05第五节隐函数的导数.

1、第五节隐函数的导数分布图示隐函数的导数例 3 例 1 例 4 例 2 例 5对数求导法例 6例 7 例 8 例 9由参数方程所确定的函数的导数例 10例 11 例 12 例 13 *相关变化率例 14 内容小结课堂练习习题 2-5内容要点一、隐函数的导数假设由方程 F(x,y)=O 所确定的函数为 y=y(x)，则把它代回方程 F(x,y)=O 中，得到 恒等式F(x,f(x)三0dydx 利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数是隐函数求导法.，这就二、 对数求导法：形如 y=u(x)v(x)的函数称为幕指函数.直接使用前面介绍的求导 法则不能求出幕指函数的导数，

2、对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后 在等式两边同时对自变量 x 求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数 求导法.三、参数方程表示的函数的导数设? x=?(t)? y=书(，)x= ?(t)具有单调连续的反函数 t=?-1(x),则变量 y 与 x 构成复合函数 dy关系 y 珂?1(x).且 dy=. dxdxdt例题选讲 隐函数的导数 例 1(E01)求由下列方程所确定的函数的导数.ysin x-cos(x-y)=0.解在题设方程两边同时对自变量 x 求导，得ycosx+sin? dydx+sin(x-y)? (1-dydx)=O整理得sin(x-y)-sinx解得dydx=

3、dydx=s in( x-y)+ycosx sin( x-y)+ycosxsin (x-y)-si nx.例 2 求由方程 xy-ex+ey=O 所确定的隐函数 y 的导数 解方程两边对 x 求导,y+xdydx-e+exydydx,dydxx=O. dydx=O解得 dydx=e-yx+eyx,由原方程知 x=O,y=O,所以dydx|x=O=e-yx+eyx=Oy=Ox=1.例 3 (EO2)求由方程 xy+Iny=1 所确定的函数 y=f(x)在点 M(1,1)处的切线方程.解在题设方程两边同时对自变量 x 求导，得y+xy+1yy=O 解得 y=-y2xy+1在点 M(1,1)处，yx

4、=1y=1= -121? 1+仁-12于是，在点 M(1,1)处的切线方程为y-1=-12(x-1)，即 x+2y-3=0.44 例 4 设 x-xy+y=1,求 y在点(0,1)处的值.解方程两边对 x 求导得 4x-y-xy+4yy=0,(1)33代入 x=0,y=1 得 yx=0y=1= 14;将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2-2y-xy+12y2(y)2+4y3y=0,14116 代入 x=0,y=1,yx=0y=1=得 y”x=0y=1二-.例 5 (E03)求由下列方程所确定的函数的二阶导数.y-2x=(x-y)l n( x-y).x-y)+(x-y)解 y-2=(1-y

5、)l n(12+ln(x-y)1-yx-y, y=1 +? 12+ln(x-y)1-y(代入 y) ? =-=-y=(y)= 22 2+ln(x-y) ? 2+ln(x-y)(x-y)2+ln(x- y)?=1(x-y)2+ln (x-y)3.对数求导法例 6 (E04)设 y=xsinx(x0),求 y.解等式两边取对数得两边对 x 求导得1yy=cosx? Inx+sinx? 1x, 1? sinx? sinx? cosx? lnx+? . y=y cosx? lnx+sinx? ? =xxx?例 7 (E05)设(cosy)x=(sinx)y，求 y.解在题设等式两边取对数 xlncos

6、y=ylnsinx 等 式两边对 x 求导，得In cosy-xs inycosy? y=ylnsinx+y ? cosysinx.解得y=ln cosy-ycotxxta ny+lnsinx.例 8 (E06)设 y=(x+1)x-1(x+4)e2x3,求 y.解等式两边取对数得ln y=l n(x+1)+13l n(x-1)-2l n(x+4)-x,上式两边对 x 求导得yy=1x+1+13(x-1)-2x+4-1, ? (x+1)x-1 ? 112+-1Ay=? ? . 2xx+13(x-1)x+4(x+4)e? ? 例 9 (E07)求导数y=x+xx+xx.解 y=x+ex In x

7、+exxx Inx,Ay=1+exlnx? (xlnx)+exxxlnxx ? (xlnx)=1+x(lnx+1)+xx-1xxxx(x) ? Inx+x ? (Inx) xx=1+x(l nx+1)+xxx(lnx+1)l nx+xx.参数方程表示的函数的导数例 10 (E08)求由参数方程？dy2t2? x=arctant? y=ln(1+t)2 所表示的函数 y=y(x)的导数.解 dy=dt=1+t dx1dxdt1+t=2t. 2例 11 求由摆线的参数方程？dy? x=a(t-sint)? y=a(1-cost)所表示的函数 y=y(x)的二阶导数.解 dyasintsint=dt

8、=(t工 2 厉n)dxdxa-acost1-costdtdydx22=d? dy? d? sint? d? sint? 1 ? = ? ? =dx? 1-cost? dt? 1-cost? dxdx? dx? dt11-cost? 1a(1-cost)=-1a(1-cost)2=-(t丰2n 氏 Z).? x=acos3t 例 12 求方程？表示的函数的二阶导数.3? y=asint dydy3as in tcost=dt=-ta nt,2dxdx3acost(-s int)dt2 解dydx22=ddx(dydx)=ddt(dydx)dxdt=(-ta nt)(acost)3=-sext-

9、3acos22ts in t=sec4t3asi nt.? x=t-t2例 13 (E09)求由参数方程？所表示的函数 y=y(x)的二阶导数.3y=t-t?dydy3t-1dt=dxdx2t-1dt22 解,dydx222d? dy? d? 3t-1?d? 3t-1? 1 ? = ? = ? = ? dxdx? dx? dx? 2t-1 ? dt? 2t-1? dt6t2-6t+2211-2t(2t-1)=-6t2-6t+23. (2t-1)例 14河水以 8米 3/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为 4000米,顶角为 120?的水槽，问水深 20 米时,水面每小时上升几米？解如图,V(t)=4000上式两