三角形的性质根据相似三角形的性质,

15、 ,找出比例关系找出比例关系, ,列出以列出以x x为变量的二次函数为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。式表示出阴影部分的面积。【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.依题意可设依题意可设s sA A(t(t)=20+kt,s)=20+kt,sB B(t)=mt(t)=mt, ,又又s sA A(100)=s(100)=sB B(100),(100),所以所以100k+20=100m,100k+20=100m,得得k-mk-m=-0.2,=-0.2,于是于是s sA A(150)-s(150)-sB B(150)=20+150k-150m=20+150(150)=20+150k-15

16、0m=20+150(-0.2)=-10,(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差即两种方式电话费相差1010元元. .(2)(2)由相似三角形性质可得由相似三角形性质可得 , ,解得解得y=40-x,y=40-x,所以面积所以面积S=x(40-x)=-xS=x(40-x)=-x2 2+40 x=-(x-20)+40 x=-(x-20)2 2+400(0 x40),+400(0 x40),当当x=20 x=20时时,S,Sm maxax=400.=400.答案答案: :2020 x40y4040【互动探究【互动探究】在本例在本例(2)(2)中中, ,欲建一个面积不小于欲建一个面积不小于300m

17、300m2 2的内接矩形的内接矩形花园花园, ,则其边长则其边长x x的取值范围又是多少呢的取值范围又是多少呢? ?【解析【解析】 , ,则则x=40-y,y=40-x.x=40-y,y=40-x.由由xy300,xy300,即即x(40-x)300,x(40-x)300,解得解得10 x30.10 x30.x40y4040命题角度命题角度2:2:以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型【典例【典例2 2】(2015(2015厦门模拟厦门模拟) )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况个城市的交通状况.

18、.在一般情况下在一般情况下, ,大桥上的车流速度大桥上的车流速度v(v(单位单位: :千米千米/ /时时) )是车流密度是车流密度x(x(单位单位: :辆辆/ /千米千米) )的函数的函数. .当桥上的车流密度达到当桥上的车流密度达到200200辆辆/ /千千米时米时, ,造成堵塞造成堵塞, ,此时车流速度为此时车流速度为0;0;当车流密度不超过当车流密度不超过2020辆辆/ /千米时千米时, ,车车流速度为流速度为6060千米千米/ /时时. .研究表明研究表明: :当当20 x20020 x200时时, ,车流速度车流速度v v是车流密是车流密度度x x的一次函数的一次函数. .(1)(1

19、)当当0 x2000 x200时时, ,求函数求函数v(xv(x) )的表达式的表达式. .(2)(2)当车流密度当车流密度x x为多大时为多大时, ,车流量车流量( (单位时间内通过桥上某观测点的车单位时间内通过桥上某观测点的车辆数辆数, ,单位单位: :辆辆/ /时时)f(x)=x)f(x)=xv(xv(x) )可以达到最大可以达到最大, ,并求出最大值并求出最大值.(.(精确精确到到1 1辆辆/ /时时) )【解题提示【解题提示】(1)(1)根据已知条件根据已知条件, ,确定确定0 0 x x200200时时v(xv(x) )的表达式的表达式. .(2)(2)确定确定0 x200 x20

20、及及20 x20020 x200时时,v(x,v(x) )的分段函数的分段函数, ,根据函数的性质根据函数的性质确定确定f(x)=xf(x)=xv(xv(x) )的最大值的最大值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意由题意, ,当当0 x200 x20时时,v(x,v(x)=60;)=60;当当20 x20020 x200时时, ,设设v(x)=ax+bv(x)=ax+b, ,再由已知得再由已知得解得解得故函数故函数v(xv(x) )的表达式为的表达式为v(xv(x)=)=200ab0,20ab60,1a,3200b.3 60 0 x20,1200 x ,20 x200.3，(2)(2

21、)依题意并由依题意并由(1)(1)可得可得f(xf(x)=)=当当0 x200 x20时时,f(x,f(x) )为增函数为增函数, ,故当故当x=20 x=20时时, ,其最大值为其最大值为606020=1200;20=1200;当当20 x20020 x200时时,f(x,f(x)= )= x(200 x(200 x)x)当且仅当当且仅当x=200-x,x=200-x,60 x 0 x201x 200 x20 x200.3， ， 132x200 x110 000323，即即x=100 x=100时时, ,等号成立等号成立. .所以当所以当x=100 x=100时时,f(x,f(x) )在区间

22、在区间(20,200(20,200上取得最上取得最大值大值 3333.3333.综上综上, ,当车流密度为当车流密度为100100辆辆/ /千米时千米时, ,车流量可以达到最大车流量可以达到最大, ,最大值约为最大值约为33333333辆辆/ /时时. .10 0003悟悟技法技法一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)(1)直接考查一次函数、二次函数模型直接考查一次函数、二次函数模型. .解决此类问题应注意三点解决此类问题应注意三点: :二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决, ,

23、但一定要密但一定要密切注意函数的定义域切注意函数的定义域, ,否则极易出错否则极易出错; ;确定一次函数模型时确定一次函数模型时, ,一般是借助两个点来确定一般是借助两个点来确定, ,常用待定系数法常用待定系数法; ;解决函数应用问题时解决函数应用问题时, ,最后要还原到实际问题最后要还原到实际问题. .(2)(2)以分段函数的形式考查以分段函数的形式考查. .解决此类问题应关注以下三点解决此类问题应关注以下三点: :实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出, ,而是由几而是由几个不同的关系式构成个不同的关系式构成, ,如出租车票价与路程

24、之间的关系如出租车票价与路程之间的关系, ,应构建分段函应构建分段函数模型求解数模型求解; ;构造分段函数时构造分段函数时, ,要力求准确、简洁要力求准确、简洁, ,做到分段合理、不重不漏做到分段合理、不重不漏; ;分段函数的最值是各段的最大分段函数的最值是各段的最大( (或最小或最小) )者的最大者者的最大者( (最小者最小者).).提醒提醒: :(1)(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. .(2)(2)对构建的较复杂的函数模型对构建的较复杂的函数模型, ,要适时地用换元法转化为熟悉的函数要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解问题求解. .通

25、通一类一类1.(20151.(2015盐城模拟盐城模拟) )某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料( (如图如图),),为降低消耗为降低消耗, ,开源节流开源节流, ,现要从这些边角料上截取矩形铁片现要从这些边角料上截取矩形铁片( (如图阴影如图阴影部分部分) )备用备用, ,则截取的矩形面积的最大值为则截取的矩形面积的最大值为. .【解析【解析】依题意知依题意知: : 即即x= (24-y),x= (24-y),所以阴影部分的面积所以阴影部分的面积S=xyS=xy= (24-y)y= (-y= (24-y)y= (-y2 2+24y),+24y),所以当所以

26、当y=12y=12时时,S,S有最大值为有最大值为180.180.答案答案: :18018020 xy8x24y，5454542.(20152.(2015福州模拟福州模拟) )为了在为了在“十一十一”黄金周期间降价搞促销黄金周期间降价搞促销, ,某超市某超市对顾客实行购物优惠活动对顾客实行购物优惠活动, ,规定一次购物付款总额规定一次购物付款总额: :如果不超过如果不超过200200元元, ,则不予优惠则不予优惠; ;如果超过如果超过200200元元, ,但不超过但不超过500500元元, ,则按标价给予则按标价给予9 9折折优惠优惠; ;如果超过如果超过500500元元, ,其中其中5005

27、00元按第元按第条给予优惠条给予优惠, ,超过超过500500元的部元的部分给予分给予7 7折优惠折优惠. .辛云和她母亲两次去购物辛云和她母亲两次去购物, ,分别付款分别付款168168元和元和423423元元, ,假假设他们一次性购买上述同样的商品设他们一次性购买上述同样的商品, ,则应付款额为则应付款额为. .【解析【解析】依题意依题意, ,价值为价值为x x元的商品和实际付款数元的商品和实际付款数f(xf(x) )之间的函数关系之间的函数关系式为式为当当f(xf(x)=168)=168时时, ,由由1681680.9187200,0.9187200,故此时故此时x=168;x=168;

28、当当f(xf(x)=423)=423时时, ,由由4234230.9=470(200,500,0.9=470(200,500,故此时故此时x=470.x=470.所以两次共购得价值为所以两次共购得价值为470+168=638470+168=638元的商品元的商品, ,又又5005000.9+(638-500)0.9+(638-500)0.7=546.60.7=546.6元元, ,即若即若一次性购买上述商品一次性购买上述商品, ,应付款额为应付款额为546.6546.6元元. .答案答案: :546.6546.6元元 x,0 x200,f x0.9x,200 x500,500 0.9x5000.

29、7,x500.3.(20153.(2015日照模拟日照模拟) )某家庭进行理财投资某家庭进行理财投资, ,根据长期收益率市场预测根据长期收益率市场预测, ,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比, ,投资股票等风险型产投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比品的收益与投资额的算术平方根成正比. .已知投资已知投资1 1万元时两类产品万元时两类产品的收益分别为的收益分别为0.1250.125万元和万元和0.50.5万元万元. .(1)(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. .(2)(2)该家庭

30、有该家庭有2020万元资金万元资金, ,全部用于理财投资全部用于理财投资, ,问问: :怎么分配资金能使怎么分配资金能使投资获得最大收益投资获得最大收益, ,其最大收益是多少万元其最大收益是多少万元? ?【解析【解析】(1)(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(xf(x)=k)=k1 1x,g(x)=kx,g(x)=k2 2 . .由已知得由已知得f(1)= =kf(1)= =k1 1,g(1)= =k,g(1)= =k2 2, ,所以所以f(xf(x)= x(x0),g(x)= )= x(x0),g(x)= (x0).(x0).x1812181x2

31、(2)(2)设投资债券类产品为设投资债券类产品为x x万元万元, ,则投资股票类产品为则投资股票类产品为(20-x)(20-x)万元万元, ,依题意得依题意得y=f(x)+g(20-x)= (0 x20).y=f(x)+g(20-x)= (0 x20).令令t= t= 则则y= y= 所以当所以当t=2,t=2,即即x=16x=16时时, ,收益最大收益最大,y,ym maxax=3=3万元万元. .投资债券类产品投资债券类产品1616万元万元, ,投资股票类产品投资股票类产品4 4万元万元, ,可使投资获得最大可使投资获得最大收益收益, ,最大收益为最大收益为3 3万元万元. .x120 x

32、8220 x(0t2 5), 2220t11tt23,828 【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014武汉模拟武汉模拟) )在经济学中在经济学中, ,函数函数f(xf(x) )的边际函数的边际函数Mf(xMf(x) )定义为定义为:Mf(x:Mf(x)=f(x+1)-f(x).)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产某公司每月生产x x台某种产品的收台某种产品的收入为入为R(xR(x) )元元, ,成本为成本为C(xC(x) )元元, ,且且R(xR(x)=3000 x-20 x)=3000 x-20 x2 2, C(x, C(x)=500 x+4000)=500 x+4000(x

33、N(xN* *).).现已知该公司每月生产该产品不超过现已知该公司每月生产该产品不超过100100台台. .(1)(1)求利润函数求利润函数P(xP(x) )以及它的边际利润函数以及它的边际利润函数MP(xMP(x).).(2)(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. .【解析【解析】(1)(1)由题意由题意, ,得得x x1,100,1,100,且且x xN N* *. .P(x)=R(x)-C(x)=(3000 x-20 xP(x)=R(x)-C(x)=(3000 x-20 x2 2)-(500 x+4000)-(500 x+4000

34、)=-20 x=-20 x2 2+2500 x-4000,+2500 x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2 2+2500(x+1)-4000-(-20 x+2500(x+1)-4000-(-20 x2 2+2500 x-+2500 x-4000)=2480-40 x.4000)=2480-40 x.(2)P(x)=(2)P(x)= +74125,+74125,当当x=62x=62或或x=63x=63时时,P(x,P(x) )取得最大值取得最大值7412074120元元; ;因为因为MP(xMP(x)=2480-

35、40 x)=2480-40 x是减函数是减函数, ,所以当所以当x=1x=1时时, ,MP(xMP(x) )取得最大值取得最大值24402440元元. .故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为7168071680元元. .212520(x)22.2.据气象中心观察和预测据气象中心观察和预测: :发生于发生于M M地的沙尘暴一直向正南方向移动地的沙尘暴一直向正南方向移动, ,其移动速度其移动速度v(km/hv(km/h) )与时间与时间t(ht(h) )的函数图象如图所示的函数图象如图所示, ,过线段过线段OCOC上一上一点点T(t,0)T(

36、t,0)作横轴的垂线作横轴的垂线l, ,梯形梯形OABCOABC在直线在直线l左侧部分的面积即为左侧部分的面积即为t(ht(h) )内沙尘暴所经过的路程内沙尘暴所经过的路程s(kms(km).).(1)(1)当当t=4t=4时时, ,求求s s的值的值. .(2)(2)将将s s随随t t变化的规律用数学关系式表示出来变化的规律用数学关系式表示出来. .(3)(3)若若N N城位于城位于M M地正南方向地正南方向, ,且距且距M M地地650km,650km,试判断这场沙尘暴是否会试判断这场沙尘暴是否会侵袭到侵袭到N N城城, ,如果会如果会, ,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到在沙尘暴发生后

37、多长时间它将侵袭到N N城城? ?如果不如果不会会, ,请说明理由请说明理由. .【解析【解析】(1)(1)由图象可知由图象可知: :当当t=4t=4时时,v=3,v=34=12(km/h),4=12(km/h),所以所以s= s= 4 412=24(km).12=24(km).(2)(2)当当0t100t10时时,s= ,s= t t3t= t3t= t2 2; ;当当10t2010t20时时, ,s= s= 101030+30(t-10)=30t-150;30+30(t-10)=30t-150;当当20t3520t35时时,s= ,s= 101030+1030+1030+(t-20)30+

38、(t-20)30- 30- (t-20)(t-20)2(t-20)=-t2(t-20)=-t2 2+70t-550.+70t-550.123212121212综上综上, ,可知可知s= s= (3)(3)沙尘暴会侵袭到沙尘暴会侵袭到N N城城. .因为因为t0,10t0,10时时,s,sm maxax= = 10102 2=150650,=150650,t(10,20t(10,20时时,s,sm maxax=30=3020-150=450650,20-150=450650,所以当所以当t(20,35t(20,35时时, ,令令-t-t2 2+70t-550=650.+70t-550=650.解

39、得解得t t1 1=30,t=30,t2 2=40(=40(舍舍).).所以沙尘暴发生后所以沙尘暴发生后30h30h会侵袭到会侵袭到N N城城. .223t ,t0,10 ,230t150,t(10,20 ,t70t550,t(20,35 .32考点考点2 2 函数函数y yx x 模型的应用模型的应用【典例【典例3 3】(2015(2015天津模拟天津模拟) )某村计划建造一个室内面积为某村计划建造一个室内面积为800m800m2 2的的矩形蔬菜温室矩形蔬菜温室, ,在温室内在温室内, ,沿左、右两侧与后侧内墙各保留沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m1m宽的通宽的通道道, ,沿前侧内墙保留沿前

40、侧内墙保留3m3m宽的空地宽的空地, ,当矩形温室的边长各为多少时当矩形温室的边长各为多少时, ,蔬蔬菜的种植面积最大菜的种植面积最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ?【解题提示【解题提示】根据条件设温室的左侧边长为根据条件设温室的左侧边长为x m,x m,列出种植面积列出种植面积y=y=(x-4)( -2),(x-4)( -2),然后化简然后化简, ,构建构建“对勾函数对勾函数”求解求解. .ax800 x【规范解答【规范解答】设温室的设温室的左左侧边长为侧边长为x m,x m,则右侧边长为则右侧边长为 m.m.所以蔬所以蔬菜种植面积菜种植面积y=(x-4)( -2)y=(x-4)(

41、-2)=808-2(x+ )(4x400).=808-2(x+ )(4x400).因为因为x+ 2 =80,x+ 2 =80,所以所以y808-2y808-280=648.80=648.当且仅当当且仅当x= ,x= ,即即x=40 x=40时取等号时取等号, ,此时此时 =20,y=20,y最最大值大值=648(m=648(m2 2).).即当矩形温室的边长各为即当矩形温室的边长各为40m,20m40m,20m时时, ,蔬菜的种植面积最大蔬菜的种植面积最大, ,最大面最大面积是积是648m648m2 2. .800 x800 x1600 x1600 x1 600 xx1600 x800 x【规

42、律方法【规律方法】应用函数应用函数y=x+ y=x+ 模型的关键点模型的关键点(1)(1)明确对勾函数是正比例函数明确对勾函数是正比例函数f(xf(x)=ax)=ax与反比例函数与反比例函数f(xf(x)= )= 叠加而叠加而成的成的. .(2)(2)解决实际问题时一般可以直接建立解决实际问题时一般可以直接建立f(xf(x)=ax+ )=ax+ 的模型的模型, ,有时可以有时可以将所列函数关系式转化为将所列函数关系式转化为f(xf(x)=ax+ )=ax+ 的形式的形式. .(3)(3)利用模型利用模型f(xf(x)=ax+ )=ax+ 求解最值时求解最值时, ,要注意自变量的取值范围要注意自

43、变量的取值范围, ,及取及取得最值时等号成立的条件得最值时等号成立的条件. .bxbxbxbxax【变式训练【变式训练】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, ,房屋的屋房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层顶和外墙需要建造隔热层. .某幢建筑物要建造可使用某幢建筑物要建造可使用2020年的隔热层年的隔热层, ,每厘米厚的隔热层建造成本为每厘米厚的隔热层建造成本为6 6万元万元. .该建筑物每年的能源消耗费用该建筑物每年的能源消耗费用C(C(单位单位: :万元万元) )与隔热层厚度与隔热层厚度x(x(单位单位:cm):cm)满足关系满足关系C(xC(x)=)=(

44、0 x10),(0 x10),若不建隔热层若不建隔热层, ,每年能源消耗费用为每年能源消耗费用为8 8万元万元, ,设设f(xf(x) )为隔为隔热层建造费用与热层建造费用与2020年的能源消耗费用之和年的能源消耗费用之和. .(1)(1)求求k k的值及的值及f(xf(x) )的表达式的表达式. .(2)(2)隔热层修建多厚时隔热层修建多厚时, ,总费用总费用f(xf(x) )达到最小达到最小, ,并求最小值并求最小值. .k3x5【解析【解析】(1)(1)由已知条件得由已知条件得C(0)=8,C(0)=8,则则k=40,k=40,因此因此f(xf(x)=6x+20C(x)=6x+20C(x

45、)=6x+ (0=6x+ (0 x x10).10).(2)f(x)=6x+10+ -10(2)f(x)=6x+10+ -102 -10=70(2 -10=70(万元万元),),当且仅当当且仅当6x+10= ,6x+10= ,即即x=5x=5时等号成立时等号成立. .所以当隔热层厚度为所以当隔热层厚度为5cm5cm时时, ,总费用总费用f(xf(x) )达到最小值达到最小值, ,最小值为最小值为7070万元万元. .8003x58003x58006x103x58003x5【加固训练【加固训练】1.1.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, ,其其

46、生产的总成本生产的总成本y(y(万元万元) )与年产量与年产量x(x(吨吨) )之间的函数关系式可以近似地之间的函数关系式可以近似地表示为表示为y= -48x+8000,y= -48x+8000,已知此生产线年产量最大为已知此生产线年产量最大为210210吨吨. .(1)(1)求年产量为多少吨时求年产量为多少吨时, ,生产每吨产品的平均成本最低生产每吨产品的平均成本最低, ,并求最低成并求最低成本本. .(2)(2)若每吨产品平均出厂价为若每吨产品平均出厂价为4040万元万元, ,那么当年产量为多少吨时那么当年产量为多少吨时, ,可以可以获得最大利润获得最大利润? ?最大利润是多少最大利润是多

47、少? ?2x5【解析【解析】(1)(1)每吨平均成本为每吨平均成本为 ( (万元万元).).则则 当且仅当当且仅当 , ,即即x=200 x=200时取等号时取等号. .所以年产量为所以年产量为200200吨时吨时, ,每吨平均成本最低为每吨平均成本最低为3232万元万元. .yxyx8 000 x 8 000482 4832x5x5x ，x8 0005x(2)(2)设年获得总利润为设年获得总利润为R(xR(x) )万元万元. .则则R(xR(x)=40 x-y=40 x- +48x-8000)=40 x-y=40 x- +48x-8000=- +88x-8000=- +88x-8000=-

48、(x-220)=- (x-220)2 2+1680(0 x210).+1680(0 x210).因为因为R(xR(x) )在在0,2100,210上是增函数上是增函数, ,所以当所以当x=210 x=210时时, ,R(xR(x) )有最大值为有最大值为- (210-220)- (210-220)2 2+1680=1660.+1680=1660.所以年产量为所以年产量为210210吨时吨时, ,可获得最大利润可获得最大利润16601660万元万元. .2x52x515152.2.某旅游风景区为方便学生集体旅游某旅游风景区为方便学生集体旅游, ,特制学生寒假旅游专用卡特制学生寒假旅游专用卡, ,

49、每每张卡张卡6060元元, ,使用规定使用规定: :不记名不记名, ,每卡每次一人每卡每次一人, ,每天只限一次每天只限一次, ,可连续使可连续使用一周用一周. .实验小学现有实验小学现有15001500名学生名学生, ,准备在寒假分若干批去此风景区准备在寒假分若干批去此风景区旅游旅游( (来回只需一天来回只需一天),),除需购买若干张旅游卡外除需购买若干张旅游卡外, ,每次都乘坐每次都乘坐5 5辆客车辆客车( (每辆客车最大客容量为每辆客车最大客容量为5555人人),),每辆客车每天费用为每辆客车每天费用为500500元元, ,若使全体若使全体同学都到风景区旅游一次同学都到风景区旅游一次,

50、,按上述方案按上述方案, ,每位同学最少要交多少钱每位同学最少要交多少钱? ?【解析【解析】设买设买x x张旅游卡张旅游卡, ,总费用为总费用为y y元元, ,依题意依题意, ,购买卡需购买卡需60 x60 x元元, ,租车的次数为租车的次数为 , ,则租车的则租车的费用为费用为( ( 5005005)5)元元, ,所以所以y=60 x+ y=60 x+ 5005005(0 x2755(00,x0,所以所以y =30000(y =30000(元元),),1 500 x1 500 x1 500 x1 5002 60 x500 5x当且仅当当且仅当60 x= 60 x= 5005005,5,即即x

51、=250 x=250时时,y,y取得最小值为取得最小值为3000030000元元, ,此时此时, ,每人所每人所需交钱数为需交钱数为 =20(=20(元元),),旅游所需天数旅游所需天数 =67,=67,每辆车所载人数为每辆车所载人数为 =5055,=5055,符合要求符合要求. .故每位同学至少要交故每位同学至少要交2020元元. .1 500 x30 0001 5001 5002502505考点考点3 3指数函数与对数函数模型指数函数与对数函数模型【典例【典例4 4】(2015(2015长春模拟长春模拟) )某医药研究所开发的某医药研究所开发的一种新药一种新药, ,如果成年人按规定的剂量服

52、用如果成年人按规定的剂量服用, ,据监测据监测: :服药后每毫升血液中的含药量服药后每毫升血液中的含药量y(y(微克微克) )与时间与时间t(t(小小时时) )之间近似满足如图所示的曲线之间近似满足如图所示的曲线. .(1)(1)写出第一次服药后写出第一次服药后,y,y与与t t之间的函数关系式之间的函数关系式y=f(ty=f(t).).(2)(2)据进一步测定据进一步测定: :每毫升血液中含药量不少于每毫升血液中含药量不少于0.250.25微克时微克时, ,治疗有效治疗有效. .求服药一次后治疗有效的时间是多长求服药一次后治疗有效的时间是多长? ?【解题提示】【解题提示】(1)(1)依据图象

53、写出依据图象写出y=f(t).(2)y=f(t).(2)令令y y0.250.25解所得不等式解所得不等式即可即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意可设由题意可设y= y= 当当t=1t=1时时, ,由由y=4y=4得得,k=4.,k=4.由由 =4=4得得,a=3.,a=3.因此因此,y= ,y= t akt,0t1,1(),t1,2 1 a1()2t 34t,0t1,1(),t12 ，(2)(2)由由y0.25y0.25得得, , 或或 解得解得 t5.t5.因此因此, ,服药一次后治疗有效的时间是服药一次后治疗有效的时间是 小时小时. .0t1,4t0.25 t 3t1,1(

54、)0.25,211617951616【规律方法】【规律方法】应用指数函数模型应注意的问题应用指数函数模型应注意的问题(1)(1)指数函数模型的应用类型指数函数模型的应用类型. .常与增长率相结合进行考查常与增长率相结合进行考查, ,在实际问在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决数模型来解决. .(2)(2)应用指数函数模型时的关键应用指数函数模型时的关键. .关键是对模型的判断关键是对模型的判断, ,先设定模型先设定模型, ,再将已知有关数据代入验证再将已知有关数据代入验证, ,确定参数确定参数,

55、 ,从而确定函数模型从而确定函数模型. .(3)y=a(1+x)(3)y=a(1+x)n n通常利用指数运算与对数函数的性质求解通常利用指数运算与对数函数的性质求解. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015商丘模拟商丘模拟) )为了保证信息安全为了保证信息安全, ,传输必须使用加传输必须使用加密方式密方式, ,有一种方式其加密、解密原理如下有一种方式其加密、解密原理如下: :已知加密为已知加密为y=ay=ax x-2(x-2(x为明文为明文,y,y为密文为密文),),如果明文如果明文“3”3”通过加密后得通过加密后得到密文为到密文为6,6,再发送再发送, ,接收方通过解密得到明文接收方

56、通过解密得到明文“3”,3”,若接收方接到密若接收方接到密文为文为“14”,14”,则原发的明文是则原发的明文是. .【解析】【解析】依题意依题意y=ay=ax x-2-2中中, ,当当x=3x=3时时,y=6,y=6,故故6=a6=a3 3-2,-2,解得解得a=2,a=2,所以加密所以加密为为y=2y=2x x-2.-2.因此因此, ,当当y=14y=14时时, ,由由14=214=2x x-2,-2,解得解得x=4.x=4.答案答案: :4 4【加固训练】【加固训练】1.1.某位股民购进某支股票某位股民购进某支股票, ,在接下来的交易时间内在接下来的交易时间内, ,他他的这支股票先经历了

57、的这支股票先经历了n n次涨停次涨停( (每次上涨每次上涨10%),10%),又经历了又经历了n n次跌停次跌停( (每次每次下跌下跌10%),10%),则该股民这支股票的盈亏情况则该股民这支股票的盈亏情况( (不考虑其他费用不考虑其他费用) )为为( () )A.A.略有盈利略有盈利B.B.略有亏损略有亏损C.C.没有盈利也没有亏损没有盈利也没有亏损D.D.无法判断盈亏情况无法判断盈亏情况【解析】【解析】选选B.B.设该股民购这支股票的价格为设该股民购这支股票的价格为a,a,则经历则经历n n次涨停后的价次涨停后的价格为格为a(1+10%)a(1+10%)n n=a=a1.11.1n n,

58、,经历经历n n次跌停后的价格为次跌停后的价格为a a1.11.1n n(1-10%)(1-10%)n n =a=a1.11.1n n0.90.9n n=a=a(1.1(1.10.9)0.9)n n=0.99=0.99n naa,aa,故该股民这支股票略故该股民这支股票略有亏损有亏损. .2.2.一个人喝了少量酒后一个人喝了少量酒后, ,血液中的酒精含量迅速上升到血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,0.3mg/mL,在在停止喝酒后停止喝酒后, ,血液中的酒精含量以每小时血液中的酒精含量以每小时25%25%的速度减少的速度减少, ,为了保障交为了保障交通安全通安全, ,某地根据某地根据道

59、路交通安全法道路交通安全法规定规定: :驾驶员血液中的酒精含驾驶员血液中的酒精含量不得超过量不得超过0.09mg/mL,0.09mg/mL,那么那么, ,此人至少经过此人至少经过小时后才能开小时后才能开车车.(.(精确到精确到1 1小时小时) )【解析】【解析】设经过设经过x x小时才能开车小时才能开车. .由题意得由题意得0.3(1-25%)0.3(1-25%)x x0.09,0.09,所以所以0.750.75x x0.3,x0.3,xloglog0 0.75.750.30.34.19.4.19.所以此人至少经过所以此人至少经过5 5小时后才能开车小时后才能开车. .答案答案: :5 53.

60、3.一片森林原来面积为一片森林原来面积为a,a,计划每年砍伐一些树计划每年砍伐一些树, ,且每年砍伐面积的百且每年砍伐面积的百分比相等分比相等, ,当砍伐到面积的一半时当砍伐到面积的一半时, ,所用时间是所用时间是1010年年, ,为保护生态环境为保护生态环境, ,森林面积至少要保留原面积的森林面积至少要保留原面积的 , ,已知到今年为止已知到今年为止, ,森林剩余面积为森林剩余面积为原来的原来的 (1)(1)求每年砍伐面积的百分比求每年砍伐面积的百分比. .(2)(2)到今年为止到今年为止, ,该森林已砍伐了多少年该森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多还能砍伐多少年今后最多还能砍伐多