山西省吕梁市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

1、吕梁市区学校高一年级2019 年秋季学期期末考试数学试题（本试卷满分 150分，考试时间 120 分钟.答案一律写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.1.已知集合| |2,axxxz,，|4bxx,，则abi（）a. 0,2b. 0,2c. 0,2d. 0,1,2【答案】 d 【解析】【分析】分别求出集合a、b，利用集合的交运算即可求解. 【详解】由| |2,2, 1,0,1,2axxxz,，|4016bxxxx,，所以abi0,1,2. 故选： d 【点睛】本

2、题考查了集合的交运算，同时考查了绝对值不等式的解法，属于基础题. 2.总体由编号为01，02， 49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取6 个个体，选取方法是从随机数表第7行的第 9列和第 10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 4个个体的编号为 （）附：第 6 行至第 8行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9624 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 a. 11b.

3、24c. 25d. 20【答案】 c 【解析】【分析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果. 【详解】由题意，编号为0150:的才是需要的个体；由随机数表依次可得：24,04, 29, 25, l，故第四个个体编号为25.故选： c【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意重复数据只取一次，属于基础题. 3.已知，31421314,log,33abc，则下列不等式正确的是（）a. abcb. acbc. cabd. cba【答案】 c 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】由13xy为单调递减函数，则304110133，13logyx为单调递减函数，则113

4、34loglog 103，xy为单调递增函数，则1021故cab. 故选： c 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题. 4.某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10 组，每组40 个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）a. 甲比乙的极差大b. 乙的中位数是18c. 甲的平均数比乙的大d. 乙的众数是21【答案】 b 【解析】【分析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断a；找出乙中间的两位数即可判断b；分别求出甲、乙的平均数判断c；观察乙中数据即可判断d；【详解】对于a，由茎叶图可知，甲的极差为37829，乙的极差为2

5、3914，故 a 正确；对于 b，乙中间两位数为18,19 ，故中位数为181918.52，故 b 错误；对于 c，甲的平均数为812132022242526273721.410，乙的平均数为911131418192021212316.910，故 c 正确；对于 d，乙组数据中出现次数最多的为21，故 d 正确；故选： b【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题. 5.下列各组函数是同一函数的是（）3( )2f xx与( )2g xxx2log( )2xf x与2( )g xx0( )f xx与01( )g xx2( )21f xxx与2( )21f ttta. b. c.

6、 d. 【答案】 b 【解析】【分析】利用函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同即可求解. 【详解】对于，3( )2f xx与( )2g xxx，定义域均为0 x x，但对应3( )22f xxxx,两函数的对应关系不同，故不是同一函数；对于，2log( )2xf x的定义域为0 x x，2( )g xx的定义域为r，故不是同一函数；对于，0( )f xx与01( )g xx定义域均为0 xr x，函数表达式可化简为1y，故两函数为同一函数；对于，根据函数的概念，2( )21f xxx与2( )21f ttt，定义域、对应关系、值域均相同，故为同一函数，故选： b 【点睛】本题考查了函数的三

7、要素，函数相同只需函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同，属于基础题 . 6.一个孩子的身高y cm与年龄x（周岁）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程?6.21771.984yx，则下列说法错误的是（）a. 回归直线一定经过样本点中心( ,)x yb. 斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217 个单位c. 年龄为 10 时，求得身高是134cm，所以这名孩子的身高一定是134cmd. 身高与年龄成正相关关系【答案】 c 【解析】【分析】利用线性回归方程过样本中心点可判断a；由回归方程求出的数值是估计值可判断b、c；根据回归方程的一次项系数可判断d

8、 ；【详解】对于a，线性回归方程一定过样本中心点，故a正确；对于 b，由于斜率是估计值，可知b正确；对于 c，当10 x时，求得身高是134cm是估计值，故c错误；对于 d，线性回归方程的一次项系数大于零，故身高与年龄成正相关关系，故d正确；故选： c 【点睛】本题考查了线性回归方程的特征，需掌握这些特征，属于基础题. 7.已知函数2( )f xxbxc的图象的对称轴为直线2x，则（）a. (1)( )( 1)ff bfb. ( 1)( )(1)ff bfc. ( )( 1)(1)f bffd. (1)( 1)( )fff b【答案】 a 【解析】【分析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为

9、2x，可得4b，且函数在2,上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为2x，4b且函数在2,上递增，根据二次函数的对称性可知15ff，13ff又543，所以11ff bf，故选： a 【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题. 8.现对,a b有如下观测数据a34567b1615131417记本次测试中，,a b两组数据的平均成绩分别为,abxx，,a b两班学生成绩的方差分别为2as，2bs， 则 （）a. abxx，22bassb. abxx，22bassc. abxx，22bassd. abxx，22bass

10、【答案】 c 【解析】【分析】利用平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】3456755ax，1615131417155bx，2222223 54 55 56 57 525as，22222216 1515 1513 1514 1517 1525bs，故abxx，22bass故选： c 【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题. 9.,a b c d四名学生按任意次序站成一排，若,a b不相邻的概率是（）a. 164b. 12c. 23d. 56【答案】 b 【解析】【分析】利用捆绑法求出,a b相邻的概率即可求解. 【详解】,a b c d四名学生按任意次序站成一排共有442

11、4a，,a b相邻的站法有323212aa，,a b相邻的的概率121242，故,a b不相邻的概率是11122. 故选： b 【点睛】本题考查了排列数以及捆绑法在排列中的应用，同时考查了古典概型的概率计算公式. 10. 如图程序框图的算法源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入, ,a b k的值分别为30，12，0，经过运算输出, ,a b k，则log( 4)aakb的值为（）a. 6b. 10c. 9d. 7【答案】 d 【解析】【分析】利用程序框图得出, ,a b k，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】当1k时，301218a，12b，当2k时，1

12、8 126a，12b，当3k时，6a，1266b，当4k时，6ab，所以641log( 48)417aakb. 故选： d 【点睛】 本题考查了循环结构嵌套条件结构以及对数的运算，解题的关键是根据程序框图求出输出的结果，属于基础题 . 11. 函数2lg(1)yaxx是奇函数，则a的值为（）a. 1b. 1c. 0d. 【答案】 d 【解析】【分析】根据奇函数的定义可得0gxg x，代入表达式利用对数的运算即可求解. 【详解】函数2lg(1)yg xaxx是奇函数，则0gxg x，即22222lg(1)lg1lg10axxaxxxa x，从而可得210a，解得1a. 当1a时，21 |0axx

13、xax，即定义域为r，所以1a时，2lg(1)yaxx是奇函数故选： d 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题 . 12. 某校早上6： 30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：006：30 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5 分钟到校的概率为（）a. 2536b. 1136c. 2530d. 530【答案】 a 【解析】【分析】设小张与小王的到校时间分别为6：00 后第x分钟， 第y分钟， 由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解 . 【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00

14、 后第x分钟，第y分钟，, x y可以看成平面中点试验的全部结果所构成的区域为,030,030 x yxy是一个正方形区域，对应的面积3030900s，则小张与小王至少相差5 分钟到校事件,5ax yxy(如阴影部分 ) 则符合题意的区域2525625as，由几何概型可知小张与小王至少相差5 分钟到校的概率为6252590036p. 故选： a 【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 用秦九韶算法计算多项式42( )324f xxxx，当10 x时的求值的过程中，2v的值为 _ .【答案】

15、301，【解析】【分析】利用“秦九韶算法”可知：42( )32430124f xxxxxxxx即可求出 . 【详解】由“秦九韶算法”可知：42( )32430124f xxxxxxxx，当求当10 x时的值的过程中，03v，13 10030v，21101301vv. 故答案为：301的【点睛】本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题. 14.(5)142_(2).【答案】101111【解析】【分析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可. 【详解】210(5)1421 54 52 547，根据十进制化二进制“倒序取余法”如下：可得247101111. 故答

16、案为：101111【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题. 15. 在区间 2,4上随机地取一个实数x，若实数x满足|1|xm的概率为13，则m_ .【答案】 1【解析】【分析】利用几何概型中的长度比即可求解. 【详解】实数x满足|1|xm，解得11mxm，1114233mmmp，解得1m，故答案为： 1【点睛】本题考查了几何概率的应用，属于基础题. 16. 符号 x 表示不超过x的最大整数， 如3, 1.082，定义函数( ) fxxx，则下列命题中正确是 _ .函数fx的最大值为1；函数fx的最小值为0 ；函

17、数12g xfx有无数个零点；函数fx是增函数；【答案】 【解析】【分析】利用函数中的定义结合函数的最值、周期以及单调性即可求解. 详解】q函数( ) f xxx，函数fx的最大值为小于1，故不正确；函数fx的最小值为0，故正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数12g xfx有无数个零点，故正确；由函数fx图像，结合函数单调性定义可知，函数fx在定义域内不单调，【故不正确；故答案为：【点睛】本题考查的是取整函数问题，在解答时要充分理解 x 的含义，注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析，属于基础题. 三、解答题（本大题共6 小题，共 70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17

18、. 假设你有一笔资金用于投资，x年后的投资回报总利润为y万元，现有两种投资方案的模型22 ,xyyx供你选择 .（1）请在下图中画出2xy的图像；（2）从总利润的角度思考，请你选择投资方案模型.【答案】（ 1）作图见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据指数函数描出几个特殊点，用平滑的曲线连接即可. （2）结合（ 1）中的图像，分析可得对于不同的x值进行讨论即可求解. 【详解】（ 1）（2）由图可知当02x时，22xx；当2x时，22xx当 24x时，22xx；当4x时，22xx；当4x时，22xx；所以当资金投资2年或 4 年时两种方案的回报总利润相同；当资金投资2 年以

19、内或4 年以上，按照模型2xy回报总利润为最大；当资金投资2 年以上到4 年以内，按照模型2yx=回报总利润最大.【点睛】本题考查了指数函数、二次函数模型的应用，属于基础题. 18. 某学校高一学生有1000 名学生参加一次数学小测验，随机抽取200 名学生的测验成绩得如图所示的频率分布直方图：（1）求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩x和标准差s（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表） ；（2）试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间2 ,2xs xs之内的概率是多少？测验成绩在区间2 ,2xs xs之外有多少位学生？（参考数据：265.1）【答案】 （1） 平均数1

20、00 x， 样本标准差10.2s. （2） 概率为 0.9356， 全校测验成绩在区间2 ,2 xs xs之外约有64（人）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数小矩形底边中点乘以小矩形的面积之和；利用方差公式可求方差，进而可求标准差 . （2）由（ 1）知(2 ,2 )(79.6,120.4)xs xs，由频率分布直方图求出75,79.6, 120.4,125的概率即可求解 . 【详解】（ 1）数学成绩的样本平均数为：80 0.006 10900.026 10100 0.038 10 x110 0.022 10 120 0.008 10100，数学成绩的样本方差为：2222(801

21、00)0.06(90100)0.26(100100)0.38s22(110100)0.22(120100)0.082222( 20)0.06( 10)0.26100.22200.08104.所以估计这批产品质量指标值的样本平均数100 x，样本标准差10422610.2s.（2）由（ 1）知(2 ,2 )(79.6,120.4)xs xs，则(79.675)0.006(125120.4)0.0080.064410.06440.9356，所以1000 0.064464（人）所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间2 ,2 xs xs之内的概率为0.9356，全校测验成绩在区间2 ,2 xs

22、xs之外约有 64（人） .【点睛】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图求出样本数据特征，需掌握公式，属于基础题. 19. 下面给出了根据我国2012年2018 年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图 （2012年2018 年的年份代码x分别为 17）.（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得711071iiy，714508iiix y，求y关于x的线性回归方程.参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx$.【答案】（1）y与x之间是正线性相关关系（2）?8121yx【解析】【分析

23、】（1）根据散点图当x由小变大时，y也由小变大可判断为正线性相关关系. （2）由图中数据求出?b，代入样本中心点求出? a，即可求出y关于x的线性回归方程.【详解】（ 1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当x由小变大时，y也由小变大，从而y与x之间是正线性相关关系；（2）由题中数据可得1(1234567)47x，11071107115377y，从而7117222222222211745087107147?81234567747iiiiix yx ybxx，1071?841217ayb x，从而所求y关于x的线性回归方程为?8121yx.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法以及变

24、量之间的关系，属于基础题. 20. 某学校有1200 名学生， 随机抽出300 名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10 个红球， 10 个绿球和 10 个白球的袋子.调查中有两个问题：问题 1：你的阳历生日月份是不是奇数？问题 2：你是否抽烟？每个被调查者随机从袋中摸出1 个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子， 回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53 个小石子， 估计该学校吸烟的人数有多少？【答案】

25、36【解析】【分析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1 个红球，绿球，白球的概率都是13，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数. 【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是13.即我们期望大约有13001003人回答了第一个问题，13001003人不回答任何问题，13001003人回答了第二个问题.在回答阳历生日月份是奇数的概率是12.因而回答第一个问题的100 人中，大约有50 人回答了“是”.所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3 人回答了“

26、是”.即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36 人抽烟 .【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题. 21. 已知幂函数( )yf x的图象过点(2,2).（1）求出函数( )yf x的解析式，判断并证明( )yf x在0,)上的单调性；（2）函数( )g x是r上的偶函数，当0 x时，( )( )g xf x，求满足(1)5gm ,时实数m的取值范围 .【答案】（ 1）12( )f xx，( )f x 在0,)上是增函数；证明见解析（2） 4,6【解析】【分析】（1）幂函数的解析式为( )yf xx，将点(2,2)代入即可求出解析式，再利用

27、函数的单调性定义证明单调性即可 . （2）由（1）可得当0 x时，( )g x在0,)上是增函数，利用函数为偶函数可得( )g x在(,0上是减函数，由(5)5g，(1)5gm，从而可得|1|5m，解不等式即可. 【详解】（ 1）设幂函数的解析式为( )yf xx，将点(2,2)代入解析式中得22，解得12，所以，所求幂函数解析式为12( )f xx.幂函数12( )f xxx在0,)上是增函数 .证明：任取12,0,)x x，且12xx ，则1212fxfxxx121212()()xxxxxx2212xxxx，因为12xx ，120 xx，所以12fxfx，即幂函数( )f xx在0,)上是

28、增函数（2）当0 x时，( )( )g xf x，而幂函数( )f xx在0,)上是增函数，所以当0 x时，( )g x在0,)上是增函数 .又因为函数( )g x是r上的偶函数，所以( )g x在(,0上是减函数 .由(5)5g，(1)5gm可得：|1| 5m，即46m，所以满足(1)5gm时实数m取值范围为 4,6.【点睛】本题考查了幂函数、函数单调性的定义，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题. 22. 某果农从经过筛选（每个水果的大小最小不低于50 克，最大不超过100 克）的 10000 个水果中抽取出100个样本进行统计，得到如下频率分布表：级别大小（克）频数频率一级果50,6050.05二级