线性空间与线性变化学习教案

1、会计学1线性空间线性空间(kngjin)与线性变化与线性变化第一页，共99页。第一节 线性空间的定义与性质第2页/共98页第二页，共99页。一、线性空间(kngjin)的定义第3页/共98页第三页，共99页。定义1.设V 是一个非空集合，R 为实数域如果(rgu)对于任意两个元素,V，总有唯一的一个元素V与之对应，称为与的和，记作：=+ 若对于任一数R 与任一元素，总有唯一的一个元素V与之对应，称为与的积，记作= 如果(rgu)上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）第4页/共98页第四页，共99页。 (1) (2) ()()(3) (4)

2、(5) 1(6) ()()(7) ()(8) () VR0VV0VV0设 、， 、，对，都有，都有第5页/共98页第五页，共99页。说明:1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算2.向量空间中的向量不一定是有序数组3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质(xngzh)的任一条，则此集合就不能构成线性空间.第6页/共98页第六页，共99页。线性空间的判定方法:(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数(shsh)间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数(shsh)间的加乘运算

3、，则必需检验是否满足八条线性运算规律第7页/共98页第七页，共99页。., 1 .m nm nm nm nm nm nm nmnRABCADRQ实数域上的全体矩阵，对于矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作是一个例线性空间第8页/共98页第八页，共99页。1110110 . |,., 2.nnnnnnnnnP xP xpa xaxa xaa aa a R次数不超过 的多项式的全体记作，即：对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成实数域上的线性空间。通常的多项式加法、数乘多项式的乘法满足线性例运算规律。第9页/共98页第九页，共99页。1110111011111001110110(.

4、) (.)()() .()()(.). nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna xaxa xab xbxb xbab xabxab xaba xaxa xaa xaxaP x对加法和数乘都封闭。第10页/共98页第十页，共99页。11101101 . |,.,0000.00 3. nnnnnnnnnnnnnQ xpa xaxa xaa aa aRapxxxQ xQ xQ次多项式的全体且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间。对多项式的加法与数例乘运算不封闭。第11页/共98页第十一页，共99页。1211221122121211111 sin() , sin()sin()(sin

5、cos )(sincos )()sin()cossin() sin()( )sin.)4(S xsAxBA BRssAxBAxBaxbxaxbxaaxbbxAxBS xsAxBAxB正弦函数的集合对于通常的函数及 数乘函数的例乘构成线性空间。 S xS x是一线性空间。第12页/共98页第十二页，共99页。 , . 5a b在区间上个体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上例的线性空间。第13页/共98页第十三页，共99页。T1212T12 ( ,.,) | ,.,.,(0,0 .0) 6. 1nnnnnnnSx xxx xxx xxSSXRX0Q个有序实数组成的数组的全体

6、对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法：，不构成线性空间。虽然对运算封闭，但不满足第五条运算律。由于所定义的不是线性运算，所以不是线例性空间。第14页/共98页第十四页，共99页。 , 7 ( ,) . Rababaaa bRRRabRababRaRRaaR 正实数的全体，记作在其中定义加法及数乘运算为验证，对上述加法及数乘例运算构成线性空间。证明：、，对定义的加法与数乘运算封闭。第15页/共98页第十五页，共99页。111(1)(2) ()()() ()()(3) 1 11(4) 1ababbabaabcabcabca bcabcaabRaRaaaaRaRaaaa 下面来证明上述两种运算满

7、足八条运算规律：中存在零元素，对于任意有有第16页/共98页第十六页，共99页。1(5) 1(6) ()()() ()(7)()()()( ) ( ) ( )( )()()(8) ()()aaaRaRaaaaaababababababaaa aaaa 、，()a第17页/共98页第十七页，共99页。二、线性空间(kngjin)的性质1212121212121122121. , 2. , () 0 0VV000 0V0000000000000 000零元素是唯一的假设是线性空间 中的两个零元素，则对于，有：，由于 、负元素也是唯一的。设 有两个负元素证明：证明与 ，则：第18页/共98页第十八页

8、，共99页。3. 0 ( 1) . 0(10) 1 0 (1)(1 1) 0 (1)( 1) () () 0 QQ0000000证；明：第19页/共98页第十九页，共99页。4. 0 .11 0 ( )11 ( )() 1 0000000如果，则或假设又所以同理可证：若，则证明：第20页/共98页第二十页，共99页。定义2:设 V 是一个线性空间, L 是V 的一个非空子集，如果 L 对于V 中所定义的加法和乘数(chn sh)两种运算也构成一个线性空间，则称 L 为V 的子空间.定理:线性空间V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是：L 对于V 中的线性运算封闭三、线性空间(kngji

9、n)的子空间(kngjin)第21页/共98页第二十一页，共99页。2 312111 10(1) , ,000(2) 00, ,(1)100200,000000RbWb c dRcdababcWca b cRWWWABAB的下列子集是否构成子空间？为什么？不构成子空间。因为对有对矩阵的加法解：不封闭。例8.第22页/共98页第二十二页，共99页。222112212111222121212(2)000 000000000 0,00 00WWWababccabcabcaabbccQA BABAB构成子空间，非空，对于，设且有于是第23页/共98页第二十三页，共99页。111222121212211

10、1111111222 0,00 0 00 ()0 abcabcaabbccWkRkakbkkckakbkck abckWWW ABAA又，另一方面，对于，故又有即：对矩阵的加法与数乘是封闭的，是子空间。第24页/共98页第二十四页，共99页。 ?9.nRAxBR实数域上的 元非齐次线性方程组的所有解向量，对于通常的向量加法和数量乘法，是 否 构 成上的一个 线性空间 为什么例第25页/共98页第二十五页，共99页。第二节第二节 线性空间线性空间的基、维数与坐标的基、维数与坐标第26页/共98页第二十六页，共99页。已知：在 R n 中，线性无关(wgun)的向量组最多由 n 个向量组成，而任意

11、 n +1 个向量都是线性相关的。问题：线性空间的一个重要特征，在线性空间 V 中，最多能有多少线性无关(wgun)的向量？一、线性空间(kngjin)的基与维数 1 2 1 2 ,., :(1) ,3,.nnnV在线性空间中，如果存在 个元定素满足线义 ：性无关；第27页/共98页第二十七页，共99页。 1 2 1 2 1 2 (2) ,., ,., . ,., nnnnnnnnVVVVVV中任一元素都可被线性表示； 那么就称为线性空间 的一个基，称为线性 的维数。维数为的线性空间称为维线性空间，记为当一个线性空间中存在任意多个线性无关的向量时 ，称该线性空间是无限维的。若为线性空间的一个基

12、，则112212.,.,nnnnxxxx xxVR第28页/共98页第二十八页，共99页。二、元素(yun s)在给定基下的坐标 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2T 1 2 ,., ,., .,., ,.,(,)4.,nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV设是线性空间的一个基，对于任一元素总有且仅有一组有序数 ，使有序数组称为元素在这个基下的坐标，并记为定义 ：第29页/共98页第二十九页，共99页。241233445432432100112233445T012341 ,1, 4 (,)110 P xppx pxpxpxpa xa xa xa xapa pa pa pa

13、pa ppa a a a aq在线性空间中就是它的一个基。任何一个不超过 次的多项式可表示为因此在这个基下的坐标为：若取例另一基. .2323445,1,2,qx qx qxqx 则第30页/共98页第三十页，共99页。01112233445T0112341()2 1 (,)2paa qa qa qa qa qpaa aa a aV因此在这个基与的坐标为：线性空间 的任一元素在不同基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的。注注意意第31页/共98页第三十一页，共99页。12123(1)21123 1 ()() . ()Taylor( )( )( )() ( )( ) . (

14、)()2!(1)!( ) , ,., nnnnnnR xxaxaxaf xf afa xafaafxaxanf x 例11.在线性空间中，取一组基、，由公式可知：因此，在基下的坐标是：(1)( )( ) ( ( ),( ),.,)2!(1)!nfaaff afan第32页/共98页第三十二页，共99页。111221221211121232142234 1001 00000000 . 1001+EEEEkkkkkkkkVRVEEEE所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵有加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间，对于 中的矩阵有12 例第33页/共98页第三十三页，共99页。1112123214

15、2212341112212211122122111112122121222211122122111200 O00 0 (,kkkkkkkkaaaaaaaaaaEEEEEEEEAVAEEEEEEEEVA、线性无关。对于因此、为 的一组基； 在该组基下的坐标为 ：T2122,) .aa第34页/共98页第三十四页，共99页。12 ,., , . nnnnnnnnnnnnn VVRVRRVVVRR设是维线性空间的一组基在这组基下中的每个向量都有唯一确定的坐标而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间的对应就是到的一个映射。由于中的每个元素都有中的向量与之对应，同时中不同的向量的坐标不同，因

16、而对应中的不同元素。我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。三、线性空间(kngjin)的同构第35页/共98页第三十五页，共99页。 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 TT 1 2 1 2 111222 . . ,., (,.,) (,.,) ()+().() nnnnnnnnnnaaabbbaaab bbabababV这个对应的重要性表现在它与运算的关系上。设即向量 、在基下的坐标分别为和，则1122TT112212 . (,.,) (,.,)nnnnnkkakakakab ababka kaka于是和的坐标分别为和第36页/共98页第三十六页，共99页。 :, , .nnVR上式

17、表明 在向量用坐标表示后 它们的运算就归结为坐标的运算因而线性空间的讨论就归结为的讨论。下面更确切地说明这一点定义5.设U、V 是两个线性空间，如果它们(t men)的元素之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U 与V 同构。第37页/共98页第三十七页，共99页。 1 1 2 2 1 2 T 1 2 1 2 |. ,., (1) (,.13.,)(2) (,.,nnnnnnnnnVxxxxxxRnRVRxxxxx x维线性空间与维向量空间同构。因为：中的元素与中的元素 成一一对应的关系；例TT 1 2 TT 1 2 1 2 T1 2 )(,.,) (,.,)

18、(,.,) ( ,.,)nnnnnxyyyxxxyyykk x xx，则：第38页/共98页第三十八页，共99页。结论：数域P上任意(rny)两个n 维线性空间都同构。同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性。同维数的线性空间必同构。第39页/共98页第三十九页，共99页。同构的意义 在线性空间的抽象讨论中，无论(wln)构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。第40页/共98页第四十页，共99页。 3323212332341 12233443232

19、123334( )241 ( )2391 ( )65 ( )2575 (241) (2391) 14(65) .(2P xf xxxxfxxxxfxxxfxxxxk fk fk fk fk xxxkxxxk xxkx0求由中元素生成的子空间的例解令：维数。则：21234575)1212023 050 49670115 50 xxkkkk 0因此第41页/共98页第四十一页，共99页。121234312411 03 40 1 21 0 0 000 0 00( )( ) ( )( )( )( )2( )3 ( )2( ) ( )4( )f xfxf xfxfxfxfxf xfxfxf x AA设该

20、齐次方程组的系数矩阵为 ，则因此，线性无关，是，所生成子空间的基，该子空间的维数为 ，且有：2( )fx第42页/共98页第四十二页，共99页。第三节第三节 基变换与坐基变换与坐 标标 变变 换换第43页/共98页第四十三页，共99页。问题：在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关(wgun)的向量都可以作为V 的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的。那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？一、基变换(binhun)公式与过渡矩阵第44页/共98页第四十四页，共99页。121211112121212122221122,., ,.

21、,. .nnnnnnnnnnnnnppppppppp V设及是线性空间的两个基，且有此公式称为基变换公式。第45页/共98页第四十五页，共99页。111121212121222211221121111212222212. . . . .nnnnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppppppppppp由于第46页/共98页第四十六页，共99页。121211121212221212121212 ( ,.,)(,.,) . . . . ( ,.,)(,.,) ,., ,., nnnnnnnnnnnnPppppppPpppPPP 其中：在基变换公式中，矩阵称为由基到基的过渡矩阵。过渡矩阵 是可

22、逆矩阵。第47页/共98页第四十七页，共99页。12T 1 2 12T 1 2 1212TT1212 ,., (,.,) , ,., (,.,) ( ,.,)(,.,) ( , ,., ) ( , ,.,2. ) nnnnnnnnnxxxyyyPx xxPy yyV 设中的元素在基下的坐标为在基下的坐标为，若两个基满足：则：定定理理T1T1212T1212T1212 ( , ,., )( , ,., )(,.,) ( , ,., ) ( ,.,)( , ,., )nnnnnnory yyPx xxx xxy yy 证明： 二、坐标(zubio)变换公式第48页/共98页第四十八页，共99页。1

23、212T1212T1212T1212T121 ( ,.,)(,.,) ( ,.,)( , ,., ) (,.,) ( , ,., ) (,.,)( , ,., ) ( , ,., )( ,nnnnnnnnny yyy yyx xxx xxy P P P又因为即:T2T1T1212 ,., ) ( , ,., )( , ,., )nnnyyPy yyx xx P由于矩阵可逆，所以第49页/共98页第四十九页，共99页。33232123232343221232323412341234321234 2 121 1 21 2222 3152., (,)(,.,P xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

24、xxxx xx 在中取两个基及求坐标变换公式解示：将用表例321234,1) (,)(, ,1) x xxA B 其中第50页/共98页第五十页，共99页。112341234T1T12341234111112 02 121 211 1 1 3,1 1100 2 1 101111 2 2 2 (,) (,) ( )( )2 02 1 11111 1 1 3 20 2 1 11 2 2 2y y y yx x x xAB A BB AB AB A得坐标变换公式为：用矩阵的初等行变换求1 21 1 1100111第51页/共98页第五十一页，共99页。1112233441 0 0 0011 10 1

25、 0 01 11 0 0 0 1 000010 0 0 11111011 11 100 000111 11yxyxyxyxE B A所以第52页/共98页第五十二页，共99页。1212212121211122.1101 10112 , 1 21 121 1331221233VRxxyxyx 设，及，为线性空间的两个基，又设在基下的坐标为，由坐标变换公式可知在基、下的坐标为：坐标变换的几何意义例16.11 2211第53页/共98页第五十三页，共99页。 1 2 2 121 1 2 xyo 121 第54页/共98页第五十四页，共99页。 3323212343321234321234234122

26、4343 ,1,1, 23 ., () (1)(1) ()()() 100 .0017xxx xxP xxxk k k kk xk xxk xk xkkxkxkkxkkkkkkkkk 00证明是的一个基 并求多项式在这个基下的坐标设有使例证明：即：则有 123433230000,1,1kkkkxxx xxP x所以，线性无关，是的一个基。第55页/共98页第五十五页，共99页。23321234121323243442T23()(1)(1)0010 123223 (0 0 1 2)xxa xaxxa xaxaaaaaaaaaaaxx又令 则故 在这个基下的坐标为第56页/共98页第五十六页，共9

27、9页。第四节第四节 线性变换线性变换第57页/共98页第五十七页，共99页。 () ( ),().5TTABA BAB A设有两个非空集合 、 ，如果对于 中任一元素按照一定规则，总有 中一个确定的元素和它对应，那么，这个对应规则称为从集合 到集合 的变换 或映射 ，记作：或定义 . .映射 线性空间中向量之间的联系(linx)，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的一、线性变换的概念(ginin)第58页/共98页第五十八页，共99页。( ) ( ) ( )( )|( ).TTTTTTTTTA AAAAAB设，就说变换 把元素 变为 ，称为在变换下的象， 称为 在变换下的原象， 称为变换 的

28、原集，象的全体所构成的集合称为象集，记作，即显然，变换的概念是函数概念的推广第59页/共98页第五十九页，共99页。121212 (1), ()()()(2) (6.)( ) nmnmnnnmnmTTTTTkT kkTTVUVUVVRVU设、分别是实数域上的维和维线性空间，是一个从到的变换，如果变换满足：，有，有那么，就称为从到的线性变义换定。 第60页/共98页第六十页，共99页。(1) (2) , , ( ) . .mnnnnT A BTTTTUVVVV说明：线性变换就是保持线性运算性质的变换；一般用大写字母表示线性变换，或表示在变换下的象如果，那么是一个从线性空间到其自身的线性变换，称为

29、线性空间中的线性变换。下面主要讨论线性空间中的线性变换第61页/共98页第六十一页，共99页。33232103323210322321321323322 (1) 32 32()()() 18 . xDa xa xa xaxb xb xb xbxDa xa xaDb xb xbDD ab xab x PpPqPpqpqQ在线性空间中微分运算是一线性变换例1100233221122321321 ()()3()2() ()(32)(32)ab xabab xab xaba xa xab xb xbDDpq第62页/共98页第六十二页，共99页。32321023210000 () 32 (2) ( )

30、, . () ()(3) ( )1, . ()1 D kD ka xka xka xkaka xka xkakDTaTTabTTT kkakTTTTTppppqpqppppqp如果那么也是一个线性变换如果那么是一个变换，但不是一个线性变换这是因为1 12 ()TTTT qpqpq所以第63页/共98页第六十三页，共99页。cossin sincos, .cos sincossincossin sincossincoscos cossinsin c1 .o9xxTyyxOyTTxryrxxxyTyyxyrrr由关系式确定了平面上的一个变换说明的几何意义：解：记则例cos() s sinsinco

31、ssin() rrrT上式表明：变换把任一向量按逆时针方向旋转角。第64页/共98页第六十四页，共99页。() ( ). () ().20.EEEEEE kkkEVVV线性空间 中的恒等变换 或称单位变换：，是线性变换这是因为、恒有所以恒等变换是线性变换例第65页/共98页第六十五页，共99页。O O( ) O()OO , O()Okk0V00线性空间中的零变换 ：是线性变换。这是因为、恒有所以零变换是线性变换。例21. 第66页/共98页第六十六页，共99页。3212312331231232123123212312311223321122 ( ,)(,0) ( ,)( ,) ( ,)(,0)

32、 ( ,)(,0) ()(,) ()2,.T T x x xxxxTa a ab b bTT a a aa aaTT b b bb bbTT ab ab ababaRR在中定义变换 ：则不是一个线性变换。这是因为、例 32322123123,0 (,0)(,0) .abba aab bbTTT所以， 不是线性变换第67页/共98页第六十七页，共99页。11221122121212121. ( )()( )2. ., .3. ,.,.,.,.,4. () ()mmmmmmmmnnTTTkkkTkTk Tk TTTTTTTTT 00VV，若则若线性相关，则也线性相关。但若线性无关，不一定线性无关。

33、线性变换的象集是一线性空间的子空间 。该空间称为线性变换 T 的象空间。二、线性变换的性质(xngzh)第68页/共98页第六十八页，共99页。12121122121212111 ,(), ()() ()()()()nnnnnnnnnTTTTTTTkkTT kTTTVVVVVVVVV这是因为存在使所以有由于，又由上面的证明可知，它对中的线性运算封闭，是的子空间。 第69页/共98页第六十九页，共99页。 12 12121212 111 5. , . () () TnnTTTTTTnTTTTTTTTTT kkTk0SV0VSS000S0SSSVSV使的的全体是的子空间，称为线性变换的核若、，则，

34、即；又即因此，对线性运算封闭，又，是明故证： n的子空间。第70页/共98页第七十页，共99页。 11 12 1 21 22 212 1 2 T1 . (,.,). . . ( ) ( ) () . nnnnnnnniin innaaaaaaAaaaaaTTTRyxxA xxR设有阶矩阵其中，定义中的变换为：，则为线性变换例23 第71页/共98页第七十一页，共99页。 1 2 112212 T ()() ()()( ) ,., (). |,., nnnnnnTTTT kkkkTTTxxxx xxTabRabA abAaAbabaA aAaaRyRSAx0设 、，则又的象空间就是由所生成的向量

35、空间：的核就是齐次方程组证的明解空 ：.间第72页/共98页第七十二页，共99页。3 1 1 13 2 2 2 3 3 33 ( ) () ( ) 24. aaaaaaaaaxOyRRR设 是的一个变换，对任意，定义：试证明是的一个线性变换，并分析其几何意义。证明：略该变换的几何意义是： 将平面作为一面镜子，就例是 对于这面镜子反射所成的象。这个变换也。称为镜面变换或反射变换第73页/共98页第七十三页，共99页。第五节第五节 线性变换的线性变换的矩阵表示矩阵表示第74页/共98页第七十四页，共99页。 11 11 1 21 22 212 1 2T12 . (,.,). . .(,.,) (

36、) ( ) ()nnnnn nnniiininnaaaaaaaaaaaaTTTARyxxAxxR设阶矩阵其中，定义中的变换为：则 为线性变换。 一、线性变换的矩阵(j zhn)表示式第75页/共98页第七十五页，共99页。1211121212221112111212122212,.,.1.0 . . .0.0.0 . . .nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaae eeAeAeLL设为单位向量 1n 第76页/共98页第七十六页，共99页。12 ( ) (1,2,., ) ( )( ) ( ) (1,2,., ) ( )( ,.,) iiiiiinTinTTTTTin

37、TTAeexAxAeexe ee x即：因此，当一个线性变换有关系式时，那么 应以为列向量。反之，如果一个线性变换使那么 1 122 11 22 12(.) ( )().() ( ( ), (),., () nnnnnT xxxx Tx Tx TTTTeeeeeeeeexAx第77页/共98页第七十七页，共99页。1112121222121212 ( ) ().( ), (),., (). . .,.,nnnnnnnnnnTTaaaaaaTTTaaaRxAxxRAeeee ee中任何线性变换，可用关系式表示，其中为单位向量.综上所述，可知：第78页/共98页第七十八页，共99页。1211112

38、1212121222211221212,., ().(). .().(,.,) (), ()7.nnnnnnnnnnnnnnTTTaaaTaaaTaaaTTTVV定设 是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象为义：记： ,., ()nT 二、线性变换在给定(i dn)基下的矩阵第79页/共98页第七十九页，共99页。12121112121222121212 (,.,) (,.,). . . .,.,(), (),., ()nnnnnnnnnnTaaaaaaaaaTTTTAAAA那么上式可表示为：其中：那么， 就称为线性变换 在基下的矩阵.显然，矩阵 由基的象唯一确定的.

39、第80页/共98页第八十页，共99页。121212121 11 ,., ,., (,.,)(,.,) ( )()()nnnnnniiinniiiiiiTTTTxTTxx TAAV现在，假设是线性变换 在基下的矩阵，也就是说基在变换下的象为：那么，变换需要满足什么条件呢？对于，设，有 第81页/共98页第八十一页，共99页。T12 1 2 T12 1 2 T12 1 2 T12 1 2 ( (), (),., ()(,.,) (,.,) (,.,)(,.,)( ,.,)(,.,) (,., ) nnnnnnnnTTTxxxxxxxTxxxxxAA即：上式唯一的确定了一个线性变换 TAA，并且所确

40、定的线性变换是以 为矩阵的线性变换.以 为矩阵的线性变换由上式唯一确定.第82页/共98页第八十二页，共99页。 , . .nTTVAA由此可见在中取定一个基后由线性变换 可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵 也可唯一地确定一个线性变换在给定一个基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的：第83页/共98页第八十三页，共99页。T12 1 2 T12 1 2 12T 1 2 T 1 2 (,.,)(,.,)(,.,) (,.,),.,(,.,)(, ( )( ) ,.,) nnnnnnnxxxxxxxxxTTTxxxAA从关系式可知，在基下， 的坐标为的坐标为：所以有： ( )T A第84页/共98页

41、第八十四页，共99页。3231234211234212343123441234 , ,1, 30 300 20 020 10 00 00 000 0 0 0 . xxxxDDxDxDDD PppppppppppppppppppppppppA在中 取基求微分运算 的矩阵。所以， 在这组基下的矩阵为：解：例2503 0 0 00 2 0 00 0 1 0第85页/共98页第八十五页，共99页。 () 26. ( ( )( )( ) .nnnnxxnxxdf xf xf xxdxxRRRRRRRR实数域 上所有一元多项式的集合，记作，中次数小于的所有一元多项式 包括零多项式 组成的集合记作，它对于多

42、项式的加法和数与多项式的乘法，构成 上的一个线性空间。在线性空间中，定义变换，则由导数性质可以证明： 是上的一个线性变换，这个变换也称为变换微分例第86页/共98页第八十六页，共99页。2121221 1. (1)0 ( )1()2 .()(1),1.0 1 0 .00 0 2 .0 . . . .0 0 0 .10 0 0 .0nnnnnxxxxxxxxnxxxxnRA现在中取一组基 、 、 、，则、 、因此， 在基 、 、 、下的矩阵为：第87页/共98页第八十七页，共99页。3 o ()(1) (2) ( )1 0 0(1) ( )()() 0 1 0( )0 0 0.Tx yT xyz

43、xyTTTTTT Rijkijijkijijkiijji j ki j kk0Q在中， 表示将向量投影到平面的线性变换，即取基为 、 、 ，求的矩阵；取基为，求的矩阵。解：例27第88页/共98页第八十八页，共99页。( )(2) ( )( )1 0 1 ()() 0 1 10 0 0 TTTT ijijQ所以此例说明，同一个线性变换在不同的基下的矩阵一般是不相同的。第89页/共98页第八十九页，共99页。121212121 . . . . nnnnnnTVPVABBP AP上面的例子表明：那么这些矩阵之间有什么关系呢？线性空间取两个基、；、 、 ，由基、到基、的过渡矩阵为 ，中的线性变换这两个基下的矩阵依次为和，那么：定理3.同一线性变换在不同的基下有不同的矩阵，三、线性变换在不同(b tn)基下的矩阵第90页/共98页第九十页，共99页。121212121212121212 ( , ,., )(, ,., ) (, ,., )(, ,., ) ( , ,., )( , ,., ) (, ,., ) ( , ,., )