福建省福州市福建师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

1、- 1 - 福建师大附中2019-2020 学年上学期期中考试卷高一数学必修1 一、选择题 （每小题5 分，共 60 分；在给出的a,b,c,d 四个选项中， 只有一项符合题目要求）1. 能正确表示集合02mxxr和集合20nxxxr的关系的韦恩图的是（）a. b. c. d. 【答案】 b 【分析】根据题意，0n，1，而| 02mxrx剟，易得n是m的子集，分析选项可得答案【详解】200,102nxxxmxxrr，故选 b. 【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用venn图表示集合的关系，判断出m、n的关系，是解题的关键2. 设偶函数定义域为r，当0,x时，fx为增函数，则1 ,3fff的大

2、小关系为（）a. 31fffb. 13fffc. 31fffd. 13fff【答案】 d 【分析】由于fx为偶函数且当0,x时，fx为增函数， 故将1 ,3fff全部利- 2 - 用偶函数性质转换到0,x上再用单调性进行求解。【详解】因为fx为偶函数，故1 =1 ,3 =3ffff， 又因为当0,x时，fx为增函数，故13fff，故13fff，故选 d。【点睛】根据奇偶性与单调性求解函数大小关系时，可以将自变量的值转换到同一单调区间上进行分析。3. 设全集为r，集合2log1axx，21bx yx，则rabie（）a. 02xxb. 01xxc. 11xxd. 12xx【答案】 b 【分析】解

3、出集合a、b，再利用补集和交集的定义可得出集合rabie. 【详解】由2log1x，02x，02axx. 由210 x，得1x或1x，则11bx xx或，11rbxxe，因此，01abxxre，故选： b. 【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数不等式以及函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题. 4. 下列四组中，fx与g x表示同一函数的是（）a. fxx，2g xxb. fxx，2g xxc. 2fxx，3xg xxd. fxx，,0,0 xxg xxx【答案】 d 【分析】a项对应关系不同；b项定义域不同；c项定义域不同，初步判定选d - 3 - 【详解】对a，2=g

4、 xxx，与fxx对应关系不同，故a错对b，2g xx中，定义域0,x，与fxx定义域不同，故b错对c，3xg xx中，定义域0 x，与fxx定义域不同，故c错对d，fxx， 当0 x时，fxx， 当0 x时，fxx， 故,0,0 xxfxxx，d正确故选：d 【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）5. 函数211xfxxe图象的大致形状是（）a. b. c d. 【答案】 c 【分析】先由函数奇偶性，排除bd ；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】因为211xfxxe，xr所以222111111xxxxxxeeefxx

5、xxeee1122211( )1111xxxxxxeexxxxf xeeee，- 4 - 所以211xfxxe是偶函数，排除bd ；又当0 x时，22110111xe，所以2( )101xf xxe，当0 x时，2211011 1xe，所以2( )101xf xxe，故排除 d，选 c. 故答案为c 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型. 6. 函数521yxxx取得最小值时的x值为 () a. 51b. 2c. 5d. 51【答案】 b 【分析】将函数边形为51121yxxx利用双勾函数得到答案. 【详解】5511211yxxxxx设1(3)xt t5( )

6、1f ttt根据双勾函数性质在( 5,)上单调递增 . min( )(3)f tf当3t即2x时取最小值 . 故答案选b 【点睛】本题考查了双勾函数性质，属于常考题型. 7. 已知幂函数yfx的图象过点33,3，则21log2ff（）a. 22b. 2c. 2d. 12【答案】 b - 5 - 【分析】设afxx，将点33,3的坐标代入函数yfx的解 +析式，求出a的值，然后再计算出21log2ff的值 . 【详解】设afxx， 由题意可的3333af， 即1233a，12a， 则12fxx，所以，112211222f，因此，11122222111loglog 222222ffff，故选： b

7、. 【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解+析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 8. 对于一个声强为i为（单位：2/wm）的声波，其声强级l（单位：db）可由如下公式计算：010lgili（其中0i是能引起听觉的最弱声强），设声强为1i时的声强级为70db，声强为2i时的声强级为60db，则1i是2i的（）倍a. 10 b. 100c. 1010d. 10000【答案】 a 【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出12ii的值，可得出答案。【详解】由题意可得102010lg7010l

8、g60iiii，即1020lg7lg6iiii，两式相减得12lg1ii，所以，1210ii，- 6 - 因此，1i是2i的10倍，故选： a. 【点睛】本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题。9. 已知fx，g x分别是定义在r上的偶函数和奇函数，若12xfxg x，则1ga. 32b. 32c. 52d. 52【答案】 a 【分析】根据奇偶性可得12xfxg x，构造方程组求得g x解 +析式，代入1x即可求得结果 . 【详解】,fxg xq分别为r上的偶函数和奇函数12xfxgxf

9、xg x又12xfxg x111222xxg x1311422g本题正确选项：a【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到构造函数法求解函数解+析式、函数奇偶性的应用等知识 . 10. 若函数( )log (4)(0afxaxa且1a）在区间（ 0,2 ）上为减函数，则实数a的取值范围为（）a. 0 a1 b. 1 a2 c. 1 a2d. 12a1 【答案】 c 【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得a的取值范围 . - 7 - 【详解】注意到4yax为定义域上的的减函数，根据复合函数单调性同增异减可知1a，根据对数函数的定义域有1420aa，解得12a.

10、故选 c. 【点睛】本小题主要考查已知对数型复合函数单调性求参数，考查对数函数的定义域，属于中档题 . 11. 某地一天内的气温q t（单位：）与时刻t（单位：h）之间的关系如图所示，令c t表示时间段0,t内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则c t与t之间的函数图像大致是（）a. b. c. d. 【答案】 d - 8 - 【分析】根据题意，分析函数图像的特征，可得函数c t过原点，在0,4 , 8,12 , 20,24上，c t不断增大，在4,8上，c t先是一个定值，然后增大，在12,20上，c t是个定值，分析选项可得答案。【详解】 由题图看出，0t时，0c t，排除 b；

11、在0,4上，c t不断增大， 在4,8上，c t先是一个定值，然后增大，在812，上，c t不断增大，在1220，上，c t是个定值，在20,24上，c t不断增大，故选 d. 【点睛】本题考查函数图像与图像的变化，属于基础题。12. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆o的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆o的一个“太极函数” . 下列有关说法中正确的个数是（）个对圆22:1o xy的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；函数1fxx是圆22:11o xy的一个太极函数；存在圆o，使得11xxefxe是圆o的太极函数；直线

12、12110mxmy所对应的函数一定是圆222:210oxyrr的太极函数 . a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】 b 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. - 9 - 【详解】对于，如下图所示，若太极函数为偶函数，该函数平分圆o的周长和面积，错误；对于， 函数1fxx的图象是过圆22:11oxy圆心的一条直线，平分圆o的周长和面积，正确；对于，12121111xxxxxeefxeee，定义域为0 x x，关于原点对称. 11111111xxxxxxeeefxfxeeeq，该函数为奇函数. 当00 xx时，fx，当x时，11fxfx，此时函数yfx单调递减 . 当

13、00 xx时，fx，当 x时，11fxfx，此时函数yfx单调递减 . 函数yfx的图象关于原点对称，有三条渐近线1y，0 x. 可知函数11xxefxe对称中心为间断点，故不存在圆o使得函数11xxefxe满足题干条件，错误；对于，对于直线12110mxmy的方程，变形为210m xyxy，令2010 xyxy，得21xy，直线12110mxmy经过圆o的圆心，可以平分圆o周长和面积，正确. 因此，真命题的序号为. 故选： b. - 10 - 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题（每小题5 分，共 30 分）1

14、3. 分解因式：2356xxx_. 【答案】23x xx【分析】对代数式提公因式x，然后利用十字分解法可将代数式进行分解. 【详解】由题意可得322565623xxxx xxx xx. 故答案为：23x xx. 【点睛】本题考查代数式的因式分解，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知43 23xxy，当0,2x时，其值域是_ 【答案】3,74【分析】令2xt，因为0,2x，所以1,4t，得到函数223333()24ftttt，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案【详解】由题意，令2xt，因为0,2x，所以1,4t，则函数223333()24ftttt，所以当32t时，函数f t取得最小值，

15、最小值为33( )24f，当4t时，函数ft取得最大值，最小值为(4)7f，所以函数43 23xxy的值域为3,74，故答案为：3,74- 11 - 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题15. 已知23log 3log 7mn，试用mn、表示42log56_. 【答案】31mnmnm【分析】利用换底公式，可得23lg 3lg 7log 3log 7lg 2lg 3mn，两式相乘可得2log 7mn，将所求换底为2 计算即可 . 【详解】因为23log 3log 7mn，所以23lg 3lg 7log 3log

16、7lg 2lg 3mn，两式相乘可得，2lg 7log 7lg 2mn，2224222222log 56log 7log 833log56log 42log 6log 71+ log 3log 71mnmnmmn. 【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，属于中档题. 16. 设2,106,10 xxfxffxx，则5f_. 【答案】11分析】根据函数yfx的解 +析式逐步计算出5f的值 . 【详解】2,106,10 xxfxffxxq，5119151311fffffff. 故答案为：11. 【点睛】本题考查分段函数的函数值计算，解题时要结合自变量所满足的定义域选择合适的- 12

17、 - 解+析式进行计算，考查计算能力，属于中等题. 17. 如图， 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线1c、2c、3c依次为22logyx，2logyx，2logykx的图像， 其中k为常数，01k，点a是曲线1c上位于第一象限的点，过a分别作x轴、y轴的平行线交曲线2c分别于点b、d， 过点b作y轴的平行线交曲线3c于点c，若四边形abcd为矩形，则k的值是 _. 【答案】12【分析】设点2,2loga tt，其中1t，可求出点b、d的坐标，进一步求出点d的坐标，再将点d的坐标代入函数2logykx的解 +析式可求出实数k的值 . 【详解】 设点2,2loga tt，其中1t，设点2,2lo

18、gb xt、,d t y， 则222log2loglogxtyt，解得22logxtyt，所以，点22,2logb tt、2,logd tt，则点d的坐标为22,logtt，将点d的坐标代入函数2logykx的解 +析式， 得222loglogtkt，21k，解得12k. 故答案为：12. 【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点a的坐标计算出点d的坐标，考查计算能力，属于中等题. 18. 若max,a b表示a、b两数中的最大值，若max,xxtfxee关于2019x对称，则t_【答案】4038- 13 - 【分析】由于函数xye的图象关于y轴对称，函数x tye的图象关于直线xt对称

19、，可得知函数yfx的图象关于直线02tx对称，由此可求出t的值 . 【详解】由于函数xye的图象关于y轴对称，函数xtye的图象关于直线xt对称，则函数max,xxtfxee的图象关于直线02tx，则20192t，解得4038t. 故答案为：4038. 【点睛】本题考查分段函数的基本性质，考查函数对称性的应用，解题的关键就是确定所求函数的对称轴方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题（要求写出过程，共60 分）19. 按要求完成下列各题（1）求值71 log 222log2lg 5lg 4732 22（2）已知13xx，求1xx. 【答案】（1）2； （ 2）5. 【分析】

20、（1）利用对数的运算律、指数的运算律、对数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果；（2）在等式13xx两边平方，可求出22xx的值，由此可计算出21xx，从而得出1xx的值 . 【详解】（1）原式712222log 27log 22lg52lg 2222 11717221222；（2）13xxq，12229xxxx，则227xx. 12225xxxx，因此，15xx. - 14 - 【点睛】本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20. 已知集合121ax axa，01bxx. （1）若ba，求实数a的取值范围；（2）若abi，

21、求实数a的取值范围 . 【答案】（1）0,1； （2）1,2,2u. 【分析】（1）由题得1 0,21 1,121,aaaa,解不等式即得解； （2）对集合a 分两种情况讨论即得实数a的取值范围 . 【详解】（1）若ba，则1 0,21 1,121,aaaa,解得01a. 故实数a的取值范围是0,1. （2）当a时，有121aa，解得2a，满足abi. 当a时，有121aa，解得2.a又abqi，则有210a或1 1a，解得12a或2a，122a或2a. 综上可知，实数a的取值范围是1,2,2u. 【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

22、推理能力. 21. 函数fx是定义在r上的偶函数，当0 x时，221fxxx（1）求fx的函数解 +析式；- 15 - （2）作出g xfx的草图，并求出当函数h xg xm有6个不同零点时，m的取值范围【答案】（1）2221,021,0 xxxfxxxx； （2）1,2. 【分析】（1）设0 x，计算出fx的表达式，再由偶函数的定义得出函数yfx在0 x时的解+析式，从而可得出函数yfx在r上的解 +析式；（2）由0h x，得出mg x，将问题转化为当直线ym与函数yg x的图象有6个交点时，求实数m的取值范围，然后作出函数g xfx的图象，利用数形结合思想可求出实数m的取值范围 . 【详解

23、】（1）当0 x时，0 x，则222121fxxxxx，q函数yfx是定义在r上的偶函数，当0 x时，221fxfxxx. 因此，2221,021,0 xxxfxxxx；（2）由0h x，得出mg x，则问题等价于当直线ym与函数yg x的图象有6个交点时，求实数m的取值范围 . 作出函数ym与函数g xfx的图象如下图所示：由图象可知，当12m时，直线ym与函数yg x的图象有6个交点，- 16 - 此时，函数yh x有6个零点 . 因此，实数m的取值范围是1,2. 【点睛】本题考查偶函数解+析式的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问

24、题，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 22. 已知函数21xfxa（0a且1a） （1）函数fx是否过定点？若是求出该定点，若不是，说明理由（2）将函数fx的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位后得到函数g x，设函数g x的反函数为h x，求h x的解 +析式；（3）在（ 2）的基础上，若函数yh x过点4,2，且设函数yh x的定义域为1,4，若在其定义域内，不等式2262hh xxm h x恒成立，求m的取值范围【答案】（1）过定点2,2； （2）logah xx（0a且1a） ； （ 3）3,. 【分析】（1）在函数yfx的解 +析式中，令指数为零，可求出

25、该函数所过定点的坐标；（2）根据平移原则求出函数yg x的解 +析式，然后再根据同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质可得出函数yh x的解 +析式；（3）将点4,2代入函数yh x的解 +析式得出2a，令2log0,2tx，由2262hh xxm h x，得出22mtt，利用函数单调性求出函数22ytt在0,2t上的最大值，即可得出实数t的取值范围 . 【详解】 （1）21xfxaq（0a且1a） ， 令20 x， 得2x，0212fa. 因此，函数yfx的图象恒过定点2,2；（2）将函数yfx的图象向下平移1个单位， 得到函数2xya（0a且1a）的图象，- 17 - 再将所得函数的

26、图象向左平移2个单位，可得到函数xg xa（0a且1a）的图象 . 因此，logah xx（0a且1a） ；（3）由题意得4log 42ah，得24a，0aq且1a，2a，则2logh xx，当1,4x时，2log0,2h xx. 由2262hh xxm h x，得22222log2loglog6xxmx，即2222log22loglog6xxmx，令2log0,2tx，则不等式2226ttmt对任意的0,2t恒成立，22mtt对任意的0,2t恒成立，构造函数22ytt，其中0,2t. 则函数22ytt在区间0,2上单调递增，则该函数的最大值为max22232y，3m，因此，实数m的取值范围是3,. 【点睛】本题考查了指数图象恒过定点问题、反函数解+析式的求解以及对数型函数不等式在某区间上恒成立问题的求解，利用换元思想转化为二次不等式在区间上恒成立，并