向量的运算法则

1、(1)实数与向量的运算法则：设为实数，则有:1)结合律：(a) ( )a2)分配律：()a a, (ab) a b。(2)向量的数量积运算法则：1) a?b b?ao2) ( a) ? b (a ?b) a ?b a( b)。3) (a b) ?c a ? c b ?c。(3)平面向量的基本定理。ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a,有且仅有一对实数1, 2,满足a追12e2(4) a与b的数量积的计算公式及几何意义：a?b |a |b| cos ,数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。(5)平面向量的运算法则。x2,y1 y2)。

2、1)设 a = (x1,w), b =(x2,y2),则 a + b=(x2)设 a =(x1,y1), b = (x2,y2),则 a-b =(x1x2,y1y2 )0uur uur uuu3)设点 A(x1,y1), B (x2, y2),则 AB OB OA (m x , y2 y1)。4)设 a = (x, y),ym)。5)a = (x1,y1), b = (x2,y2), MJa?b = (x1x2(6)两向量的夹角公式:COS” y1y22 ( a =(为) , b = (x2 , y2)。,x y1x2 y2(7)平面两点间的距离公式：uuu uuu uuuu-dA,B = |

3、AB| JAB AB a加 Xi)2 (y2 y)2 (AMy), BX.)。(8)向量的平行与垂直：设a = (Xi, y1) , b=(x2,y2),且b 0,则有:1) a|bb=ax1y2 x2y1 0。2) a b( a0) a b=0X1X2y1y20。(9)线段的定比分公式:设 F(xi,yi), P2(x2,y2), P(x,y)是线段 RP2 的分点,UULT是实数，且PPuuirPP2 ，21*uur Luuuu1军 or oryiy211uuu uuir uuuuOP tOP (1 t)OP2 (t(10)三角形的重心公式：ABC三个顶点的坐标分别为A(x”y1)、 B(

4、“，y2)、C(%,y3),则 ABC 的重心的坐标为 G(x1 x2 x3,y1 y2 y3)。 33(11)平移公式：xxhxxhuuuu uur uur,OP OP PP oyykyyk(12)关于向量平移的结论。1)点P(x,y)按向量a= (h,k)平移后得到点P (x h, y k)。2)函数y f (x)的图像C按向量a = (h,k)平移后得到图像C ：y f (x h) k3)图像C按向量a = (h,k)平移后得到图像C ：y f(x),则C为y f (x h) k。4)曲线C：f(x,y) 0按向量a = (h, k)平移后得到图像C : f(x h, y k) 0。设

5、a= (x, y) , b=(x' , y') 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法OB+OA=OCa+b=(x+x' , y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+ c=a+( b+c)。12、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么 a=-b, b=- a, a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y) b=(x',y') 贝U a- b=(x-x',y-y').如图：c=a-b以b的结束为起点，a的

6、结束为终点。3、向量的数乘实数人和向量a的乘积是一个向量，记作 入a,且I入al=l入I - I a I( 当人0时，入a与a同方向当入0时，入a与a反方向；向量的数乘当人=0时，入a=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有 入a=0o注：按定义知，如果 入a=0,那么 入=0或a=0o实数人叫做向量a的，乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当人1时，表示向量a的有向线段在原方向(入0)或反方向(入0)上 伸长为原来的I入I倍当入<1时，表示向量a的有向线段在原方向（入>0）或XX反方向（入<0）上缩短为原来的I入I倍。数与向量的乘法满足下

7、面的运算律结合律：（入 a） b =入（a b）=（ a 入 b）。向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+仙）a=X a+i a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律： 如果实数 入片0且入a=2ib,那么a=b。 如果aw0 .目.入a= a a, UB么 人二。4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b则角AOBW作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定00 a,b&九定义：两个向量的（、）是一个数量（没有方向），记作 a b。若a、b不 共线，贝 a - b =| a| - | b| - cos a, b>

8、（依定义有：cosa, b> =a - b /|a| |b| ）;若 a、b 共线，a b =± I a I I bl。向量的数量积的坐标表示：a - b=x - x'+y ' y'。向量的数量积的运算律a - b=b a （）（X a） - b= X （a - b）（关于数乘法的结合律）（a+b） - c=a - c+b - c （分配律）向量的数量积的性质a - a=| a| 的。a±b =a - b=0o| a - b| < | a| , | b| o （该如下：| a b|=| a| | b| |cos a | 因为0< |

9、cos a | < 1,所以 | a - b| < | a| , I b| ）向量的数量积与实数运算的主要不同点1 .向量的数量积不满足结合律，即： （a b） c wa （ b c）；例如： （a - b）A2 半 aA2 - bA2。2 .向量的数量积不满足消去律，即：由 a - b=a ' c （aw0）,推不出 b=c。3 . | a b| 与| a| | b| 不等价4 .由| a|=| b| ,推不出 2加或2=-%5、向量的向量积定义：两个向量 a和b的向量的几何表小(外积、)是一个向量，记作 axb (这里“x”并不是乘号，只是一种表 示方法，与“ ”不同，

10、也可记做) 。若a、b不共线，则axb的 模是：I ax b I =| a| - | b| - sin a, b； ax b 的方向是：垂直于 a 和 b, 且a、b和a x b按这个次序构成。若 a、b垂直，则a x b=0o 向量的向量积性质：I ax b I是以a和b为边的平行四边形。ax a=0oa 垂直 b二ax b=0向量的向量积运算律ax b=-bx a(入 a) x b=X ( ax b) =ax (入 b) ax (b+c) =axb+ax c.注：向量没有除法，“向量 AB/向量Ct?是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量 a、b、c,向量a、b的向量积axb

11、,再和向量c作 数量积(ax b) c,向量的混合积所得的数叫彳三向量 a、b、c的混合积，记作(a, b, c)或(abc),即 (abc)=( a, b, c)=( ax b) - c混合积具有下列性质：1 .三个不共面向量 a、b、c的混合积的等于以 a、b、c为棱的平行六面体 的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是；当a、b、c构成左手系时，混合积是，即(abc)=eV(当a、b、c构成右手系时 e=1；当a、b、c 构成左手系时&二-1)2 .上性质的推论：三向量a、b、c共面的是(abc)=03 . (abc)=( bca)=( cab)=-( bac)=-( cba)=-( acb)4 . ( ax b) - c=a ( b x c)7.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB,GK设 AE=a(向量),AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b' 有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'. b'c=-bc'(* ) FH=-a+c+c'