上海市静安区2018届高三一模数学试卷及答案解析

1、第 1页（共 19页）2018 年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（ 50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5 分，否则一律得零分1 （5 分）若复数（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a=2 （5 分）若 f（x）为 r上的奇函数，当 x0 时，f（x）=log2（2x） ，则 f（0）+f（2）=3 （5 分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是4 （5 分）如图，在菱形 abcd中，ab=1，dab=60，e为 cd的中点，则的值是5 （5 分）用半径 1 米的半圆形

2、薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米6 （5 分）已知 为锐角，且，则 sin =7 （5 分）设函数 f（x）=sin（x） ，若存在 x0 （1，1）同时满足以下条件：对任意的 x r，都有 f（x）f（x0）成立；x02+f（x0）2m2，则 m 的取值范围是8 （5 分）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是区间（ 3，3）的子集，则实数 a 的取值范围为9 （5 分）已知 f（x）=axb（a0 且 a1，b r） ，g（x）=x+1，若对任意实数第 2页（共 19页）x 均有 f（x）?g（x）0，则的最小值为10 （5 分）如图，正方形 abcd的边长为 2，o 为 ad的

3、中点，射线 op从 oa出发，绕着点 o顺时针方向旋转至od，在旋转的过程中，记aop为 x（x 0， ） ，op所经过正方形 abcd内的区域（阴影部分）的面积s=f（x） ，那么对于函数 f（x）有以下三个结论：f（）=；任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4；任意 x1，x2 （， ） ，且 x1x2，都有0其中所有正确结论的序号是二、选择题（ 25 分）本大题共有5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分 .11 （5 分） “ 抛物线 y=ax2的准线方程为y=2” 是“ 抛物线 y=a

4、x2的焦点与双曲线的焦点重合 ” 的（）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件12 （5 分）已知等比数列an 前 n 项和为 sn，则下列一定成立的是（）a若 a30，则 a20150b若 a40，则 a20140c若 a30，则 s20150d若 a40，则 s2014013 （5 分）某班班会准备从含甲、乙的6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）a336 种b320 种c192 种d144 种第 3页（共 19页）14 （5分）已知椭圆 c1，抛物线 c2焦点均在 x 轴上，c1的中心和 c2顶点均为原点 o，从每

5、条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则c1的左焦点到 c2的准线之间的距离为（）x324y04abc1d215 （5 分）对于集合 a，定义了一种运算 “ ” ，使得集合 a 中的元素间满足条件：如果存在元素 e a，使得对任意 a a，都有 ea=ae=a，则称元素 e 是集合 a对运算 “ ” 的单位元素例如： a=r ，运算 “ ” 为普通乘法；存在1 r，使得对任意 a r，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 r对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“ ” ：a=r ，运算 “ ” 为普通减法；a= amn| amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n*，运算

6、“ ” 为矩阵加法；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），运算 “ ” 为求两个集合的交集其中对运算 “ ” 有单位元素的集合序号为（）abcd三、解答题（本题满分84 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16 （12 分）将边长为1 的正方形 aa1o1o（及其内部）绕oo1旋转一周形成圆柱，如图，长为 ，长为，其中 b1与 c在平面 aa1o1o的同侧（1）求三棱锥 co1a1b1的体积；（2）求异面直线 b1c与 aa1所成的角的大小第 4页（共 19页）17 （14分）设双曲线 c：，f1，f2为其左右两个焦点（1）设 o为

7、坐标原点， m 为双曲线 c右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点 p 与双曲线 c的两个焦点 f1，f2的距离之和为定值，且cosf1pf2的最小值为，求动点 p的轨迹方程18 （20 分）如图，在海岸线ef一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 fgbc ，该曲线段是函数y=asin（x + ） （a0， 0， （0， ） ） ，x 4，0 的图象，图象的最高点为b（1，2） 边界的中间部分为长1 千米的直线段 cd ，且 cdef 游乐场的后一部分边界是以o 为圆心的一段圆弧（1）求曲线段 fgbc 的函数表达式；（2）曲线段 fgbc 上的入口 g距海岸线 ef最近距离为

8、 1 千米，现准备从入口g修一条笔直的景观路到o，求景观路 go长；（3）如图，在扇形 ode区域内建一个平行四边形休闲区ompq，平行四边形的一边在海岸线 ef上， 一边在半径 od上， 另外一个顶点 p在圆弧上， 且poe= ，求平行四边形休闲区ompq面积的最大值及此时 的值19 （18 分）设集合 ma= f（x）| 存在正实数 a，使得定义域内任意x 都有 f（x+a）f（x）（1）若 f（x）=2xx2，试判断 f（x）是否为 m1中的元素，并说明理由；第 5页（共 19页）（2）若，且 g（x） ma，求 a 的取值范围；（3）若（k r） ，且 h（x） m2，求 h（x）的最

9、小值20 （20 分）设数列an 满足： a1=1；所有项 an n*；1=a1a2 anan+1 设集合 am=n| anm，m n*，将集合 am中的元素的最大值记为bm换句话说， bm是数列an 中满足不等式 anm 的所有项的项数的最大值我们称数列 bn 为数列 an 的伴随数列例如， 数列 1，3，5 的伴随数列为 1，1，2，2，3（1）若数列an 的伴随数列为 1，1，1，2，2，2，3，请写出数列an ；（2）设 an=3n1，求数列an 的伴随数列bn 的前 100 之和；（3）若数列 an 的前 n 项和 sn=n+c（其中 c 常数） ，试求数列an 的伴随数列 bn 前

10、 m 项和 tm第 6页（共 19页）2018 年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（ 50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5 分，否则一律得零分1 （5 分）若复数（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4【解答】 解：=为纯虚数，解得 a=4故答案为： 42 （5 分）若 f（x）为 r上的奇函数，当 x0 时，f（x）=log2（2x） ，则 f（0）+f（2）=2【解答】 解：f（x）为 r上的奇函数，则 f（x）=f（x） ，即有 f（0）=0，f（2）=f（2） ，当 x0 时，f（x）=log2（2x） ，f

11、（2）=log2（2+2）=2，则 f（0）+ f（2）=02=2故答案为： 23 （5 分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是【解答】 解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为 1，所以底面三角形的边长为a，a=第 7页（共 19页）该正三棱锥的体积：故答案为：4 （5 分）如图，在菱形 abcd中，ab=1，dab=60，e为 cd的中点，则的值是1【解答】 解：在菱形 abcd中，ab=1，bad=60 ，=+，=11cos60 + 1

12、2=1故答案为： 15（5分） 用半径 1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器， 其容积为立方米【解答】 解：半径为 1 米的半圆的周长为= ，则制作成圆锥的底面周长为 ，母线长为 1，设圆锥的底面半径为r，则 2r=，即 r=圆锥的高为 h=v= =（立方米）故答案为：6 （5 分）已知 为锐角，且，则 sin =【解答】 解： 为锐角， + （，） ，第 8页（共 19页）cos （ +）=，sin（ +）=，则 sin =sin （ +） =sin（ +）coscos（ +）sin=故答案为：7 （5 分）设函数 f（x）=sin（x） ，若存在 x0 （1，1）同时满足以下条件：对任意的

13、 x r，都有 f（x）f（x0）成立；x02+f（x0）2m2，则 m 的取值范围是（， 2）（ 2，+）【解答】 解：根据题意：对任意的x r，都有 f（x）f（x0）成立由于： x0 （1，1）所以：对 f（x）f（x0）成立，只需满足f（x）f（x0）min即可由于 f（x）=sin（x） ，所以：由于 x02+f（x0）2m所以当，且求出： m24进一步求出： m2或 m2故答案为：（， 2）（ 2，+） 8 （5 分）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是区间（ 3，3）的子集，则实数 a 的取值范围为（， 5【解答】 解：不等式 x2| x1|+ a 等价于 x2| x1| a

14、0，设 f（x）=x2| x1| a，第 9页（共 19页）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是区间（ 3，3）的子集，则，求得 a5，故答案为：（， 5 9 （5 分）已知 f（x）=axb（a0 且 a1，b r） ，g（x）=x+1，若对任意实数x 均有 f（x）?g（x）0，则的最小值为4【解答】 解：f（x）=axb，g（x）=x+1，那么： f（x）?g（x）0，即（ axb） （x+1）0对任意实数 x 均成立，可得 axb=0，x+1=0，故得 ab=1那么：=4，当且仅当 a= ，b=2时取等号故的最小值为 4故答案为： 410 （5 分）如图，正方形 abcd的边长为

15、2，o 为 ad的中点，射线 op从 oa出发，绕着点 o顺时针方向旋转至od，在旋转的过程中，记aop为 x（x 0， ） ，op所经过正方形 abcd内的区域（阴影部分）的面积s=f（x） ，那么对于函数 f（x）有以下三个结论：f（）=；任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4；任意 x1，x2 （， ） ，且 x1x2，都有0其中所有正确结论的序号是【解答】 解：当 0 xarctan2 时，f（x）=；第 10页（共 19页）当 arctan2x，在obe中，f（x）=s矩形oabmsome=2=2；当 x=时，f（x）=2；当x arctan2 时，同理可得 f（x）=2

16、当 arctan2x 时，f（x）=4=4+于是可得：=，正确；对任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4用换元法，以 x 代替x，可得：f（x）+ f（ x）=4，因此，故正确；不妨设 x1x2，则0? f（x1）f（x2） ，显然不正确综上只有：正确故答案为：二、选择题（ 25 分）本大题共有5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分 .11 （5 分） “ 抛物线 y=ax2的准线方程为y=2” 是“ 抛物线 y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合 ” 的（）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充

17、要条件d既不充分也不必要条件【解答】 解：抛物线 y=ax2的标准方程是 x2=y，第 11页（共 19页）则其准线方程为 y=2，所以 a=双曲线x2=1的 a=，b=1，c=2，则焦点为（ 0，2） ，抛物线 y=ax2即为 x2=，y 的焦点为（ 0，） ，由题意可得，=2，解得， a=故选： a12 （5 分）已知等比数列an 前 n 项和为 sn，则下列一定成立的是（）a若 a30，则 a20150b若 a40，则 a20140c若 a30，则 s20150d若 a40，则 s20140【解答】 解：若 a30，则 a1q20，即 a10，a20150；若 q=1，则 s2015=2

18、015a10；若 q1，则 s2015=，由 1q 和 1q2015同号，可得 s20150；由 a40，可得 a2014=a1q20130；a40，不能判断 s2014的符号，故选 c13 （5 分）某班班会准备从含甲、乙的6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）a336 种b320 种c192 种d144 种【解答】 解：根据题意，分 2 种情况讨论，第 12页（共 19页）若只有甲乙其中一人参加，有c21?c43?a44=192种情况；若甲乙两人都参加，有c22?c42?a44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：

19、 a14 （5分）已知椭圆 c1，抛物线 c2焦点均在 x 轴上，c1的中心和 c2顶点均为原点 o，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则c1的左焦点到 c2的准线之间的距离为（）x324y04abc1d2【解答】 解：由表可知：抛物线c2焦点在 x 轴的正半轴，设抛物线c2：y2=2px（p0） ，则有=2p（x0） ，据此验证四个点知（ 3，2） ， （4，4）在 c2上，代入求得 2p=4，抛物线 c2的标准方程为 y2=4x则焦点坐标为（ 1，0） ，准线方程为： x=1，设椭圆 c1：（ab0） ， 把点 （2， 0） ，（，） 代入得，解得：，c1的标准方程为+y2=1；

20、由 c=，左焦点（，0） ，c1的左焦点到 c2的准线之间的距离1，故选 b第 13页（共 19页）15 （5 分）对于集合 a，定义了一种运算 “ ” ，使得集合 a 中的元素间满足条件：如果存在元素 e a，使得对任意 a a，都有 ea=ae=a，则称元素 e 是集合 a对运算 “ ” 的单位元素例如： a=r ，运算 “ ” 为普通乘法；存在1 r，使得对任意 a r，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 r对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“ ” ：a=r ，运算 “ ” 为普通减法；a= amn| amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n*，运算 “ ” 为

21、矩阵加法；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），运算 “ ” 为求两个集合的交集其中对运算 “ ” 有单位元素的集合序号为（）abcd【解答】 解：若 a=r ，运算 “ ” 为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；a= amn| amn表示 mn 阶矩阵， m n*，n n*，运算 “ ” 为矩阵加法，其单位元素为全为0 的矩阵；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），运算 “ ” 为求两个集合的交集，其单位元素为集合m故选 d三、解答题（本题满分84 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16 （12 分）将

22、边长为1 的正方形 aa1o1o（及其内部）绕oo1旋转一周形成圆柱，如图，长为 ，长为，其中 b1与 c在平面 aa1o1o的同侧（1）求三棱锥 co1a1b1的体积；（2）求异面直线 b1c与 aa1所成的角的大小第 14页（共 19页）【解答】 解： （1）连结 o1b1，则 o1a1b1=a1o1b1=，o1a1b1为正三角形，=，=（2）设点 b1在下底面圆周的射影为b，连结 bb1，则 bb1aa1，bb1c为直线 b1c与 aa1所成角（或补角），bb1=aa1=1，连结 bc 、bo、oc ，aob= a1o1b1=， boc=，boc为正三角形，bc=bo=1 ，tanbb1

23、c=1，直线 b1c与 aa1所成角大小为 4517 （14分）设双曲线 c：，f1，f2为其左右两个焦点（1）设 o为坐标原点， m 为双曲线 c右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点 p 与双曲线 c的两个焦点 f1，f2的距离之和为定值，且cosf1pf2第 15页（共 19页）的最小值为，求动点 p的轨迹方程【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 设 m （ x ， y ）， 左 焦 点，= （4 分）=（）对称轴， （3 分）（ 2 ） 由 椭 圆 定 义 得 ： p 点 轨 迹 为 椭 圆，| pf1|+| pf2| =2a= （4 分）由基本不等式得，当且仅当| pf1| =| p

24、f2|时等号成立，b2=4所求动点 p的轨迹方程为 （3 分）18 （20 分）如图，在海岸线ef一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 fgbc ，该曲线段是函数y=asin（x + ） （a0， 0， （0， ） ） ，x 4，0 的图象，图象的最高点为b（1，2） 边界的中间部分为长1 千米的直线段 cd ，且 cdef 游乐场的后一部分边界是以o 为圆心的一段圆弧（1）求曲线段 fgbc 的函数表达式；（2）曲线段 fgbc 上的入口 g距海岸线 ef最近距离为 1 千米，现准备从入口g修一条笔直的景观路到o，求景观路 go长；（3）如图，在扇形 ode区域内建一个平行四边形

25、休闲区ompq，平行四边形的第 16页（共 19页）一边在海岸线 ef上， 一边在半径 od上， 另外一个顶点 p在圆弧上， 且poe= ，求平行四边形休闲区ompq面积的最大值及此时 的值【解答】 解： （1）由已知条件，得 a=2，又，又当 x=1 时，有 y=2sin（+ ）=2，=曲线段 fgbc 的解析式为，x 4，0 （2）由=1得 x=6k+（ 1）k4（k z） ，又 x 4，0 ，k=0，x=3g（3，1） og=景观路 go长为千米（3）如图， oc=，cd=1 ，od=2，作 pp1x 轴于 p1点，在 rtopp1中，pp1=opsin =2sin，在omp中，=s平行四边形ompq=om?pp1=（0，） 当时，即时，平行四边形面积最大值为第 17页（共 19页）19 （18 分）设集合 ma= f（x）| 存在正实数 a，使得定义域内任意x 都有 f（x+a）f（x）（1）若 f（x）=2xx2，试判断 f（x）是否为 m1中的元素，并说明理由；（2）若，且 g（x） ma，求 a 的取值范围；（3）若（k r） ，且 h（x） m2，求 h（x）的最小值