10、分式的运算(2)

1、-910、分式的运算【知识精读】1.1. 分式的乘除法法则a c acb d_bd；a c a d adb d b c bc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2.2. 分式的加减法（1 1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是：1取各分母系数的最小公倍数；2凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幕的因式都要取；3相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最高的。（2 2）同分母的分式加减法法则a b a _b =-c c c（3 3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3.3. 分式乘方的法则na

2、na（）n（ n n 为正整数）bbn4.4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有 重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1 1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2 2） 整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1 1”的分式;（3 3）运算中及时约分、化简；（4 4）注意运算律的正确使用；（5 5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算【分类解析】x 亠 x - 6笃x 6的结果是x x -2(x-2)(x 1)(X 3)(x-2)(x -3)(x 2) (x 2)(x _1)例 1 1 :计算2X2_x _2 x2

3、-x _6X -1x 1A.A.B.B.x-3x-9C.C.x2D.D.x21x23分析：原式2(x -2)(x 1) (x 2)(x -1) (x -3)(x 2) (x3)(x一2)(x 1)(x _ 1) (x 3)(x - 3) x2一1x2-9故选 C C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。ab a 1 =1例 3 3：已知：2m-5n = 0，求下式的值：(1 - ) (1 - )m m nm m + -分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分 子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一 个字母，带入化简后

4、的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。” /八-m、. 一1 n m、解：(1)(1)m m nm m + nm(m _ n) n(m _ n) _ m m(m n) n(m n) _ m m(mn)m(m n)_n亠m(m + n)m(m - n) _nm nm一nn n故原式=电-5 n一nb+-ab a 1 bc b 1分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用化成同分母，运算就简单了。a例 2 2：已知abc = 1，求一c的值。ac c 1abc替换待求式中的“ 1 1”，将三个分式解：原式abab a 1+-abc ab aabc+-abc abc ababcab a 1a a

5、b 1ab1 ab a a 1 ab的值是多少?分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。1 11 1解：由已知条件得：3，4，a bb c1 1 1所以2()=12abc1 1 1即6ab cab bc ca111又因为6abcc b aabc1所以一ab +bc + ca6例 5 5:化简：3彳2彳2.x 1 x -1 x -4 ()x -2x 2x 1解一：32原式(x1)(x2) (x -1)(2) (x-2)(x-2)八式一(x -2)(x2)x 1x43x3-2x24x +1(x4-x2)3(x3T) -(X2-1)x +12 2x (x 1)(x

6、-1)3(x1)(x - x 1) -(x 1)(x -1)X + 13 2 2(x 1)(x -x 3x -3x 3-x 1)x +1=x32x2- 4x 4解二：原式(X 1)(X2-X 1) (x 2)(x-2) (x 1)(x-1) (x 2)(x-2)八式一x-2x 1 x 2x 12=(x -x 1)(x 2) (x -1)(x -2)=x3_ x2x 2x2_ 2x 2 x2- 3x 232=x 2x -4x 4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多 项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题

7、时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例 4 4：已知 a a、b b、c c 为实数，且bc 1b c 4旦J， 那么c a 5abcab beca2 2m n22m _4mn 4nm 2 n-1 -m nm n -m 2nm n3nm n说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例 2 2、M22x -y2 2 22xy _ y x - 2xy y_ 2 2x -yx2M-2 -22x -y xy.M “说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同,中考点拨:-4ab(a +b)(a _b)(a b)2(a-b)2-2b2a(a b)(ab

8、)2aa -b例 1 1、计算:解:原式二1m - nm -2n(m - 2n)2(m n)(m _ n)n m1m - 2 n已知:解:2xy - y2x - y即可求出 M M。例 1 1：计算:1(a b)2解一:原式=2 2(a -b) -(a b)(a b)2(a -b)2a -pa(a b)(a - b)(_!L)“(丄a b aba b ab a b1 1-+-a b a-ba -b a b 2a(a b)(a -b) a2-b2法的繁简程度一目了然。1c,2A.A.B.B.0C.C.1D.D.- -23a3_b3+2b3. a _b +2b解：原式33a3b3ab_ a3b3a

9、 _ b a3-b3a b2 2_ (a b)(a -ab b ) a _b (a -b)(a2ab b2) a b2 2_ a -ab b _ 3ab -ab a2ab b23ab ab2ab 14ab 2故选 A A【实战模拟】1.1. 已知：a b = 2，ab = 5，则旦b的值等于(b a21419A.A.B.B.C.C.5552312.2. 已知x - 16x -1=0，求x3的值。x1111-+- +- +-x23x 2 x25x 6 x27x 12 x29x 204.4.999911111999922221999922221999933331，试比较 A A 与 B B 的大小

10、。解二:原式说明：在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方例 2 2：b2= 3ab，则(12b3小气1辽)的值等于(a-bD.D.243 3. .计算:5.5.已知：a b = 0， abc二8，求证:丄1a b c:0。书是人类进步的阶梯 终生的伴侣，最诚挚的朋友 一一高尔基【试题答案】a b = 2, ab = -5.a2b2= (a b)2-2ab = 14a b 1414 一 + 一 =- =b a-55故选 B B22 2解：x -16x-仁016(x21)166x= 163=163xx=16 259 = 4144此题反复运用了已知条件的变形，最终达到

11、化简求值的目的。+- +-+(x 2)( x 3) (x 3)(x4) (x 4)(x5)11111111-+-+- +-x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 1 _ 1x 1 x 54x26x 5说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。2.43a 1 a a a1-a -2a Ta31(a21)(a31)4 4解:设a二99991111，a 1a21a21a311 1解:ab+ +baab二 16xx2-仁 16x，x2-16x = 11 x3-13-x242_ (x _1)(x X 1)x3422_16x(x x x -16x)x316(x42x2-16x)=16(x2= 16(16x12162)x1616x2-16)