课标版模拟试卷理科数学试题

1、20XX 年课标版模拟试卷（1）理科数学试题本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷和答题卡交回参考公式： 柱体的体积公式VSh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积公式V1 Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的

2、高3标准差 s1 ( x1x ) 2( x2x )2( xnx)2 ，其中 x 为样本 x1 , x2 , xn 的平均数n一、选择题： 本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 设 i 为虚数单位，则复数i等于12i12iB12i12i12A555C5Di52p是555命题 p :xR, x11，则2A x R, x2 1 1B x R, x21 1C x R, x2 1 1D x R, x21 1223a(1,2)，b(0,1)，c(k,2)，若(a2b)c，则k已知A 2B 83C2D84一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的

3、正视图侧视图三视图如图所示，则该几何体的体积为A9B 10C1123D211俯视图第4题图5为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲 ， x乙 ，则下列说法正确的是A x甲x乙 ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B x甲x乙 ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C x甲x乙 ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D x甲x乙 ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛第 5题图yx6已知实数x, y 满足xy1 ，则目标函数z2xy 的最大值为y1A 3B1C 5D 627已知集合 Mx | x4 | x

4、 1|5 ， Nx ax 6 , 且 MN2,b, 则 a bA 6B 7C 8D 98 对于函数 yf ( x) ，如果存在区间m, n ，同时满足下列条件：f (x) 在 m, n 内是单调的；当定义域是 m, n 时， f (x) 的值域也是 m,n ，则称 m, n 是该函数的“和谐区间” 若函数f ( x)a11 (a0) 存在“和谐区间” ，则 a 的取值范围是ax15A (0,1)B (0, 2)D (1,3)C (, )22二、填空题： 本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题 5 分，满分30 分( 一) 必做题 (9 13 题)9yf ( x)是奇函数，当 x0 时，f

5、( x) = log2 x，则f ( f ( )的值等于已知函数1410已知抛物线x24 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ，则点 P 的横坐标是 _11函数 ysin xsinx的最小正周期为，最大值是312某学生在参加政、史、地0123三门课程的学业水平考试中，取得6244、3、2，PabA 等级的概率分别为125125555且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立 . 记为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望 E的值为 _.13观察下列不等式： 11； 112； 1113 ；,2262612则第 5个不等式为( 二 ) 选做题 (14 15 题，考生只能从中选做

6、一题)14（ 坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0) 且与直线方程为15（ 几何证明选讲 ）如图， M 是平行四边形ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过点 M 分别交 AD , AC 于点 E, F 若 AD3AE ，则 AF : FC（R ）垂直，则直线 l 极坐标3DCEFAMBl第15题图三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12 分）如图，在ABC 中， C 45，D为BC中点， BC 2.A记锐角 ADB且满足 cos 27 25（ 1）求 cos ；（ 2）求 BC 边上高的值CDB第16题图17（本

7、题满分 12 分）2n 1数列 an的前 n 项和为 Sn2，数列 bn是首项为 a1 ，公差为 d(d0) 的等差数列， 且 b1, b3 ,b11成等比数列（ 1）求数列a与 b的通项公式；nn（ 2）设 cnbn，求数列cn的前 n 项和 Tn an18（本题满分14 分）如图所示，已知AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，P且 AD1 DB ，点 C 为圆 O 上一点，且 BC3AC 3点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D，PDDB （ 1）求证： PACD ；（ 2）求二面角 CPB A 的余弦值BADOC第 18题图19（本题满分 14 分）每日的成本 C （

8、单位： 万元）与日产量 x（单位： 吨）满足函数关系式 C3 x ，某工厂生产某种产品，每日的销售额 S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3xkx 6)S5, (0x814,(x6)已知每日的利润 LS C ，且当 x2时， L3 （ 1）求 k 的值；（ 2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值20（本题满分14 分）设椭圆 x2y21( ab 0) 的左右顶点分别为 A( 2,0), B(2,0) ，离心率 e3a2b22过该椭圆上任一点P作 PQx 轴，垂足为 Q ，点 C 在 QP 的延长线上，且 | QP | | PC |（ 1）求椭圆的方程；（ 2）求动点

9、 C 的轨迹 E 的方程；（ 3）设直线 AC （ C 点不同于 A, B ）与直线 x 2 交于点 R ， D 为线段 RB 的中点，试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系，并证明你的结论21（本题满分 14 分）设 g( x)ex ， f ( x)gx (1)ag( x) ，其中 a,是常数，且01（ 1）求函数 f ( x) 的极值；（ 2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式ex11a 成立；x（3）设 1, 2R+，且 12 1，证明：对任意正数a1 ,a2 都有： a11 a221a12a2 20XX 年课标版模拟试卷（1）理科数学试题参考答案和评分标准一、选择题： 本大

10、题共8 小题，每小题5 分，满分40 分题号12345678答案ACBCDCBA二、填空题： 本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分9 110 411 2（2 分），3（3 分）12911111136122055230142sin()1（或2cos()1、cos3sin1）1: 41566 小题，满分 803三、解答题： 本大题共分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分 12 分）79解析：（ 1） cos22cos 21， cos2，2525(0,) ， cos3-5分25（ 2）方法一、由（ 1）得 sin1 cos24， CADADBC45 ，5

11、sinCADsin()sincoscossin24，4CD4AD10在 ACD 中，由正弦定理得：，sinCAD sinCCDsin C12 AD25，sinCAD2104则高 hADsin ADB 54 5方法二、 如图，作 BC边上的高为 AH在直角 ADH 中，由（ 1）可得 cosDB3AD，5则不妨设 AD5m, 则 DH3m, AH4m注意到C =45 ，则AHC 为等腰直角三角形，所以CD DH则 1 3m 4m所以 m1，即 AH417（本题满分 12 分）解析：（ 1）当 n2 ，时 aSS2n 12n2n ，nnn 1又 a1S121 12 2 21 ，也满足上式，所以数列

12、 an 的通项公式为 a2n nb1 a12 ，设公差为 d ，则由 b1 ,b3 , b11 成等比数列，得 (22d)22(2 10d ) ，解得 d0 （舍去）或 d3，所以数列 bn 的通项公式为bn3n1 （ 2）由（ 1）可得b1b2b3bn2 5 8Tna2a3an212223a12Tn2583n1122n1 ，22两式式相减得Tn23333n1，21222n 12n-9分-11分A-12分CD BH-8 分第16题图AH，-10分-12分-2分-3分-4分-5分-6分3n1-7分2n，-8分-11分31Tn 22(12n 1 )3n 153n 5，-12 分112n2n218（

13、本题满分14 分）解析：（） 法1：连接 CO ，由 3ADDB 知，点 D 为 AO 的中点，P又 AB 为圆 O 的直径， ACCB ，由3ACBC 知，CAB60 ，ACO 为等边三角形，从而CDAO -3分点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D ， PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ， PDCD ，-5分由 PDAOD得，CD平面 PAB ，又 PA平面 PAB ， PACD -6分（注：证明 CD平面 PAB 时，也可以由平面PAB平面 ACB 得到，酌情给分 ）法 2： AB 为圆 O 的直径， ACCB ，在 Rt ABC 中设 AD1，由 3ADDB ，3ACBC

14、得， DB3，AB4， BC23 ， BDBC3，则 BDC BCA ，BCAB2BCABDC ，即 CDAO -3分点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D ， PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ， PDCD ，-5分由 PDAOD得，CD平面 PAB ，又 PA平面 PAB ， PACD -6分法 3： AB 为圆 O 的直径， ACCB ，在 Rt ABC 中由 3AC BC 得，ABC30，设 AD1，由 3ADDB 得， DB3， BC23 ，由余弦定理得， CD 2DB 2BC 22DBBC cos303， CD2DB 2BC2 ，即 CDAO-3分点 P 在圆 O 所在

15、平面上的正投影为点D ， PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ， PDCD ，-5分由 PDAOD得，CD平面 PAB ，又 PA平面 PAB ， PACD -6分（） 法 1：（综合法）过点D作DEPB ，垂足为 E ，连接 CE -7分由（ 1）知 CD平面 PAB ，又 PB平面 PAB ，P CDPB ，又 DECDD ， PB平面 CDE ，又 CE平面 CDE ， CEPB ， -9分DEC 为二面角 CPBA 的平面角-10 分由（）可知 CD3，PDDB3 ，E（注：在第（）问中使用方法1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分） PB32，则 DEPD DB93 2，AD

16、BPB3 22O在 RtCDE 中， tan DECCD36，CDE3 232 cosDEC15，即二面角 CPBA 的余弦值为15 -14分55法 2：（坐标法）以 D 为原点， DC 、DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系-8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CDAB ，酌情给分）设 AD1，由3ADDB ，3ACBC得， PDDB3，CD3， D (0,0,0) ， C ( 3,0,0) ， B(0,3,0) ， P(0,0,3) ， PC( 3,0,3)，PB(0,3,3)， CD(3,0,0) ，由 CD平

17、面 PAB ，知平面PAB 的一个法向量为CD(3,0,0) -10分设平面 PBC 的一个法向量为n( x, y, z) ，则zn PC03x 3y0，令 y1，则 x3 ， z1，Pn PB，即03 y3z0 n (3,1,1)，-12分设二面角C PBA 的平面角的大小为，则 cosn CD5315 ， -13 分| n|CD|35二面角 C PBA 的余弦值为15 -14分ADOBy519（本题满分 14 分）C2xk2,0x6x解析：（）由题意可得： Lx-28，分11x, x6因为 x2时， L3，所以 322k2 .-4分解得 k18 .28-5分（）当0 x6时， L2 x18

18、x2 ，所以8（）1818（）18 -8分L 2 x8x18=2(8x)182 2 8 x8x18 688 x当且仅当 2(8x)18，即 x5时取得等号-10分8x当 x 6 时， L 11 x 5 -12 分所以当 x5时， L 取得最大值 6 所以当日产量为5 吨时，每日的利润可以达到最大值6 万元-14分20（本题满分14 分）解析：（ 1）由题意可得 a2 ， ec33 ，a， c b2a2c221 ，所以椭圆的方程为x2y214xx0x0x（ 2）设 C (x, y) ， P( x0 , y0 ) ，由题意得2y0，即y0，y1 x2又 x02y021，代入得 x2( 1 y) 2

19、1，即 x2y24 442即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2y24 -2分-4分-6分-8分（ 3）设 C (m, n) ，点 R 的坐标为 (2, t) ， A,C , R 三点共线，AC/ AR，而 AC(m2, n) ， AR (4, t ) ，则4nt (m2)， t4n，m 2点 R 的坐标为 (2, 4n) ，点 D 的坐标为 (2,2n) ，-10分m2m22nn2( m2) n2nmn直线 CD 的斜率为 km，m 2m24m24而 m2n24 ， m24 n2 ， kmnm ，-12分n2n直线 CD 的方程为ym(x)ny4 0 ，nm ，化简得 mxn44圆心 O 到直线 CD 的距离 d2r ，m2n24所以直线 CD 与圆 O 相切-14 分21（本题满分 14 分）解析：（ 1） f(x)g x(1)ag ( x) ，-1 分由 f ( x)0 得， g x (1) a g ( x) ， x(1) ax ，即 (1)( xa)0 ，解得 xa ， -3分故当 xa 时， f (x)0 ；当 xa 时， f ( x)0 ；当 xa 时， f ( x) 取极大值，但f ( x) 没有极小值 -4 分（ 2） ex11exx 1