光学谐振腔与激光模式.PPT

1、第第3章章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式 研究方法：研究方法： 几何光学分析方法；几何光学分析方法；2、矩阵光学分析方法；、矩阵光学分析方法；3、波动光学分析方法、波动光学分析方法几何光学分析方法；几何光学分析方法； 出出 发发 点：点：将光看成光线用几何光学方法来处理应用条件：应用条件：几何损耗远大于衍射损耗优优 点：点：简便、直观缺缺 点：点：得不到腔的衍射损耗；不能深入分析腔模特性2、矩阵光学分析方法；、矩阵光学分析方法； 出出 发发 点：点：使用矩阵代数的方法研究光学问题，将几何光线和激光 束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写。 应用范围：应用范围：推导出谐振腔的稳

2、定性条件 优优 点：点：处理问题简明、规范，易于用计算机求解3、波动光学分析方法、波动光学分析方法出出 发发 点：点：波动光学的菲涅耳基尔霍夫衍射积分理论，建立一个描 述光学谐振腔模式特性的本征积分方程 应用范围：应用范围：求任意光腔的模式，得到场的振幅、相位分布，谐振频率 以及衍射损耗等腔模特性优优 点：点：是一种比较普遍和严格的理论3.1 光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类3.1.1 谐振腔的分类谐振腔的分类(b)闭腔(a)开腔(c)气体波导腔侧面没有边界3.1.2 典型开放式光学谐振腔典型开放式光学谐振腔3.2 激光模式激光模式 光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式

3、,从光子学的角度来看是腔内可以区分的一种光子态（纵模、横模） 。腔与模的关系腔与模的关系：腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定 1）不同的腔，模式不同； 2）腔给定，模式确定3.2.1 驻波与谐振频率驻波与谐振频率形成稳定振荡条件：入射光与反射光满足相长干涉L22两束光的相位差：LLiiiLL有多种介质非均匀分布的介质 LdzzLdL0q2q为整数为整数qLL22222qLq2LcqLcqvq22谐振波长：谐振频率：3.2.2 纵模纵模q通常非常大（纵模的序数）两个相邻纵模频率差：LcLcvvvqqq221vq与q无关，对一定的腔为一常数看看P36例题例题3.2.3 横模横模总

4、结：总结：（1）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布；有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布；（2）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易从光斑图形来区分。从光

5、斑图形来区分。3.3 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗3.3.1 光腔的损耗光腔的损耗1、损耗的种类（1）几何损耗）几何损耗（2）衍射损耗）衍射损耗（3）射出腔镜的透射损耗）射出腔镜的透射损耗（4）非激活吸收损耗、散射损耗）非激活吸收损耗、散射损耗选择性损耗选择性损耗非选择性损耗非选择性损耗与模式有关与模式有关与模式无关与模式无关光腔损耗大小决定了激光振荡阈值，达到稳定振荡状态腔内光腔，以及激光输出能量2、平均单程损耗因子I0I1201eII为单程损耗因子：为单程损耗因子：10ln21II2022201321eIeeeII如果是多因素引起的损耗：如果是多因素引起的损耗：321ii3、损耗举例（

6、1）腔镜倾斜引起的几何损耗DmLLL12262DmL12312LDm2DLm221则两个镜面的倾斜角求失调损耗若要的平平腔腔长对于一个口径1%,1mL1cm,D 例：例：rad102L2D6-2（2）衍射损耗aa61. 0222. 1衍射光斑的第一极小值：22222/22. 161. 022aLLaaaLaLaLaaLd2aLdd设：LaN2得：Nd1N为腔的菲涅耳数：为腔的菲涅耳数：从一面镜子的中心看到另一面镜从一面镜子的中心看到另一面镜子上可划分的菲涅耳半波带数。子上可划分的菲涅耳半波带数。（3）透射损耗reIrrII20210121ln21rrr 211121rrr当r11，r21时 对

7、于实际激光器而言，r1=1，r2=r1，即T a，或曲面反射镜的曲率半，或曲面反射镜的曲率半径径R和镜线度和镜线度a满足：满足： R a时，有：时，有：L1dseyxuikyxuikSjjcos1, 4,由，得则初步简化后的自再现模方程为：则初步简化后的自再现模方程为： , , ,dsyxvyxyxKyxvS 满足方程的任意一个场分布函数v(x, y)就描述腔的一个自再现模式（横模），函数v(x, y)称为本征函数，常数为本征值。yxyxikeLiyxyxK, ,3.5.4 自再现模积分方程的物理意义自再现模积分方程的物理意义 ikSeLiyxyxKdsyxvyxyxKyxv, , , ,由于

8、 存在一系列不连续的本征函数与本征值，表示腔中存在不同的自再现模（横模）。 vmn(x, y)表示其第mn个本征函数，mn表示相应的本征值，其中mn为模的序数。 本征函数是复数，它的模 |vmn(x, y)|为镜面上振幅分布，其辐角argvmn(x,y)为镜面上场的相位分布。本征值mn一般也为复数，它的模为自再现模在腔内单程渡越的功率损耗。2212jjjuuu2211jjuu211211mnmn自再现模单程渡越后的相对功率损耗自再现模单程渡越后的相对功率损耗单程损耗随横模模式不同而不同单程损耗随横模模式不同而不同mn 表示自再现模在开腔中完成单程渡越时的总功率损耗，表示自再现模在开腔中完成单程

9、渡越时的总功率损耗，包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，因此，统包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，因此，统称单程衍射损耗。称单程衍射损耗。对称开腔中模的单程总相移对称开腔中模的单程总相移jjuuargarg1mn1argmn对应的单程总相移满足多光束相长干涉的条件：q22qmn1argjmnjuu11自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移所决定的几何相移kL ：腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移mnmnL1arg2L23.6 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模baL,2

10、22Lyyxx 4422818121211LyyLxxLyyLxxLLyyLxxL222121按按LyyLxx,幂级数展开幂级数展开3.6.1 平行平面镜腔的自再现模积分方程平行平面镜腔的自再现模积分方程ikeLiyxyxK, ,代到得LyyLxxikikLLyyLxxLikeeLieLiyxyxK22222222,aaLyyLxxikbbmnikLmnmndydxeyxveLiyxv, ,2222上式上式x，y是对称的，可对其进行分离变量，令：是对称的，可对其进行分离变量，令： yxyvxvyxv,则积分核为：则积分核为：LxxikikLxeeLixxK22,LyyikikLyeeLiyyK

11、22, ydeyveLiyvxdexveLixvLyyikbbnikLnLxxikaamikLm2222上面两个方程完全相同，任意一个方程就是条形镜腔的积分方程。3.6.2 平行平面腔模的数值迭代解法平行平面腔模的数值迭代解法1、Fox-Li数值迭代法cos1, 4,1dseyxuikyxuikSjj利用迭代公式：或简化形式1dsKuujj12111jjjjuuuu当当j足够大时，足够大时，uj，uj+1，uj+2，能够满足自再现条件。能够满足自再现条件。532、自再现模形成过程实例 dxexueLixuxdexueLixuLxxikaaikLLxxikaaikL22321222利用该式计算，

12、首先初始入射波分布函数u1应如何选择？11u0arg1u将u2归一化1max2u代入上式即可得u3看书上的例题！看书上的例题！54553、镜面上的光场分布特点563.6.3 单程衍射损耗、单程相移与谐振频率单程衍射损耗、单程相移与谐振频率1、单程衍射损耗、单程衍射损耗572、单程相移、单程相移583、谐振频率、谐振频率q22L2把代入得qLcvmnq2条形腔自再现模的谐振频率由于1上式可简化：Lcqvvqmnq2LcLcvvvqqq221纵模间隔纵模间隔59 3.7 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模对称共焦腔对称共焦腔两个球面镜的曲率半径相等且等于腔长的谐振腔称为对称共焦腔。R1=R2

13、=L 此时两个镜面的焦点重合且处于腔的中心。为什么要研究对称共焦腔？为什么要研究对称共焦腔？60 考虑一个由线度为2a2a的正方形球面镜构成的对称共焦腔 R=L22 aLLaaL，满足条件x2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laaaaaay3.7.1 方形镜对称共焦腔方形镜对称共焦腔1、方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解、方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解612212121 ) , ,( PPPPPPPPyxyx由于是轴对称关系，用直角坐标系（x,y,z)讨论。LyyLxxLLyyLxxLyyLxxLLyyLxxLLyyxxPP2) (2) ( 818121211 1 ) () (

14、2244222222221其中62LyxyxLLyxRRPP2 )( )(22222222111LyxPP2 22222同理LyyxxLLyxLyxLyyLxxLyxyx 222) (2) ( ) , , 222222（63) 1 (dydxe ) y, x(veLi)y, x(vLyyxxikaaaamnikLmnmn 为所应满足的积分方程式方形镜共焦腔自再现模NLaLkacacyYacxX22, 22法进行变数代换，取按照傅伊德和戈登的方64nmmnnm1 (Y)(X)G F),( yxvmn令 变量分离行的交错乘积项，可以进和）式中不存在（式，得代入 2 )2( dd2 (1)YX YX

15、eYFeXFie YGXF cccciYYniXXmikLnmnm 65 (3) d)2(d)2( 2 1/21/2cciYYnikLnncciXXmikLmmYeYGeiYGXeXFeiXF积分本征值问题）等价于求解下述两个求解方程式（上述方程组为条形腔的自再现模积分方程。上述方程组为条形腔的自再现模积分方程。66 为角向长椭球函数。其中：)ay(c,S)c(c,Y/S)ax(c,S)c(c,X/S ononomom,., ,n m, cc,Y/Scc,X/S(Y) (X)GF(x,y) vconomnmmn210 (4) 为为有限值时，本征函数在它的解析解，由博伊德和戈登求得它的解析解，由

16、博伊德和戈登求得67.) 1 ,() 1 ,( )6( 0,1,2,.n ) 1 ,(2c0,1,2,.m ) 1 ,(2c (1)(1)(1)n(1)m为径向长椭球函数和其中cRcRcRicRionomonnomm)5( ),(nmnmikLmnieyxv相对应的本征值为：与68)7( ) 1 ,() 1 ,(4 ,2) 1 ,() 1 ,(2c ,(5)(6)2)1(1)(1)21(1)(1)nmkLionomnmiikLnmonomnmecRcNReiNceicRcR又得中代入将 111,1 ,2TdTcSeTcScRiomTicTomomm 以上是比较复杂的特殊函数，通常采用在某些特殊

17、情况下的近似以上是比较复杂的特殊函数，通常采用在某些特殊情况下的近似解。后来有人证明该函数满足如下积分关系式：解。后来有人证明该函数满足如下积分关系式：均为实数均为实数69在xa, y1时时), 自再现模可以用厄米自再现模可以用厄米高斯高斯或拉盖尔或拉盖尔高斯函数近似描述场分布。其中人们较多关心基模情况，高斯函数近似描述场分布。其中人们较多关心基模情况，对应的行波为基模高斯光束。对应的行波为基模高斯光束。2、只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由、只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模腔的菲涅耳

18、数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。损耗也越大。3 3、衍射损耗低；、衍射损耗低； 模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化; ; 等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。1043.8 3.8 一般稳定球面镜腔的模式理论一般稳定球面镜腔的模式理论处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。一、一、将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由理由1 1、任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面

19、镜任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。腔等价。等价的含义：二者有相同的行波场。以共焦腔模等价的含义：二者有相同的行波场。以共焦腔模式空间分布，尤其是其等相面的分布规律为依据。式空间分布，尤其是其等相面的分布规律为依据。锁与钥匙的关系105在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共焦场分布不受影响，由此可以逻球面反射镜，原共焦场分布不受影响，由此可以逻辑地建立起无穷多个新的谐振腔辑地建立起无穷多个新的谐振腔稳定腔。稳定腔。理解：若有焦距为理解：若有焦距为 f 的共焦腔的共焦腔, ,则其任意两等相则其任意两等相面可构成稳定腔面可构

20、成稳定腔. .共焦腔面共焦腔面C1C2C3C4zz1z21062、任意一个稳定球面腔唯一地等价于某一共焦腔任意一个稳定球面腔唯一地等价于某一共焦腔钥匙与锁的关系107 221212212122121122212121211221211221212122ggggLggggRLRLLRRLRLRLfggggLgLgRLRLLRLzggggLgLgRLRLLRLz目标：目标： 由由 R1 , R2 , L z1 , z2 , f ，且必须有，且必须有 f 2 0。108二、镜面上的光斑尺寸二、镜面上的光斑尺寸(基模情况基模情况)1、思路：由、思路：由 R1 , R2 , L z1 , z2 , f

21、( 从而知道从而知道 )0 201fzz21,ss21ss非对称非对称 LRRLRLRLRLRLzz2121221201109000000VVVVmnmn2、高阶模、高阶模一股稳定腔高阶模的模体积与基一股稳定腔高阶模的模体积与基模的比与腔长相同的共焦腔的高模的比与腔长相同的共焦腔的高阶模与基模的模体积之比相等。阶模与基模的模体积之比相等。特点：随着腔趋向稳定区的边界，稳定腔的模特点：随着腔趋向稳定区的边界，稳定腔的模体积急剧增大。在稳定区的内部，一般稳定球体积急剧增大。在稳定区的内部，一般稳定球面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积有面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积有相同的数量级，场也是集中在腔的轴线附近。相同的数量级，场也是集中在腔的轴线附近。三、三、模体积模体积20022121ssLV1、基模、基模110五、五、单程损耗单程损耗1、共焦腔的衍射损耗特点、共焦腔的衍射损耗特点每一横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳每一横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定！数决定！2022saLaNLws0共焦腔的菲涅耳数正比于镜的面积与镜面上光斑的共焦腔的菲涅耳数正比于镜的面积与镜面上光斑的面积之比。该比值越大，单程衍射损耗就越小。面积之比。该比值越大，单程衍射损耗就越小。1112 2、稳定球面