山西省大同市第一中学2019-2020学年高二下学期3月第二次考试数学(理)试题(解析版)

1、2019-2020-2 高二年级 3 月第二次考试数学（理）试卷一、选择题（每小题5 分，共 60分，每小题只有一个选项符合题意）1.当2m13时，复数(32)(1)zmmi在平面上对应的点位于（）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 d 【解析】【分析】利用m的范围求出32m、1m的范围即可确定答案【详解】213mq，320,10mm，点在第四象限【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题.2.数列na：2，5，11，20，x，47，中的x 等于（）a. 28b. 32c. 33d. 127【答案】 b 【解析】【分析】观察数列的

2、每一项与前一项的差，可以发现如下规律：523，11 56，20 119，即从第二项起，每一项与前一项的差是3的倍数，故2012x，即可求出x的值【详解】因为523，11 56，20 119，所以2012x，解得32x故选： b【点睛】本题主要考查观察法求数列中的项，同时考查观察、归纳能力，属于基础题3.设复数 z 满足1+z1z=i ，则 |z|= （ ）a. 1 b. 2c. 3d. 2【答案】 a 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)iiiziiii，所以1z，故选 a. 考点：复数的运算与复数的模. 4.求值cos20cos351sin 20（）a. 1b. 2c.

3、2d. 3【答案】 c 【解析】【分析】先 利 用 诱 导 公 式 转 化 为cos20cos20cos351sin 20cos351cos70， 再 利 用 倍 角 公 式 得 到2cos20cos352sin35求解 .【详解】cos20cos20cos351sin 20cos351cos70，2cos20cos202 cos35 sin35cos352sin35，cos20cos20222sin70cos2022. 故选： c.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.如果复数1zai满足条件2z，那么实数a 的取值范围是（）a. ( 2 2,

4、22)b. ( 2,2)c. ( 1,1)d. (3,3)【答案】 d 【解析】试题分析：221123,33zaizaaa考点：复数的模6. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）a. 大前提错误b. 小前提错误c. 推理形式错误d. 非以上错误【答案】 c 【解析】 大前提 “有些有理数是真分数”与小前提 “整数是有理数”都正确， 该推理形式错误，故选c 7.设,ar i是虚数单位，则“1a”是“aiai为纯虚数 ”的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件【答案】 a 【解析】试题分析：

5、22222()()1212()()111aiaiaiaaiaaiaiaiaiaaa，aiai为纯虚数，22101aa且2201aa，1a，“1a” 是“aiai为纯虚数 ”的充分不必要条件考点：充分必要条件、复数的运算、纯虚数的概念8.在等差数列na中， 若0na， 公差0d， 则有4637a aa a. 类比上述性质， 在等比数列nb中， 若0nb，公比1q，则关于5b，7b，4b，8b的一个不等关系正确的是（）a. 5748b bb bb. 7845b bb bc. 5748bbbbd. 7845bbbb【答案】 c 【解析】【分析】类比等差数列na与等比数列nb各项均为正数，等差数列中的

6、“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案【详解】在等差数列na中，由4637时，有4637a aa a，类比到等比数列nb中，由5748时，有4857bbbb，因为4334857444444()(1)(1)bbbbbb qb qb qbqb qq32244(1)(1)(1) (1)0bqqbqqq，所以4857bbbb成立故选： c【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题9.若12axfxx在区间2,上是增函数，则a的取值范围是（）a. 1,2b. 1,2c. ,2d. 2,【答案】 b 【解析】【分析】将函数12axfxx进行常数分离，

7、结合反比例型函数的单调性，即可求出a 的取值范围【详解】因为1(2)1212222axa xaafxaxxx，又fx在区间2,上是增函数，所以1 20a，所以12a故选： b【点睛】本题主要考查由函数的单调性求参数的求值范围，关键是将反比例型函数将进行常数分离，属于中档题10. 如果111a b c的三个内角的余弦值分别等于222a b c的三个内角的正弦值，则a. 111a b c和222a b c都是锐角三角形b. 111a b c和222a b c都是钝角三角形c. 111a b c是钝角三角形，222a b c是锐角三角形d. 111a b c是锐角三角形，222a b c是钝角三角形

8、【答案】 d 【解析】【详解】111a b c三个内角的余弦值均大于0，则111a b c是锐角三角形，若222a b c是锐角三角形，由，得212121222aabbcc，那么，2222abc，矛盾，所以222a b c是钝角三角形，故选d.11. 抛物线 y2 x2上两点 a(x1y1) b(x2y2)关于直线 yxm 对称 且 x1x212则 m 等于 ()a. 32b. 2c. 52d. 3【答案】 a 【解析】【分析】由题意设出直线ab 的方程， 与抛物线方程联立消元后得到关于x 的二次方程， 然后结合根与系数的关系求出线段 ab 的中点坐标，代入对称轴方程yxm 后可得 m 的值

9、【详解】 a,b 两点关于直线yxm 对称，可设直线ab的方程为yxb，由22yxbyx 消去 y 整理得 2x2xb 0，直线ab与抛物线交于两点， 1 8b0，解得18b又由题意得12121,22bxxx x，1212x x，b1，满足题意设a，b的中点为p(x0，y0) ，则120124xxx，00151144yx，又点1 5(,)4 4在直线yxm上，5144m，解得32m故选 a【点睛】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面1 根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率 进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解；（2根据平分得到两对称点的中点

10、坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求12. 已知a、b、c是abcv的三个内角，设24sincosc s242ofbbbb，若2fbm恒成立，则实数m的取值范围是（）a. 1mb. 3mc. 3md. 1m【答案】 d 【解析】【分析】先化简24sincosc s242ofbbbb，为2sin1fbb，再根据2fbm恒成立， 转化为22sin1mb恒成立求解 .【详解】由24sincosc s242ofbbbb，1cos24sincos22bbb，2sin1sincos2bbb，222sin2sin12sin2sin1bbbb，因为0,b，所以(1,3fb，因为2fbm恒成立，所以22sin

11、1mb恒成立，所以23m，解得1m.故选： d【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题（每小题5 分，共 20分）13. 如果复数z212bii(b r) 的实部和虚部互为相反数，则b_.【答案】 23【解析】【详解】 212bii(2)(12 )22(4)145biibbi ，复数 z212bii(br)的实部和虚部互为相反数，2 2bb4，b2314. 在下列 4 个推理中：数列na为等比数列，所以数列na的各项不为0；由211，2132，21353，得出213521nnl；由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面

12、体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点； 通项公式形如nnacq（c，0q）的数列na为等比数列，则数列2n为等比数列 . 属于演绎推理的是_（填写序号） . 【答案】 【解析】【分析】根据演绎推理的定义，依次分析4 个推理过程，即可得到答案【详解】根据三段论的一般形式可判断，是演绎推理；是由特殊到一般的推理，是归纳推理；是由特殊到特殊的推理，是类比推理故答案为：【点睛】本题主要考查演绎推理的定义，同时考查逻辑推理能力演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，当大前提很显然时，常省略不写15. 给出下列命题：其中正确命题的序号为_

13、.若zc，则20z 3；若a、br，且 ab ，则aibi+；若ar，则1ai是纯虚数；若1zi，则31z对应的点在复平面内的第一象限.【答案】 【解析】【分析】根据复数的概念以及几何意义对各命题的正误进行判断.【详解】对于命题，取zi=，则210z，命题错误；对于命题，虚数不能比大小，命题错误；对于命题，取1a，则10air，命题错误；对于命题，1ziiq，则33111zii，该复数对应的点在复平面内的第一象限.故答案为 .【点睛】本题考查复数概念与几何意义的理解，解题时要熟悉复数的概念，属于基础题.16. 已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o

14、的直径，且2sc，则此棱锥的体积为_.【答案】26【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为o，过 abc 三点的小圆的圆心为1o，则1oo平面 abc ，延长1co交球于点d，则sd平面 abc. 1233323co，221361()33oo， 高12 623sdoo，abc是边长为1 的正三角形，34abcs，132 623436sabcv. 考点：棱锥的体积. 三、解答题（共70 分）17.已知, ,a b cr，0abc，1abc，求证： a， b，c 中至少有一个大于32.【答案】 证明见解析【解析】【分析】根据0abc可知, ,a b c中必有一个是正数，不妨设0c，从而可将a

15、b和ab用c表示，逆用根与系数关系构造以,a b为根的一元二次方程，c就成了这个方程的字母系数，再利用判别式即可得到c的范围，即可证出结论【详解】证明：因为0abc， , 所以 a，b， c必有一个正数，不妨设0c，abc，又1abc，则1abc，这样 a，b可看作方程210 xcxc的两实根，因为2140cc，即32748c，所以327382c，所以 a，b，c 中至少有一个大于32.【点睛】本题主要考查逆用根与系数的关系构造一元二次方程，同时考查不等式的放缩通常情况下若问题中有mna，mnb，则,m n可看成20 xaxb的两个实根，为使用判别式创造条件18. 请解决下列问题:(1) 求证

16、：3568；(2) 已知0a，0b，且1ab，求证：11254abab. 【答案】 (1) 证明见解析；(2) 证明见解析【解析】【分析】(1)利用分析法，即可证明出原不等式成立；(2)利用基本不等式先求出ab的取值范围，再将11abab展开化简整理可得22abab，根据对勾函数的单调性，即可证明出原不等式成立【详解】证明：(1) 要证3568，只要证3856，只要证11 2 24 11 2 30，只要证2430只要证2430，因为最后一个不等式2430显然成立，故原命题得证；(2) 因为0a，0b，1ab，所以2124abab，当且仅当ab且1ab，即12ab时，取“”，因111ababab

17、abbaab221abababab21()2ababababab112abababab22abab令tab，10,4t，因为2( )g ttt在10,4单调递减，所以min133( )()44g tg，所以11233252244abababab，故11254abab，【点睛】本题主要考查不等式的证明，基本不等式的应用及对勾函数的单调性，属于中档题19. 如图， 在平面五边形abcde中，2abbccd，2ae，2 2ac，4acd，aeac，f为bc的中点 .现在沿着ac将平面abc与平面acde折成一个直二面角，连接be，bd，df. （1）求证：/df平面abe；（2）求二面角ebdc的余

18、弦值 . 【答案】（ 1）详见解析； （ 2）63.【解析】【分析】（1） 过 d 作dgac于 g.， 根据aeac， 得到/ae dg， 再由2cd，4acd， 得到aedg，则四边形 agde 为矩形，得到/ed ag， 取 ab的中点为 h， 连接 eh， hf， 根据 f 为 bc 的中点，得到/hfag，则四边形 edfh 为平行四边形，得到/dfeh，再利用线面平行的判定定理证明.（2） 以 a 为坐标原点， ac，ae 所在直线为y，z轴，以过点a 且垂直于ac 的直线为x轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ebd 和平面 cbd 的一个法向量，代入公式1212cosrrrrn

19、nnn求解 .【详解】（ 1）证明：如图所示：过 d 作dgac于 g.因为aeac，所以/ae dg.因为2cd，4acd，所以2dgcg，又22ac，2ag，因为2ae，所以aedg.所以四边形agde 为矩形 .所以/ed ag，edag，取 ab 的中点为h，连接 eh， hf.因为 f 为 bc 的中点，所以/hfag，且122hfacag，所以/hfed，hfed，所以四边形edfh 为平行四边形 .所以/dfeh，因为 df平面 abe，eh平面 abe，所以/df平面 abe.（2） 以 a 为坐标原点， ac，ae 所在直线为y，z轴，以过点a 且垂直于ac 的直线为x轴，建

20、立空间直角坐标系 .因为2abbc，22ac.所以abbc，且4cab，所以2,2,0b.因为0,0,2e，所以2,2,2ebuuu r，0,2,0edu uu r，设平面 ebd 的一个法向量为111,1nx yr，则1100nebnedu v uuu vu v uuu v，所以111222020 xyy解得11,0,1nu r.又因为0,2,2d，0,22,0c，所以2,2,0cbu uu r，0,2,2cduuu r.设平面 cbd 的一个法向量为222,1nxyr.则2200ncbncdu u v uu u vu u v uu u v，所以221220220 xyy，解得21,1,1u

21、u rn. 设平面 bde 与平面 bcd 所成角的大小为 ， 为钝角 .则121226cos323nnnnrrrr.所以二面角ebdc平面角的余弦值为63.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20. 在数列na中，12a，1122nnnnaa*nn，其中0. （1）求2a，3a，4a；（2）猜想na的通项公式并加以证明. 【答案】（ 1）224a，3328a，44316a； （2）12nnnan，证明详见解析.【解析】【分析】（1）由1122nnnnaa，将12a代入得2a；再将2a代入得3a；将3a代入得4a.（2）

22、 由2a，3a，4a， 对na的通项公式作出猜想：12nnnan.再用数学归纳法证明，第一步当1n时，11121 12a成立 .第二步假设当nk*nk时，12kkkak，成立，第三步证明当1nk时，1122kkkkaa，用上假设，证1111 12kkkak成立，关键是变形，第四步下结论.【详解】解： （1）由1122nnnnaa，将12a代入，得2221224aa；将224a代入，得323322228aa；将3328a代入，得4344322316aa.（2）由2a，3a，4a，对na的通项公式作出猜想：12nnnan.证明如下：当1n时，11121 12a成立 .假设当nk*nk时，12kkk

23、ak，则当1nk时，1122kkkkaa111222kkkkk112kkk11112kkk.由此可知，当1nk时，111112kkkak也成立 .由可知，可知，12nnnan对任意*nn都成立 .【点睛】本题主要考查数学归纳法，还考查了猜想、证明和运算求解的能力，属于中档题.21. 已知函数2232log,logfxx g xx. (1) 当1,4x时，求函数1h xfxg x的值域；(2) 如果对任意的1,4x，不等式2fxfxk g x恒成立，求实数k的取值范围【答案】 (1)0,2；(2) , 3. 【解析】【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t2logx 0,

24、2 ，由二次函数的性质，即可求出函数的值域； （2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数k的取值范围【详解】 ( 1) h( x) ( 422logx) 2logx 2(2logx1)2 2，因为 x 1,4 ，所以 t2log x 0, 2 ，2( )2(1)2h xt，故函数 h( x)的值域为 0, 2 ( 2) 由 f( x2) f(x) kg( x) ，得( 342logx)( 32logx) k2logx，令2logtx，因为 x 1, 4 ，所以 t2logx0, 2 ，所以 ( 34t)( 3t) kt 对一切

25、t 0, 2 恒成立，当 t0 时， kr；当 t(0, 2 时，343ttkt恒成立，即9415ktt，因为9412tt，当且仅当94tt，即32t时取等号，所以9415tt的最小值为3.所以 k 3. 综上，实数k 的取值范围为( ， 3) 【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力22. 已知圆1f：22316xy，圆心为1f，定点23,0f，p为圆1f上一点，线段2pf上一点k满足222pfkfuuu ruuu r，直线1pf上一点q满足20qk kfuuu r uuu r. （1）求点q的轨迹e的方程；（2）已知m，n两点的坐标分别为0,1，0, 1，点t是直线2y上的一个动点，且直线tm，tn分别交（ 1）中点e的轨迹于c，d两点（m，n，c，d四点互不相同） ，证明：直线cd恒过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（ 1）2214xy； （2）证明详见解