北京市房山区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

1、房山区 2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 椭圆1 的离心率是（）2243xya. b. c. d. 32221312【答案】d【解析】【分析】由椭圆方程可知、的值，由离心率求出结果22143xyabccea【详解】解：由椭圆可知，22143xy2a3b1c离心率，12cea故选：d【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、的值是解题ac的关键，属于基础题2. 在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构

2、成的图形是（）a. 一个球b. 一个圆c. 半圆d. 一个点【答案】b【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆故选：b【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题3. 双曲线的渐近线方程为2214yx()a. b. c. d. 2yx2yx12yx22yx【答案】a【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲

3、线的渐近线22221xyabbyxa方程即可【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：2214yx2yx故选：a【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题4. 已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）2, 3,5a4, , 1bxa. 1b. 1c. 6d. 6【答案】b【解析】【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值x【详解】解：向量，与向量垂直，则，2, 3,5a4, , 1bx0a b由数量积的坐标公式可得：，24( 3)5( 1)0 x解得，1x故选：b【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题5. 已知双曲线1 的焦点

4、为f1，f2，p为其上一点 . 若点p到f1的距离为15，则点226436xyp到f2的距离是（）a. 31b. 1c. 1d. 1 或31【答案】a【解析】【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可【详解】解：双曲线的焦点为，为其上一点2216436xy1f2fp所以，12216pfpfa若点到的距离为，p1f115pf，21516pf解得或（舍去），231pf21pf所以点到的距离是：p2f31故选：a【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题6. 已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的l1,2,1a2,4,2bl位置关系是()a. b. c. d.

5、/llll【答案】b【解析】【分析】由已知可求，判断与共线，即可得解2babala【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，l1,2,1a2,4,2b，2ba则与共线，可得：bala故选：b【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7. 在正方体abcda1b1c1d1中，向量与向量的夹角是（）ab11c aa. 150 b. 135 c. 45 d. 30 【答案】b【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角ab11c a【详解】解：如图，正方体中，1111abcdabc d11/ab a b11/ac ac的补角即

6、为向量与向量的夹角111c abab11c a为等腰直角三角形，111c ab，11145c a b量与向量的夹角为，ab11c a18045135故选：b【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题8. 已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等216yxp10mpyd于（）a. 12b. 9c. 6d. 3【答案】c【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的ppy距离【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的4xp0 x性质可得，所以，所以到轴的距离为6，0410 x06xpy故选：c【点睛】

7、考查抛物线的定义的理解，属于基础题9. 已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是2214xyk2ek()a. 或b. c. d. k03k30k120k83k【答案】c【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可【详解】解：双曲线可知，并且，双曲线的离心率为：2214xykk02a4ck，42ke，12e，4122k解得，综上120k120k故选：c【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题10. 如果抛物线的焦点为点为该抛物线上的动点，又点那么24yxfm( 1,0)a的最大值是|mfma()a. b. c. d. 1122232【答案】

8、d【解析】【分析】由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到a准线的距离可得，所以的最大值时，三点共线，可得结|mfmnmaam|mfmaamf果【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在(1,0)f1x( 1,0)a准线上，作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，mnn| |mfmn|mfmnmama在三角形中，所以的最大值时，最小，amncosmnmafma|mfmafam当，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，amffam|mfma故选：d【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题11. “ 方程表示焦点在轴上的椭圆 ”的充要条件是221

9、mxnyy()a. b. c. d. 0mn0nm0mn0mn【答案】a【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论【详解】解：若方程表示椭圆，则，m0n则方程等价为，22111xymn若方程表示焦点在轴上椭圆，y则等价为，110nm解得：，0mn故选：a【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题12. 在正方体abcda1b1c1d1中，点q是平面a1bcd1内的动点，且点q到直线ab1和直线bc的距离相等，则动点q的轨迹是（）a. 圆的一部分b. 椭圆的一部分c. 双曲线的一部分d. 抛物线的一部分【答案】d【解析】【分析】由题意画出图形

10、，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点q1abqg的轨迹q【详解】解：如图，在正方体中，有平面，则，1111abcdabc d11ad11aa b b111a dab又，平面，平面，11aba b1111a ba da1a b11a bcd11ad11a bcd平面，1ab11abcd设，连接，则，垂直为，11a babgqg1qgabg而与在平面内，且，gbc11a bcdgbc又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，q1abbcqgbc由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分q故选：d【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛

11、物线定义的应用，属于中档题二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.13. 设是直线与平面所成的角，则角的取值范围是 _.【答案】 0 ，.2【解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，由此能求出角的取值范围2【详解】解：是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，2角的取值范围是0,2故答案为：0,2【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14. 双曲线1 的实轴长为 _.22169yx【答案】 8

12、.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可【详解】解：双曲线的实轴长为：221169yx2248a故答案为： 8【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题15. 抛物线的准线方程是 _，焦点坐标是 _.28xy=-【答案】 (1). y2 (2). （0，2） .【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果p【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，28xy= -28p4py所以焦点即：，准线，0,2p0, 222py故答案分别为：；2y0, 2【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题16. 以下三个

13、关于圆锥曲线的命题：设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；abk|papbkp方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；22520 xx双曲线与椭圆有相同的焦点221259xy22135xy其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）.【答案】.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义知不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1 作双曲线的离心率，一根小于1 作椭圆的离心率，判定正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定正确【详解】解：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点1f2f12(|)k kf f的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，不0|k

14、ab|kab正确；方程的两根是2 和， 2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22520 xx1212率，正确；双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，正确；221259xy22135xy34,0故答案为：【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题17. 在长方体中，则二面角的大小为 _.1111abcdab c d13aba a1abca【答案】 45.【解析】【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，adaddaxdcy1ddz利用向量法能求出二面角的大小1abca【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空adaddaxdcy1ddz

15、间直角坐标系，则平面的法向量，abc0,0,1m，1,0,3a a,3,0b a0,3,0c，0，(bca0)1(0ba33)设平面的法向量，1abc, ,nx y z则，取，得，1，10330n bcaxn bayz1y(0n1)设二面角的大小为，1abca则，|2cos2| |m nmn45二面角的大小为1abca45故答案为：45【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题18. 已知椭圆e：，的右焦点为，过点f的直线交椭圆e于22221xyab0ab3,0fa、b两点若ab的中点坐标为，则e的方程为 _.1, 1【答案】2

16、21189xy【解析】【分析】设，采用 “ 点差法 ” ，得，再根据直线过点，11,a x y22,b xy212212yybxxa3,0f和ab的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c 的关系，可求得，1, 1121212yyxx29b，即可得e的方程 .218a【详解】已知，设，则，3c11,a xy22,b xy2211221xyab2222221xyab已知ab的中点坐标为，121, 12xx，则122yy得，12121212220 xxxxyyyyab，222121222212121yyxxbbbxxayyaa，即，12120113 12yyxx2212ba222ab又，22229abc

17、b，即e的方程为.29b218a221189xy【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“ 点差法 ”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题共4 小题，每题15 分，共 60 分.19. 如图，在直三棱柱中，点111abcabc3ac4bc5ab14aa是的中点dab（1）求异面直线与所成的角；ac1bc（2）求证：平面1/ac1cdb【答案】（1）（2）证明见解析2【解析】【分析】（1）因为，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，3ac4bc5ababc因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直acbc111abcabc1c

18、 cabc角坐标系，利用向量夹角公式即可得出（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出【详解】解：（1）因为，3ac4bc5ab所以，所以是直角三角形，222acbcababc所以，所以2acbacbc因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，111abcabc1c cabc所以，1c cac1c cbc以为原点，分别以、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，ccacb1ccxyz则，0，0，4，0，(0c0)(3a0)(0b0)1(0c4)所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，ac(3,0,0)ca1bc1(0, 4,4)bc设异面直线与所成的角为，ac1bc因为，10ca b

19、c所以，cos0所以异面直线与所成的角为ac1bc2（2）由（ 1）可知，4，则，3,2,02d1(0b4)3,2,02cd1(0,4,4)cb设平面的法向量为，则，所以1cdb( , , )nx y z100cd ncb n3202440 xyyz令，则，所以4x3y3z(4,3,3)n直线的方向向量为，1ac1( 3,0,4)ac因为，平面， 所以平面10ac n1ac1cdb1/ac1cdb【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右x

20、oy1f2f2222:1(0)xyeabab焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交b(0, )b2|2bf4 1,3 3ce2cf椭圆于点a（1）求椭圆的方程；e（2）求的面积abc【答案】（1）（2）2212xy43【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；cb（2）由（ 1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，2cfa|ab即可求得的面积abc【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，b(0, )b2|2bf所以，222|2bfbca因为点在椭圆上，所以，解得，4 1,3 3c22161991ab21b故所求椭圆的方程为.2212

21、xy（2）因为点的坐标为，点的坐标为，c4 1,3 32f(1,0)所以直线的斜率，所以直线的方程为，2cf131413k2cf1yx由得，所以或，221220yxxy2340 xx01xy4313xy所以点的坐标为，所以，a(0, 1)| 2ab所以1442233abcs【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题21. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，f2:2(0)c ypx pfab为坐标原点o（1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；c(1, 2)mc（2）证明：是定值oa ob【答案】（1）y24x（2）证明见解

22、析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；mp（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理l及向量的坐标运算，即可证明是定值oa ob【详解】解：（1）因为抛物线过点，2:2(0)cypx p(1, 2)m所以，42p2p所以抛物线的方程；c24yx（2）证明：当直线斜率存在时，设直线的方程为，则l(,0)2pfl()2pyk x，2()(1)22(2)pyk xypx将（ 1）代入（ 2）得，化简得，222kpkxpx222(2 )04k pkxk pp x设，的坐标分别为，则，ab11,x y22,xy2124px x因为点，都在抛物线上，所以，ab22ypx2112ypx2222ypx所以，所以，22212122y yp x x22412y yp因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，abx120y y212y yp所以，所以，是定值11(,)oaxy22(,)obxy2121234oa obx xy yp当直线无斜率时，设，的坐标分别为，则l(,0)2pfab1(x1)y2(x2)y，代入抛物线方程得，122pxx22ypx221yp222yp所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，22412y ypabx120y y212y yp所以，所以，是定值1