高考备考指南数学第7章第4讲

1、第七章第 4 讲a 级基础达标 1下列推理是归纳推理的是() aa，b 为定点，动点p 满足 |pa|pb|2a|ab|，则 p 点的轨迹为椭圆b由 a11，an3an1，求出 s1，s2，s3，猜想出数列的前n 项和 sn的表达式c由圆 x2y2r2的面积 r2，猜想出椭圆x2a2y2b21 的面积 s abd科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】 b 【解析】 从 s1，s2，s3猜想出数列的前n 项和 sn，是从特殊到一般的推理，所以b 是归纳推理，故应选b2正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理 () a结论正确b大前提不正

2、确c小前提不正确d全不正确【答案】 c 【解析】 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误3(2016 年西安八校联考)观察一列算式： 1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，则式子 3?5 是第 () a22 项b23 项c24 项d25 项【答案】 c 【解析】 两数和为2 的有 1 个，和为3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为7 的有 6 个，前面共有21 个， 3?5 为和为 8 的第 3项，所以为第24项故选 c4在平面几何中有如下结论：正三角形abc 的内切圆面积为s1，外接

3、圆面积为s2，则s1s214，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体pabc 的内切球体积为v1，外接球体积为 v2，则v1v2() a18b19c164d127【答案】 d 【解析】 正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故v1v2127. 5平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 () an1b2ncn2 n22dn2n1 【答案】 c 【解析】 1 条直线将平面分成1 1 个区域； 2 条直线最多可将平面分成1(12)4个区域； 3 条直线最多可将平面分成1(123) 7 个区域；n 条直线最多可将平面分成 1 (123 n) 1n n12n2n2

4、2个区域，选c6给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(a b)n类比，则有 (ab)nanbn；loga(xy) logaxlogay 与 sin( )类比，则有sin( )sin sin ； (ab)2 a22abb2与(ab)2类比，则有 (ab)2a2 2a bb2. 其中正确结论的个数是() a0b1c2d3 【答案】 b 【解析】 (ab)nanbn(n1，a b0)，故错误sin( )sin sin 不恒成立，如 30 ， 60 ，sin 90 1，sin 30 sin 60 34，故错误由向量的运算公式知正确7观察下列不等式：112232，112213253，1122132

5、14274，. 照此规律，第五个不等式为_【答案】 1122132142152162116【解析】 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等， 且每行右端分数的分子构成等差数列故第五个不等式为1122132142152162116. 8已知等差数列 an中，有a11a12 a2010a1a2 a3030，则在等比数列bn 中，会有类似的结论：_. 【答案】10b11b12 b2030b1b2b30【 解 析 】 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知b1b30 b2b29 b11b20 b15b16， 所 以10b11b12b2030b1b2b30. 9设

6、函数f(x)13x3，先分别求f(0) f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明【解析】 f(0)f(1)1303131311313331233633，同理可得： f(1)f(2)33，f(2)f(3)33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x1x21 时，均有f(x1)f(x2)33. 证明：设 x1 x2 1，f(x1)f(x2)13x1313x233x13 3x233x13 3x233x13x2233x1x23 3x1 3x2 33x1 3x2233 3x13x2233x13x22 33 3x13x2 2 333. 1

7、0 在 rtabc 中， abac， adbc 于点 d， 求证：1ad21ab21ac2.在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由【解析】 如图所示，由射影定理得ad2 bd dc，ab2bd bc，ac2bc dc，1ad21bd dcbc2bd bc dc bcbc2ab2 ac2. 又 bc2ab2ac2，1ad2ab2ac2ab2 ac21ab21ac2. 猜想，四面体a bcd 中， ab，ac， ad 两两垂直， ae平面 bcd，则1ae21ab21ac21ad2. 证明：如图，连接be 并延长交cd 于点 f，连接 af. abac，abad，acad

8、a，ac? 平面 acd，ad? 平面 acd，ab平面 acd. af? 平面 acd， abaf. 在 rtabf 中， ae bf，1ae21ab21af2. 在 rtacd 中， afcd，1af21ac21ad2. 1ae21ab21ac21ad2. b 级能力提升 11已知：正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形根据“三段论”推理出一个结论则这个结论是() a正方形的对角线相等b矩形的对角线相等c正方形是矩形d其他【答案】 a 【解析】 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等12给出以下数对序列：(1,1) (1,2)(2,1)

9、 (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 记第 i 行的第 j 个数对为aij，如 a43(3,2)，则 an m() a(m，nm1)b(m1，nm) c(m1，nm1)d(m，nm) 【答案】 a 【解析】 由前 4 行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则 am，bnm1，所以an m(m，nm1)13古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 () a289b1

10、024c1 225d1 378 【答案】 c 【解析】 观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则 a11，a2a12， a3a23， an an1n.a1a2 an(a1a2 an1)(12 3 n)， an123 nn n 12. 观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn ，则bn n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 14如图所示，我们知道，圆环也可以看作线段ab 绕圆心 o 旋转 一 周 所 形 成的 平 面 图形 ， 又 圆 环 的面 积s (r2 r2) (rr)2 rr2.所以，圆环的面积等于以线段ab r r

11、为宽，以 ab 中点绕圆心 o 旋转一周所形成的圆的周长2 rr2为长的矩形面积 请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域m (x，y)|(xd)2y2r2( 其中 0rb0)外，过点p0作椭圆的两条切线的切点为p1，p2，则切点弦p1p2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21，那么对于双曲线则有如下命题：若 p0(x0，y0)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)外，过点p0作双曲线的两条切线，切点为p1，p2，则切点弦 p1p2所在直线的方程是_【答案】x0 xa2y0yb21 【解析】 设 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则 p1，p2的切线方程分别是x1xa2

12、y1yb21，x2xa2y2yb21.因为 p0(x0， y0)在这两条切线上， 故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，这说明 p1(x1， y1)， p2(x2，y2)在直线x0 xa2y0yb21 上，故切点弦 p1p2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21. 16如图 1 所示， 若从点 o 所作的两条射线om，on 上分别有点m1，m2与点 n1，n2，则三角形面积之比s om1n1s om2n2om1om2on1on2.如图 2 所示，若从点 o 所作的不在同一平面内的三条射线op，oq 和 or 上分别有点p1，p2，点q1，q2和点r1，r2，则类似的结论

13、为_【答案】vop1q1r1vop2q2r2op1op2oq1oq2or1or2【解析】 考查类比推理问题，由图看出三棱锥p1or1q1及三棱锥p2or2q2的底面面积之比为oq1oq2or1or2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为op1op2，故体积之比为vop1q1r1vop2q2r2op1op2oq1oq2or1or2. 17给出下面的数表序列：表 1表 2表 3 113135448 12 其中表 n(n1,2,3， )有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5， 2n1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，计算表 4 各行中的数的平均数，写出一个规

14、律，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明 )【解析】 表 4 为1357 4812 1220 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为 2 的等比数列将这一结论推广到表n(n3)， 即表 n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为2的等比数列18某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213 cos217 sin 13 cos 17 ； sin215 cos215 sin 15 cos 15 ； sin218 cos212 sin 18cos 12 ； sin2(18 )cos248 sin(18 )cos 48； sin2(25 )cos255sin(25 )cos 55 . (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据 (1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】 (1)选择式，计算如下：sin215 cos215 sin 15cos