广东省深圳市宝安中学(集团)2019-2020学年高三下学期2月月考数学(理)试题(解析版)

1、深圳市宝安中学（集团）2 月份月考数学试题一、单选题（每题5 分）1.已知复数212zaai ar，则 “1a” 是“z为纯虚数 ” 的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 a 【解析】【分析】解出复数212zaai为纯虚数a 的取值范围，即可得解.【详解】复数212zaai为纯虚数，则210a，且20a，解得1a，所以 “1a”是“ z为纯虚数 ” 的充分不必要条件.故选： a.【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数212zaai为纯虚数a的取值范围 .2.设3443izi，21fxxx，则fz（）a. ib.

2、ic. 1id. 1i【答案】 a 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解【详解】解：3443iziq344334434343iiiziiii21fxxxq21fziii故选：a【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3.设向量cos , 1 ,(2,sin)abrr，若abrr, 则tan4( ) a. 13b. 13c. -1 d. -3 【答案】 d 【解析】分析：利用0aba brrrr，即可求出tan，再利用两角和的正切公式即可得出详解：abrr，020a bcossinrr，即2tan121tan3.4112tantan故选 b点睛：利用0

3、aba brrrr，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36的等腰三角形 ( 另一种是顶角为108的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形abc中，512bcac，根据这些信息，可得sin 234 =（）a. 12 54b. 358c. 154d. 458【答案】 c 【解析】【分析】利用正弦定理求出151cos36451，再由诱导公式可得结果.【详解】由正弦定理得sinsinabcabcac，即sin36sin3651sin722sin36cos3

4、62，得151cos36451，则51sin234 =sin(27036 )cos364，故选 c【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.5.设函数2( )1f xx，对任意3,)2x，24( )(1)4()xfm f xf xf mm恒成立， 则实数m的取值范围是（）a. 11(,)22b. 22(,)22uc. 33(,)22d. (, 11,)u【答案】 c 【解析】【分析】将个函数自变量代入2( )1f xx,参变分离得22213241mmxx, 再利用导数求右边的最小值后再解不等式即可 .【详解】依据题意得222221411141xmxxmm在3,)2x上恒成立

5、, 即22213241mmxx在3,)2x上恒成立。令232( )1g xxx,3262( )g xxx, 3,)2x, ( )0g x,( )g x递增 , 当32x时, 函数232( )1g xxx取得最小值53, 所以221543mm, 即2231 430mm, 解得32m或32m, 故选： c【点睛】本题主要考查了利用导数参变分离求最值的方法求解恒成立的问题,属于中等题型.6.已知实数xy，满足124242,240,330,xyxyxyxy若(1)1yk x恒成立，那么k的取值范围是 ( ) a. 1,32b. 4,3c. 3,d. 1,2【答案】 d 【解析】【分析】由题意， 作出不

6、等式组对应的可行域，根据11yk x的图象是过点1, 1，斜率为k的直线， 结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数, x y满足124242240330 xyxyxyxy，即220240330 xyxyxy，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数11yk x的图象是过点1, 1，斜率为k的直线，要使得不等式11yk x恒成立，即11ykx恒成立，结合图象可知，当直线过点1,0b时，斜率取得最小值12，所以实数k的取值范围是1,2，故选 d.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的

7、关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.7.已知 0 x22，0y 22，且 m2222( 2)( 2)xyxy+2222(2)(2 2)(2 2)( 2)xyxy则 m 的最小值为（）a. 2 2b. 2 3c. 2d. 4 2【答案】 d 【解析】【分析】先根据两点间距离公式化为动点到四个定点的距离和，再根据图象确定最小值取法，即得结果.22(2)(2 2)xy【详解】解：根据题意，可知22(2) xy表示点（ x，y）与点 a（2，0）的距离；22( 2)xy表示点（ x，y）与点 b（0，2）的距离；22(2)(2 2)xy表示点（ x，y）与点 c（2，22）的距离；22(2

8、2)(2)xy表示点（ x，y）与点 d（22，2）的距离 .m 表示点（ x，y）到 a、b、 c、d 四个点的距离和的最小值.则可画图如下：2222( 2)(2)(2 2)xyxy的最小值是点（x，y）在线段 ac 上，同理，2222( 2)(2 2)(2)xyxy最小值是点（ x，y）在线段 bd 上，点（ x，y）既在线段ac 上，又在线段bd 上，点（ x，y）即为图中点p.m 的最小值为 |ac|+|bd|42.故选： d.【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用数形结合求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.8.已知双曲线c，2213xy，o 为坐标原点， f 为 c 的右焦点，过

9、f 的直线与c 的两条渐近线的交点分别为 m 、n .若vomn 为直角三角形，则|mn|=a. 32b. 3c. 2 3d. 4【答案】 b 【解析】【详解】分析，首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30fon，根据直角三角形的条件，可以确定直线mn的倾斜角为60或120，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22mn，利用两点间距离公式求得mn的值 .详解 ，根据题意，可知其渐近线的斜率为33，且右焦点为(2,0)f，的从而得到30fon

10、，所以直线mn的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线mn的方程为3(2)yx，分别与两条渐近线33yx和33yx联立 ，求得33(3,3),(,)22mn，所以2233(3)( 3)322mn，故选 b.点睛 ，该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线mn的斜率， 结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.9.已知函数sin

11、0fxx在区间72,123上单调，且14f，304f，则的最大值为（）a. 7b. 9c. 11d. 13 【答案】 b 【解析】【分析】根据函数fx在区间72(,)123上单调，得27312122t， 解得12， 又由3()1,()044ff，则34442tkt，得到解得21,kkz，代入验证，即可求解【详解】由题意，函数sin()(0)fxx在区间72(,)123上单调，则27312122t，解得6t，所26，即12，又由3()1,()044ff，则34442tkt，即2121 2244kkt，解得21,kkz，当5k时，此时11，则sin(11)fxx，又由()14f，即11()sin(

12、)144f，解得4，即sin(11)4fxx，此时函数fx在区间72(,)123上不单调，不满足题意.当当4k时，此时9，则sin(9)fxx，又由()14f，即9()sin()144f，解得4，即sin(9)4fxx，此时函数fx在区间72(,)123上是单调函数，满足题意，所以的最大值为9，故选 b.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出关于周期的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题10. 已知数列na满足：11a，12nnnaaa()nn.若11(2 ) (1)nnbna()nn，1b，且数列nb是单

13、调递增数列，则实数的取值范围是（）a. 23b. 32c. 32d. 23【答案】 d 【解析】试题分析：因为11111121111112(1)1(1)222nnnnnnnnnnaaaaaaaaa，所以1(2 ) 2nnbn，因为数列nb是单调递增数列，所以当2n时113(2 ) 2(12 ) 2212212nnnnbbnnn；当1n时，213(12 ) 22bb，因此23，选 d. 考点：等比数列定义，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据+1nnaa的符号判断数列na是递增数列、递减数列或是常数列. 用作商比较法，根据+1nnaa与 1 的大小关系及n

14、a符号进行判断. 结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件11. 已知偶函数( )f x 的定义域为,2 2，其导函数为( )fx，当 02x时，有( )cos( )sin0fxxf xx成立，则关于x的不等式( )2cos4f xfx的解集为（）a. ,42b. ,2442c. ,00,44d. ,0,442【答案】 b 【解析】【分析】根据题意设( )( )cosf xg xx，则求导函数分析( )gx的正负， 得函数( )g x在0,2上的单调性， 再根据( )f x的奇偶性，得( )g x的奇偶性，将所求解的不等式转化为( )4g xg，根据分析出的单调性和奇偶性

15、可得不等式的解集.【 详 解 】 根 据 题 意 设( )( )cosf xg xx， 则2( )cos( )sin( )cosfxxf xxg xx， 又 当02x时 ，( )cos( )sin0fxxf xx，则有( )0gx，所以( )g x在0,2上单调递减， 又( )f x 在,22上是偶函数，所以()( )()( )cos()cosfxf xgxg xxx，所以( )g x是偶函数，所以( )( )4( )2cos24cos4coscos4ff xf xf xfxfxx( )4g xg，又( )g x为偶函数， 且在0,2上为减函数，且定义域为,22，则有|4x，解得24x或42x

16、，即不等式的解集为,2442，故选： b.【点睛】 本题以函数和导函数为背景,考查函数的导数与函数单调性的关系,考查逻辑思维、 转化与化归思想.创新意识 .推理运算能力,考查逻辑推理，数学抽象.数学运算素养.12. 如图，点f是抛物线28yx的焦点，点a、b分别在抛物线28yx及圆22216xy的实线部分上运动，且ab总是平行于x轴，则fab的周长的取值范围是（）a. 8,12b. 6,10c. 6,8d. 8,13【答案】 a 【解析】【分析】根据抛物线定义可得2aafx，fab的周长6bafabbxf，得到答案 .【详解】抛物线的准线l：2x，焦点2,0f，根据抛物线定义可得2aafx，圆

17、22216xy的圆心为2,0，半径为4，fab的周长246ababafabbfxxxx，由抛物线28yx及圆22216xy可得交点的横坐标为2，2,6bx，68,12bx故选： a.【点睛】本题考查了三角形周长的取值范围，确定fab的周长6bx是解题的关键 .二、填空题（每题5 分）13. 在25(2)xxy展开式中，52x y的系数为 _【答案】 60 【解析】223235(2 )tcxxy, 而 在23(2 )xx中236133()(2 )2kkkkkkktcxxcx，65,1kk，5232tx，则52523103260tx yx y，52x y的系数为60. 14. 若数列na是正项数列

18、，且2123naaannl，则12231naaanl_.【答案】226nn【解析】令，得，所以当时，与已知式相减， 得， 所以，时，适合 所以，所以，12231naaanl15. 在同一个平面内， 向量,oa ob ocuu u v u uu v uuu v的模分别为1,1, 2, oauuu v与ocuuu v的夹角为，且tan7,obuu u v与ocuu u v的夹角为45o，若,ocmoanob m nru uu vu uu vuuu v，则mn_【答案】3【解析】【详解】以oa为x轴，建立直角坐标系，则()1,0a，由ocuuu v的模为2与oau uu v与ocuuu v的夹角为，

19、且tan7知，272cos,1010sin， 可得1 7,5 5ccos45,45bsinoo，3 4,5 5b， 由ocmoanobuuu vuu u vu uu v可 得131 73455,745 55555mnmnnn57,44mn，3mn， 故答案为3.， 方法点睛】 本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式， 同角三角函数之间的关系，属于难题 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为

20、解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便，16. 在内切圆圆心为m的abc中，3ab，4bc，5ac，在平面abc内，过点m作动直线l，现将abc沿动直线l翻折，使翻折后的点c在平面abm上的射影e落在直线ab上，点c在直线l上的射影为f，则efcf的最小值为 _【答案】8 1025【解析】画出图象如下图所示.由于11,lc f lc e,所以l平面1c ef,所以,c f e三点共线 .以,ba bc分别为, x y轴建立平面直角坐标系,则3,0 ,0,4 ,1,1acm,设直线l的方程为11yk x,则直线ce的方程为14yxk. 令0y求得4exk, 而0ey. 联立1

21、114yk xyxk解得222341,11ffk kkkxykk.由点到直线的距离公式可计算得2224+13,11kkkefcfkk,所以241404043252 43258 1025333efkkkkcfkkk.即最小值为8 1025.，点睛 ，本小题主要考查空间点线面的位置关系,考查线面垂直的证明,考查三点共线的证明,考查利用坐标法解决有关线段长度比值的问题,是一个综合性很强的题目.首先考虑折叠问题,折叠后根据线线垂直关系推出,c e f三点共线 ,将问题转化为平面问题来解决,设好坐标系后写出直线l的方程即直线ce的方程 ,根据点到直线距离公式写出比值并求出最值.三、解答题：共70 分.1

22、7. 在abcv中，角 a，b，c的对边分别为a，b，c，且222(2)2cosacabcabcc. （1）求角b的大小；（2）若3sin13 cos02ac，求ba的值 . 【答案】（ 1）060b（2）3【解析】【分析】（ 1 ） 利 用 正 、 余 弦 定 理 处 理22222cosacabcabc， 即 可 得 出 答 案 （ 2 ） 展 开3sin13 cos03ac，结合0180abc，和第一问计算出的角b 的大小，即可得出a 的值，结合正弦定理sinsinbbaa，代入，即可【详解】（ 1）角,a b c的对边分别为, ,a b c，且22222cosacabcabcc2222c

23、os2acacbbcac，2coscosacbbccos2cosbbacc，由正弦定理得：2sinsinsinabcrabc，2 sinara，2 sinbrb，2 sincrc，2 sincos4 sin2 sincosrbbrarcc，2sin cossin cossin cosabcbbc，2sin cossin coscos sinabcbcbsinsincba，sin0a，1cos2b000 ,180b，060b. （2）3sin13 cos02ac，3sin13cos02ac，1sin3cos2ac，060b，0018060ca，0120ca，01sin3cos 1202aa，00

24、1sin3 cos120 cossin120 sin2aaa131sin3cossin222aaa311cossin222aa01cos302a000120a，0003030150a030a由正弦定理得：sinsinabab，060b，030a，003sinsin60231sinsin302bbaa. 【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大18. 如图，在四棱锥p-abcd中， 底面 abcd 是正方形， 且1adpd， 平面 pcd平面 abcd ，pdc120，点 e为线段 pc的中点，点f 是线段 ab上的一个动点（）求证：平面def平面 pbc ；（）设二面角cdef的平面角为，试判

25、断在线段ab上是否存在这样的点f，使得tan2 3，若存在，求出|affb的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见证明； （）12affb【解析】【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（） 先证明da，dc，dg两两垂直， 再以d为原点， 以da，dc，dg所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系，设1,0fm， 用m表示出平面def的法向量， 进而表示出cos， 由tan23，即可得出结果 . 【详解】解： （）q四边形abcd是正方形，bcdc. 平面pcd平面,abcd平面pcd平面abcdcd，bc平面pcd. de平面pdc，bcde. adpddc，点e为

26、线段pc的中点，pcde. 又pccbc，de平面pbc. 又de平面def，平面def平面pbc. （）由（）知bc平面pcd，/ /adbc，ad平面pcd. 在平面pcd内过d作dgdc交pc于点g，addg，故da，dc，dg两两垂直，以d为原点，以da，dc，dg所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系dxyz. 因为1adpd，120pcdoq，3pc. ad平面pcd， 则0,0,0d，0,1,0c，130,22p又e为pc的中点，130,44e，假设在线段ab上存在这样的点f，使得tan2 3, 设1,0 (0)fmm，130,44deuu u v，1, ,

27、0dfmu uu v，设平面def的法向量为1, ,nx y zv， 则110,0,ndendfuv uuu vuuu vv013044xmyyz，令3y，则1,3zxm，则13,3,1nmvqad平面pcd，平面pcd的一个法向量21,0,0nv,tan2 3, 则13cos13122313coscos,13331mn nmuv u u v. 0mq，解得13m，12affb【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.19. 已知两动圆2221: (3)fxyr和2222:(3

28、)(4)fxyr（04r） ，把它们的公共点的轨迹记为曲线c，若曲线c与y轴的正半轴的交点为m，且曲线c上的相异两点a b、满足：0ma mbuuu v uuu v.（1）求曲线c的轨迹方程；（2）证明直线ab恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求abmv面积s的最大值 .【答案】（ 1）2214xy； （2）见解析；（3）6425.【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为q，由椭圆定义得出曲线c是椭圆，并得出a、b、c的值，即可得出曲线c的方程；（2）求出点m，设点11,a x y，22,b xy，对直线ab的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线ab的方程为ykxm ，并将该直

29、线方程与椭圆c的方程联立，列出韦达定理，结合条件0ma mbu uu r uuu r并代入韦达定理求出m的值，可得出直线ab所过点的坐标，在直线ab的斜率不存在时，可得出直线ab的方程为0 x，结合这两种情况得出直线ab所过定点坐标；（3）利用韦达定理求出abm面积s关于k的表达式， 换元22542tk，然后利用基本不等式求出s的最大值 .【详解】（ 1）设两动圆的公共点为q，则有：12124qfqff f由椭圆定义可知q的轨迹为椭圆，2a，3c，所以曲线c的方程是：2214xy；（2）由题意可知：0,1m，设11,a x y，22,b xy，当ab的斜率存在时，设直线:abykxm ，联立方

30、程组：2214xyykxm，把代入有：222148440kxkmxm，122814kmxxk，21224414mxxk，因为0ma mbuuu ru uu r，所以有1212110 xxkxmkxm，2212121110kxxk mxxm，把代入整理：的2222244811101414mkmkk mmkk， （有公因式1m）继续化简得：1530mm，35m或1m（舍） ，当ab的斜率不存在时，易知满足条件0ma mbuuu ruu u r的直线ab为：0 x过定点30,5n，综上，直线ab恒过定点30,5n；（3）abm面积212121214()425amnbmnsssmnxxxxxx，由第（

31、 2）小题的代入，整理得：22322542514ksk，因n在椭圆内部，所以kr，可设22542tk，23232(2)9494tstttt，92542ttq，6425s（0k时取到最大值） 所以abm面积s的最大值为6425【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.20.近年来，国资委. 党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了

32、一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99. 9% 的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x, 求x的分布列及数学期望参考公式：1122111()(),

33、()()niinniiixxyyrxxyy22(),()()()()n adbckabcdac bd其中nabcd临界值表：20()p kk0. 1000.0500. 0250. 0100. 0010k2. 7063.8415. 0246. 63510. 828参考数据：63525.2【答案】（ 1）线性相关； （ 2）有 ； （3）详见解析 . 【解析】【分析】（ 1）分别求出3x，16y，从而521()10iixx，521()254iiyy，51()()47iiixxyy，求出12211()()470.93310254()()niiinniiiixxyyrxxyy， 从而得到管理时间y与土

34、地使用面积x线性相关（2）完善列联表，求出218.7510.828k，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，由此能求出x的分布列和数学期望【详解】解：依题意：123458101325243,1655xy的故51()()( 2)( 8)( 1)( 6)1 92847ixxyy552211()41 1410,()643698164254iixxyy则5155221111()()47470.933102542 635()()iiixxyyrxxyyr，故管理时间y与土地使用

35、面积x线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得2k的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200 100200100200100200100k故有 99. 9% 的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，故35125(0)( ),6216p x1235125(1)( ),6672p xc233332515(2)(11(3)62),72

36、1666pp xxcc故x的分布列为x0123p12521625725721216则数学期望为12525511()012321672722162e x（或由1(3,)6xb，得11()362e x【点睛】 本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等21.已知函数2( ),( )()xfxxaxb g xecxd. 若曲线( )yfx和曲线( )yg x都过点(0,2)p,且在点p处有相同的切线42yx. （）求a b c d, ,的值 ; （）若2x时,( )( )f xkg x, 求k的取值范围 . 【答案】（ i）4,2,2,2abcd

37、； （ii）21,e . 【解析】试题分析：（1）先求导 ,根据题意02,02fg,由导数的几何意义可知 04, 04fg,从而可求得a b c d, ,的值（2） 由（ 1）知，242,21xfxxxg xex,令f xkg xfx,即证2x时0f x先将函数f xkg xfx求导 ,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值使其最小值大于等于0 即可试题解析：（ 1）由已知得02,02fg， 04, 04fg而2,xfxxa gxecxdc，4,2,2,2abcd（4 分）（2）由（1）知，242,21xfxxxg xex，设函数22142,2xf xkg xfxkexxxx，2224221xxfxkexxxke由题设可得00f，即1k，令0fx得12ln,2xk x, （6 分）若21ke，则120 x， 当12,xx时，0fx，当1,xx时，0fx，即 f（x）在12,xx单调递减，在1,x单调递增，故f x在1xx取最小值1f x，而21111