北京市朝阳区2020届高三联考(B卷)数学(含答案)

1、120192020学年度高三年级测试题数学试卷 b （考试时间120分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知命题p：xr，e1x，那么命题p的否定为（a）0 xr，0e1x（b）xr，e1x（c）0 xr，0e1x（d）xr，e1x（2）设集合2|340zaxxx，2 |e1xbx，则ab= （a） 1,0,1,2（b） 1,

2、2)（c） 1,0,1 （d） 1,2（3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（a）3( )2f xx（b）12( )log|f xx（c）3( )3f xxx（d）( )sinf xx（4）已知3log2a，0.2log0.3b，11tan3c，则a，b，c的大小关系是（a）cba（b）bac（c）cab（d）bca（5）为了宣传今年9月即将举办的 “ 第十八届中国西部博览会” （简称 “ 西博会 ” ） ，组委会举办了 “ 西博会 ” 知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：2组号分组各组人数各组人数频

3、率分布直方图第1组15, 25)10第2组25,35)a第3组35,45)b第4组45,55)c第5组55,65d根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为（a）20，0.15（b）15，0.015（c）20，0.015（d）15，0.15（6）已知向量(2,2 3)a，若16=3a b，则b在a上的投影是（a）34（b）34（c）43（d）43（7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（a）5（b）3（c）6（d）2 3（8）已知abc，则 “sincosab” 是“abc是直角三角形 ” 的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分

4、也不必要条件（9）“ 杨辉三角 ” 是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年 . 如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记na为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列na的第n项，则100a的值为（a）5049 （b）5050 （c）5051 （d）5101 （10）关于函数2( )(1)exf xxax，有以下三个结论：3函数恒有两个零点，且两个零点之积为1；函数的极值点不可能是1；函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（a）0 个（b）1 个（c）2 个（d）3 个第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。（11）

5、在52()xx的二项展开式中，3x的系数为 _ （用数字作答）（ 12）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| 5z，6zz，则z的实部为_，虚部为（13）设无穷等比数列na的各项为整数，公比为q，且| 1q，2312aaa，写出数列na的一个通项公式_（14） 在平面直角坐标系中，已知点(0,1)a，(1,1)b，p为直线ab上的动点，a关于直线op的对称点记为q，则线段bq的长度的最大值是_（15）关于曲线22:4c xxyy，给出下列三个结论： 曲线c关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线c恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线c上任意一点到原点的距离都不

6、大于2 2其中，正确结论的序号是_注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得0 分，其他得 3 分。三、解答题共6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16） （本小题 13 分）已知：函数1( )cossin()(0)64f xxx；向量( 3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，且0，( )f xm n；4函数1( )sin(2)(0,|)22f xx的图象经过点1(,)6 2请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知 _，且函数( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为2（）若02，且1sin2，

7、求( )f的值；（）求函数( )f x在0,2上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（17） （本小题 14 分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度t（单位：c）平均在36 c37 c之间即为正常体温，超过37.1 c即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138t；高热：3840t；超高热（有生命危险）：40t.某位患者因患肺炎发热，于12 日至 26 日住院治疗 . 医生根据病情变化，从14 日开始，以3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00 服药，护士每天下午16:

8、00 为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用没有使用使用 “ 抗生素 a” 治疗使用 “ 抗生素 b” 治疗5情况日期12 日13 日14 日15 日16 日17 日18 日19 日体温（c）38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情况使用 “ 抗生素 c” 治疗没有使用日期20 日21 日22 日23 日24 日25 日26 日体温（c）38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 （）请你计算住院期间该患者体温不低于39 c的各天体温平均值；（） 在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一

9、特殊项目“项目”的检查，记x为高热体温下做“项目”检查的天数，试求x的分布列与数学期望；（）抗生素治疗一般在服药后2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果 .假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由（18） （本小题 15 分）在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd底面abcd为梯形，abcd，abad，且1ab，2paaddc，22pd（）求证：abpd；（）求二面角pbcd的余弦值；（）若m是棱pa的中点，求证：对于棱bc上任意一点f，mf与pc都不平行 . 6（19） （本小题 14 分）已知椭圆2222:1

10、(0)xycabab的离心率为12，过椭圆右焦点f的直线l与椭圆交于a，b两点，当直线l与x轴垂直时，|3ab. （）求椭圆c的标准方程；（）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点p（异于点f） ，使x轴上任意点到直线pa，pb的距离均相等？若存在，求p点坐标；若不存在，请说明理由. （20） （本小题 15 分）已知函数2( )e()xf xaxar（）若曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线与x轴平行，求a；（）已知( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围；（）写出( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围 （请直接写出结论）7（21） （本小题 14 分）

11、已知集合12|(,),0,1,1,2, (2)nnisx xx xxxin n，对于12(,)naa aans，12(,)nnbb bbs， 定义a与b的差为1122(|,|,|)nnabababab；a与b之间的距离为1122( , )= |+|nnd a bababab（）若(0,1)ab，试写出所有可能的a，b；（）, ,na b cs，证明：(,)( ,)d ac bcd a b；（）, ,na b cs，( ,), (,),( ,)d a b d a cd b c三个数中是否一定有偶数？证明你的结论. 20192020学年度高三年级测试题数学 b 参考答案第一部分（选择题共 40 分

12、）一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）a （2） c （3）c （4） a （5）c （6）d （7） b （8）d （9） b （10） d 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共 25 分）（11）80（12）3, 4（13）1*2()nnann（答案不唯一）（14）21（15）三、解答题（共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）（16） （本小题 13 分）解：方案一：选条件因为1( )cossin()64f xxx81cos(sincoscossin)6

13、64xxx2311sincoscos224xxx31sin 2cos244xx 3分131(sin2cos2)222xx1sin(2)26x，又22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分方案二：选条件因为( 3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，所以311( )sincoscos2sin(2)2426f xxxxxm n. 又22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分方案三：选条件由题意可知，22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 1 分又因为函数( )f x图象经过点1(, )6 2，所以11sin(2)226. 3分因

14、为|2，所以6，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分（）因为02，1sin2，所以6. 7分9所以11( )()sin6222ff. 9 分（）由3222,262kxkkz，得2,63kxkkz 12 分令0k，得263x，令1k，得7563x，所以函数( )f x在0,2上的单调递减区间为2,63，75,63. 13 分（17） （本小题 14 分）解:（）由表可知， 该患者共6 天的体温不低于39 c，记平均体温为x， 1分1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55 c6x 4 分所以，患者体温不低于39 c的各天体温平均值为39.55 c. （）x的所有

15、可能取值为0,1,2 5 分3032351(0)10c cp xc, 6 分21323563(1)105c cp xc, 7 分1232353(2)10c cp xc 8 分则x的分布列为： 9 分x012p 11035310所以1336()012105105e x 11 分（） “抗生素 c”治疗效果最佳可使用理由：10“抗生素b”使用期间先连续两天降温1.0c又回升 0.1c， “抗生素c”使用期间持续降温共计1.2c，说明“抗生素c”降温效果最好，故“抗生素 c”治疗效果最佳抗生素 b”治疗期间平均体温39.03c，方差约为0.0156； “抗生素c”平均体温38c，方差约为0.1067

16、， “抗生素c”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显， 故“抗生素 c”治疗效果最佳 14分“抗生素b”治疗效果最佳可使用理由：（不说使用“抗生素b”治疗才开始持续降温扣1 分）自使用“抗生素b”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素b”治疗当天共降温0.7c，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素b”治疗效果最佳 14 分（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素a”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）（18） （本小题 14 分）解: （）因为平面abcd平面pad， 1 分平面abcd平面padad, 2 分ab平面abcd,abad， 3 分所

17、以ab平面pad, 4 分又因为pd平面pad，所以abpd 5 分（）因为2paad，22pd，所以paad由（）得ab平面pad，所以abpa，故,ab ad ap两两垂直如图 , 以a为原点，,ab ad ap所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系axyz，则(0,0,2)p，(1,0,0)b，(2,2,0)c，(0,2,0)d 6 分因为pa平面bcd，所以平面bcd的一个法向量是(0,0,1)nm f 11而(1,0, 2)pb，(2,2, 2)pc，设平面pbc的一个法向量为( , , )x y zm则由0,0,pbpcmm得20,2220.xzxyz取1z，有(2,

18、 1,1)m， 8 分所以16cos,66n mn mn m 10 分由题知，二面角pbcd为锐角，所以二面角pbcd的余弦值为66 11 分（）假设棱bc上存在点f，/mfpc， 设,0,1bfbc 12分依题意，可知(0,0,1)m，(1,2,0)bc，(1,2 ,0)f， 13 分所以(1,2 , 1)mf，(2,2, 2)pc 14 分根据假设，有12 ,22 ,12 ,而此方程组无解，故假设错误，问题得证 15 分（19） （本小题 14 分）解： （）由题意得：222223,1,2,bacaabc1 分解得 :2,3,1abc2 分所以椭圆的标准方程为：22143xy3 分（ii）

19、依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线:1(0)lxmym，1122(,),(,)a xyb xy假设存在点p，设0(,0)p x，由题设，01x，且01xx，02xx. 设直线,pa pb的斜率分别为12,k k，12则12121020,yykkxxxx 4 分因为1122(,),(,)a xyb xy在1xmy上，故11221,1xmyxmy 5 分而x轴上任意点到直线,pa pb距离均相等等价于“pf平分apb”，继而等价于120kk6 分则12121020yykkxxxx12210121020()()()x yx yxyyxxxx1201210202(1)()0()()my yxyyx

20、xxx8 分联立221431xyxmy，消去x，得：22(34)690mymy，有12122269,3434myyy ymm10 分则0012221020102018662460(34)()()(34)()()mmmxmmxkkmxxxxmxxxx，即040mmx，故04x或0m（舍） 13 分当直线l的斜率为零时，(4,0)p也符合题意故存在点(4,0)p，使得x轴上任意点到直线,pa pb距离均相等 14 分（20） （本小题 15 分）解： （）因为2( )e()xf xaxar，故( )e2xfxax 1 分依题意(1)e20fa，即e2a 2 分当e2a时，e(1)02f，此时切线不

21、与x轴重合，符合题意 ，因此e2a 3分13（）由（）知，( )e2xfxax,当0a时，因为0,1x,e0 x,20ax，故( )0fx，即( )f x单增，因此max( )(1)ef xfa依题意 ，当0a时，max( )=ee2f xa， 所以0a符合题意 5分当0a时，( )e2xfxa，令( )0fx，有ln 2xa 6 分( )fx,( )fx变化如下：x(,ln 2 )aln2 a(ln 2 ,)a( )fx0 + ( )fx极小值故min( )22 ln22 (1 ln2 )fxaaaaa 7 分当1ln 20a时，即e02a时，( )0fx，( )fx单调递增，因此max(

22、)(1)efxfa依题意，令e2a，有0e2a 8 分当1ln 20a时，即e2a时，(1)e20fa,(0)10f，故存在唯一0(0,1)x使0()0fx 9 分此时有00e20 xax，即00e2xax ，( )fx,( )f x变化如下： 10 分x0(0,)x0 x0(,1)x( )fx+0 ( )f x极大值所以00020max00e( )()ee2xxxxfxf xax，0(0,1)x 11分依题意，令e( )e2xxxg x，(0,1)x，则(1)e( )02xxgx，( )g x在(0,1)单调递增，所以e( )(1)22g xg，所以max( )2f x，此时不存在符合题意的

23、a 14综上所述，当(,e2a，( )f x在0,1上的最大值不小于2，若(,e2a，则( )fx在0,1上的最大值小于2，所以a的取值范围为(,e212 分解法二：（）当0,1x时，( )f x最大值不小于2，等价于2( )e2xf xax在0,1x上有解，显然0 x不是解 ,即2e2xax在(0,1x上有解，4 分设2e2( )xg xx，(0,1x,则3e2e4( )xxxgxx5 分设( )e2e4xxh xx，(0,1x，则( )e (1)0 xh xx所以( )h x在 (0,1 单调递减，( )(1)4e0h xh， 7 分所以( )0gx，所以g( )x在(0,1单调递增，9

24、分所以maxg( )(1)e2xg10分依题意需e2a,所以 a 的取值范围为(,e212 分解法三 : （）由（）知，( )e2xfxax,（1）当e2a时，( )e2eexxfxaxx,设( )ee0,1xh xx x，( )ee0 xh x,所以( )h x在0,1单调递减，故( )(1)0h xh 5 分所以( )0fx，所以()fx在 0,1 单调递增，因此max( )(1)efxfa 7 分依题意，令e2a，得e2a 8分15（2）当e2a时，22e( )ee2xxf xaxx,设2e( )e2xxx,0,1x,则( )ee( )0 xxxh x,所以( )x在0,1单调递增， 10 分故maxee( )(1)e222x，即( )2fx，不符合题意 11 分综上所述，a 的取值范围为(,e2 12 分（iii）当0a时，( )yf x有 0 个零点；当2e04a时，( )yf x有 1 个零点当2e4a时，( )yf x有 2 个零点；当2e4a时，( )yf x有 3 个零点 15 分（21） （本小题14 分）解： （）(0, 0),(0,1)ab；(0, 1),(0, 0)ab； 1 分(