2019年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第2节简单几何体的表面积与体积学案文北师大版

1、若球为正方体的内切球，则2R=A第二节简单几何体的表面积与体积考纲传真了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.（对应学生用书第 95 页）基础知识填充1. 多面体的表（侧）面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积 是侧面积与底面面积之和.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱1圆锥圆台 If r /侧面展开图-ii11IIJ*1y1I侧面积公式S圆柱侧=2nrlzyS圆锥侧=nrlS圆台侧=n（ri+2）13.柱、锥、台和球的表面积和体积I、r J、名称几何体、表面积体积柱体（棱柱和圆柱）3S表面积=S侧+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆

2、锥S表面积=S侧+S底1V=护台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下V= （S上+S下+、/S上S下）h3球S=4nR43RR知识拓展1.正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为 3a2，体积为#a3.2.几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a,球的半径为R2若球为正方体的外接球，则2R= .3a；3若球与正方体的各棱相切，则2R= 2A.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a2+b2+c2.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 : 1,基本能力自测答案X（2）x（3）VV（教材改编）已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（b,

3、c,外接球棱长为a的正四面体，其内切球半径R内=a,外接球半径只外=1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“x”）锥体的体积等于底面面积与高之积.球的体积之比等于半径比的平方.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=2.A.1 cmB. 2 cmC. 3 cmS表= r = 2(cm).2小只2丄小2,nrl= nr+ nr2r=3nr=12n ,r=4,、-知.43.） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:（2015 全国卷I“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?墙角处堆放米（如图

4、 7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一:其意思为：“在屋内米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）1 斛米的体积约为 1.62 立方.(D.3cm图 7-2-14A. 14 斛C. 36 斛16 11B 设米堆的底面半径为r尺，则手r= 8，所以r=，所以米堆的体积为Vx-2n4314n长方体的顶点都在球O的球面上,长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.设球的半径为R则 2R= 32+ 22+ 12= 14.球O的表面积为S= 4nR= 4n X5. （2017 郑州质检）某几何体的三视图如图 7-2-

5、2 所示（单位：cm）,则该几何体的体积是3_ cm.【导学号：00090233】A ! A( IB. 22 斛D. 66 斛32022（斛）.故选 B.4. （2017 全国卷H）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O7t390（立方尺）.故堆放的米约有5主觇图左視图1JIL粗图图 7-2-2383323V=V正方体+V四棱锥=8 cm + - cm = cm . 33型分类突破I（对应学生用书第 96 页）|Hi|_简单几何体的表面积昭 （1）某几何体的三视图如图7-2-3 所示，则该几何体的表面积等于（）323由三视图可知该几何体是由棱长2 cm 的正方体与底

6、面为边长为 2 cm 的正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成,6111亠 L7主視图 左观图直角梯形斜腰长为.12+ 12= 2，所以底面周长为 4 + 2，侧面积为 4+ 2 .2+ 2+ 2 = 8 +2 2，两底面的面积和为2X1X(1 + 2) = 3.A. 8 + 2 2图 7-2-3B. 11+ 2 2C. 14+ 2 21江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图7-2-4 所示，则该几何体的表面(2018积是(D. 15|5n1、rr !*11h* % H.II* f if_ -区T2 JI -C. 48+2n(1)B (2)AB. 48 n该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直

7、角梯形， 如图所示.JF1 / 1LWi/怕视图左槪图【导学号：00090234】俯视图图7-2-4A. 48 +D. 482n(1)由三视图知,8所以该几何体的表面积为8+ 2 2 + 3 = 11 +2 2.(2)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为 2)，高为 5,2 2半球的半径是 1,那么该几何体的表面积为S= 2X2X2 + 2X4X5-nXl+ 2nX1= 48+n，故选 A.规律方法1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和.(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理.2 若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图

8、进行分析，从中发现几何体中 各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.变式训练 1 (1)(2016 全国卷川)如图 7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()9A. 18+36 5C. 90(2016 全国卷I)如图 7-2-6，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两B. 54 + 18 5D. 81A.17nC. 20nB. 18nD. 28n(1)B (2)A (1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为 (3X3+ 3X6+ 3X3.

9、5)X2= 54 + 18 5.故(2)由几何体的三视图可知，1该几何体是一个球体去掉上半球的 4,得到的几何体如图.设条互相垂直的半径.(选 B.10球的半径为R则孑nR一gX石nR=牙冗，解得R=2.因此它的表面积为nR+nR383384=17n.故选 A.简单几何体的体积(1)在梯形ABCDK/ABC=,AD/ BC BC= 2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为D. 2n(2017 全国卷H)如图 7-2-7 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何(1)C (2)B 过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD AD

10、所在直线旋转周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥而得到的，如图所示.由于V圆柱=nABBC=n X12X2= 2n,1212n7tffl目C. 42n则该几何体的体积为(体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,A.90nB. 63nD. 36n图 7-2-711V圆锥=n CEDE=3n I X(21)= y,12（2）法一：（割补法）如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面 虚线部分所得.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分. 由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体

11、积加上上部分圆柱体积的2，所以该几何体的体积V=n X32X4+n X32X6X1=63n.故选 B.12法二：（估值法）由题意，知V圆柱VV几何体VV圆柱.又V圆柱=n X3 X10= 90n,. 45n VV几何体V90n.观察选项可知只有 63n符合.故选 B.规律方法1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.面积和高易求）、分割法、补形法等方法进行求解.3 .若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.变式训练 2（1）（2018 唐山模拟）一个几何体的三视图如图 7-2-8 所示，则其体积为所以该几何体的体积V=V圆柱一V

12、圆7t5nT.2.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法（转换的原则是使底面13D. 2n +2（2016 天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图A.C.B. 2n +4147-2-9 所示(单位：m),则该四棱锥的体积为 _吊.【导学号：00090235】(2)由三视图知，四棱锥的高为3， 底面平行四边形的一边长为2,对应高为 1 ,积V=3sh=3x2X1X3=2.多面体与球的切、接问题(2016 全国卷川)在封闭的直三棱柱ABGABC1内有一个体积为V的球.若ABLBC,AB=6,BC=8,AA= 3,贝 UV的最大值是(此时 2r= 4 3，

13、不合题意.3由 2R= 3，即R= .439故球的最大体积V= 3nR=n.(1)A (2)2 该几何体为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积1X2X1X2+2n X12x2= 2 +n.故选 A.所以其体IH-A.C.B.D.32n3由AB丄分面相切，若球与三个侧面相切，设底面厶+ 8+10) r,贝 Ur= 2.6,BC=8,得AC=10,要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部ABC的内切圆的半径为r.则x6X8= x(6因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.左视图1215母题探究 1若本例中的条件变为“直三棱柱ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上”，若AB=3,A

14、C= 4,ABLAC AA= 12,求球O的表面积.解 将直三棱柱补形为长方体ABECA BEC,16则球O是长方体ABECABEQ的外接球, 所以体对角线BG的长为球O的直径.因此 2R=3 + 4 + 12 = 13,故$球=4nR=169n.母题探究 2若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,求该球的体积.解如图，设球心为 O,半径为r,9则在 RtAFC中，(4 r)2+ ( 2)2=r2,解得r=-,434,9 243n则球O的体积V球=nr=-n x =.334y16规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转

15、体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切 点” “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2 .若球面上四点P, A,B, C中PA PB PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可 构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.变式训练 3 (1)(2015 全国卷n)已知 A,B是球O的球面上两点，/AOB=90,C为该 球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为 36,则球O的表面积为()A.36nB. 64nC. 144nD. 256n(2)(2017 全国卷川)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()【导学号：00090236】(1)C (2)B (