福建省厦门市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

1、1 福建省厦门市 20202021 学年度第二学期高二年级质量检测数学试题满分： 150 分考试时间： 120 分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“ 准考证号、姓名、考试科目” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1

2、.复数z在复平面内对应的点为()3,6，则2iz -=（）a.3b.4c.5d.62.5 人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有（）a.24 种b.48 种c.72 种d.120 种3.52xx-展开式中含3x的项的系数为（）a.-10b.-5c.5d.104.某铁球在 0时，半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩， 铁球的半径会发生变化，且当温度为t时铁球的半径为()1dmat+，其中a为常数， 则在0t =时铁球体积对温度的瞬时变化率为（）（参考公式：343vr=球）a.0b. ac.43ad.4 a5.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，

3、而该校大约有20%的学生每天玩手机超过 1 小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（）a.0.125b.0.25c.0.375d.0.46.正四面体abcd中， m， n 分别为bc，ad的中点，则直线am与cn所成角的余弦值为a.13b.23c33d.237.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点o 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位。若质点移动6 次，则回到原点0 的概率为（）2 a.0b.14c.516d.588.已知函数( )lnfxxx=，( )24g xx=-，若( )( )12fxg x=，则21xx-的最

4、小值为（）a.e22-b.3e-c.e2-d.1二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0分 .9.随机变量()2,4xn，则（）a.( )2ex=b.( )2dx=c.()()41p xp xd.()()131p xp x+=10.已知函数( )yfx=的导函数( )yfx=的图象如图所示，则a.( )( )12fxfxb.( )( )32fxfxc.( )fx在(),a b内有 2 个极值点d.( )fx的图象在点0 x =处的切线斜率小于011.把 4 个编号为1，2，

5、3， 4的球放入4 个编号为1，2，3，4 的盒子中，则a.不同的放法有64 种b.每个盒子放一个球的不同放法有24 种c.每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有9 种d.恰有一个盒子不放球的不同放法有72 种12.在棱长为1 的正方体1111abcda b c d-中，点 e，f 分别足aeab=，bfbc=，其中0,1=，0,1，则a.当1=时，三棱锥11ab ef-的体积为定值b.当12=时，点 a，b 到平面1b ef的距离相等3 c.当12=时，存在使得1bd 平面1b efd.当=时，11a fc e三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .1

6、3.若3 i1iz-=+，则zz+=_.14.已知()1,0,0a，()0,1,0b，()0,0,1c，若点(),1,1p x在平面abc内，则x =_.15.由 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的三位数，其中偶数有_个.（用数字作答）16.函数( )e ,xxxafxxxa=， 当0a =时，( )fx零点的个数是_； 若存在实数0 x， 使得对于任意xr，都有( )( )0fxfx，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知函数( )32fxxaxb=+在2x =处有极值 -2.（1）求( )fx的解

7、析式；（2）求( )fx在2,3-上的最值 .18.（12 分）在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展.某公司为了解职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了 30 名职工，得到的部分数据如下表所示：愿意不愿意合计男性15女性710合计30（1）请将上述22列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为 “ 该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关 ” ；（2）为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2 名女职工的概率.附：22()()()()()n adbckab cdac bd-=+，其中nabcd=+.4 (

8、)20p kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82819.（12 分）如图，在三棱锥pabc-中，pbc是正三角形，acbc，d 是ab的中点 .（1）证明：bcpd；（2）若2acbc=，2 2pa =，求二面角dpac-的余弦值。20.（12 分）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12 组不同身高ix（单位： cm）的未成年男性体重的平均值iy（单位： kg） （1,2,12i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值。xy()1221iixx=-()()121iiixxyy=-()()121iiixx=-1152

9、4.3582.958143006300286表中()ln1,2,12iiyi=，121112ii =.（1）根据散点图判断yax b=+和cxdye+=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y与身高x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）。（2）根据（ 1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2 倍为偏胖， 低于 0.8 倍为偏瘦， 那么该地区的一位未成5 年男性身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？附：对于一组数据()11,u v，()22,uv， ，(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二乘

10、估计分别为()()()121?niiiniiuuvvuu=-=-，?vu=-，ln 20.693.21.（12 分）一个袋子中有10 个大小相同的球，其中有4 个白球， 6 个黄球，从中随机地摸4 个球作为样本，用x表示样本中黄球的个数，y表示样本中黄球的比例.（1）若有放回摸球，求x的分布列及数学期望；（2） （i）分别就有放回摸球和不放回摸球，求y与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2 的概率 .（ii）比较（ i）中所求概率的大小，说明其实际含义。22.（12 分）已知函数( )()()ln1fxxaxa a=+-r.（1）讨论( )fx的单调性；（2）若( )x afxxeax-+

11、，求a的取值范围 .高二数学试题参考答案及评分标准第1页（共 4 页）福建省厦门市 2020-2021学年度第二学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：1c 2 b3a 4d 5c 6d 7c 8a 二、多选题：9ad 10ac 11bc 12abd 三、填空题：132141-1552161，1,e-+四、解答题：17本题考查函数导数，极值， 最值等知识； 考查运算求解能力考查函数与方程、转化与化归等数学思想满分10 分解： （1）( )232fxxax=+， 1 分因为( )fx在2x =处有极大值2-，所以( )( )21240,2842,fafab=+=+= - 3 分

12、解得3a = -，2b =， 4 分经检验，3a = -，2b =符合题意，所以( )3232fxxx=-+ 5 分（ 2）由( )2360fxxx=-=，得0 x =或2x =， 6 分当x在2,3-上变化时，( )fx，( )fx的变化情况如下表：x2-()2,0-0()0,22()2,33( )fx+0-0+( )fx18-递增极大值2递减极小值2-递增2 8 分由表可得，当0 x =或3x =时，( )fx取得最大值2； 9 分当2x = -时，( )fx取得最小值18- 10 分18本题考查独立性检验、古典概型等知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力等；考查统计等数学思想满分12 分解

13、： （1）依题意，完善表格如下：愿意不愿意男性15520女性3710合计181230 2 分假设 h0：该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别无关， 3 分则2230(1573 5)=5.6256.63518 122010k-=， 5 分所以没有99%的把握认为该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关 6 分（ 2）记 “ 至少抽到2 名女职工 ” 为事件a， “恰好抽到2 名女职工”为事件b，“恰好抽到3 名女职工”为事件c， 7 分则abc=，且b与c互斥， 8 分又125731210521( )22044c cp bc=，37312357( )=22044cp cc=， 10 分高二数学试

14、题参考答案及评分标准第2页（共 4 页）则2177( )( )( )444411p ap bp c=+=+=， 11 分所以至少抽到2 名女职工的概率为711 12 分19本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角的大小等知识；考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想满分12 分证明： （1）设 bc 的中点为 o ，连 po ， od ，因为pbc是正三角形，所以pobc， 1 分又因为d是ab的中点，所以od ac ，因为 acbc，所以 odbc， 2 分又因为 odpoo=，所以 bc 平面 pod ， 3 分因为pd平面 pod ，所以

15、 bcpd 4 分（ 2）连接 oa ，因为2acbc=，在rtoac中，225oaacoc=+=，在正pbc中，223popcoc=-=，因为2 2pa =，所以222paaopo=+，所以pooa，又因为 pobc，且 aobco=，,ao bc平面 abc ，所以 po 平面 abc ， 6 分所以 od ， ob ， op 两两相互垂直如图，以 o 为原点， od ， ob ， op 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)a-，(1,0,0)d，(0,0,3)p，(0,1,0)c-，所以( 1,1,0)ad = -，(1,0,3)pd =-，( 2,0,0)ac

16、 = -，(0, 1,3)pc =-， 7分设平面pad的法向量为111(,)mxy z=，则111100300 xym adxzm pd-+=-=，取11z =，则113xy=，所以平面pad的一个法向量为( 3,3,1)m= 9 分设平面 pac 的法向量为222(,)nxyz=，则222200300 xn acyzn pc-=-=取21z =，则20 x =，23y = -，所以平面pac的一个法向量为(0,3,1)n=- 11 分则27cos,77 2m nm nm n=，所以二面角dpac-的余弦值为77 12 分20本题考查回归分析及其应用等知识；考查数据处理能力、运算求解能力；考

17、查数学建模和应用意识等满分12 分解： （1）根据散点图，选择模型ecxdy+=更适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y与身高x的回归方程类型 2 分（2）对ecxdy+=两边取对数得ln ycxd=+，则cxd=+， 3 分所以()()()1212121286?0.0214300iiiiixxxcx=-， 5 分所以?2.9580.02 1150.658dcx=-=-=， 7 分所以0.020.658exy+=. 8 分odpbcaxyz高二数学试题参考答案及评分标准第3页（共 4 页）（3）由ln 20.693，得0.693e2. 9 分令175x =，则()60.02 175 0.658

18、4.1586 0.6930.6936ee=e= e264y+=， 11分又641.2=76.878，所以该男生偏胖. 12 分21本题考查随机事件的概率、二项分布、超几何分布及数学期望等知识；考查运算求解能力和应用意识；考查统计等数学思想满分12 分解： （1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为35，且各次试验之间的结果是独立的，所以3(4,)5xb. 1 分x 的所有可能值为0,1,2,3,4，044216(0)( )5625p xc=，3143296(1)( )55625p xc=，224232216(2)( )( )55625p xc=，43332216(3)( )55625p xc=

19、，444381(4)( )5625p xc=， 4 分所以 x 的分布列为x01234p166259662521662521662581625 5 分312()455e x= 6 分（2）（ i）样本中黄球的比例为4xy =，由题意 |0.6 |0.24x-，解得1.63.2x，即 x 取 2，3， 8 分有放回摸球时，所求概率1216216432(2)(3)625625625pp xp x=+=+=； 9 分不放回摸球时，所求概率223164642441010381772121c cc cpcc=+=+= 10 分（ ii）由（i）可知，12pp，所以在误差不超过0.2的限制下， 用样本中黄

20、球比例估计总体黄球比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠些（其它结论合理也酌情给分） 12 分22本题考查函数的单调性、不等式证明等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查分类讨论思想、函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想满分12 分解法一：（ 1）函数( )f x 的定义域为( 1,)-+， 1 分1( )1fxax=+， 2 分当0a时，( )0fx，所以( )f x 在 ( 1,)-+上单调递增； 3 分当0a时，由( )0fx得111xa-；由( )0fx得11xa-，所以( )f x 在1( 1, 1)a-上单调递增，在1( 1,)a-+上单调递减，综上，当0a时，( )f x

21、 在 ( 1,)-+上单调递增；高二数学试题参考答案及评分标准第4页（共 4 页）当0a时，( )f x 在1( 1, 1)a-上单调递增，在1( 1,)a-+上单调递减 5 分（ 2）由题意得，eln(1)0 x axxa-+恒成立，设( )eln(1)x ah xxxa-=-+，则( )0h x恒成立，所以(0)0h，得0a. 6 分1( )(1)e1x ah xxx-=+-+，因为21( )(2)e0(1)x ahxxx-=+恒成立，所以( )h x在 ( 1,)-+单调递增 .1211()e2022ah-=-，1( )101h aaa=+-+，所以0( 1,)x-+，使得0()0h x=，即0001(+1)e01xaxx-=+，即002ln(1)xax-= -+， 8 分当