复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：zxiy，, x y是实数 , re,imxzyz.21i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zxy；2）幅角 ：在0z时，矢量与x轴正向的夹角，记为arg z（多值函数） ；主值arg z是位于(,中的幅角。3）arg z与arctanyx之间的关系如下：当0,xargarctanyzx；当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；4）三角表示 ：cossinzzi，其中arg z；注：中间一定是“ +”号。5）指数表示 ：izz e，其中arg z。(二) 复数的运算1

2、.加减法 ：若111222,zxiyzxiy，则121212zzxxi yy2.乘除法 ：1）若111222,zxiyzxiy，则1212122112z zx xy yi x yx y；112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy。2）若121122,iizz ezz e, 则精品文档. 121212iz zz z e；121122izzezz3.乘幂与方根1）若(cossin )izziz e，则(cossin)nnninzzninz e。2）若(cossin )izziz e，则122cossin(0

3、,1,21)nnkkzziknnnl（有n个相异的值）（三）复变函数1复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集d变到w平面上的一个点集g的映射 .2复初等函数1）指数函数 ：cossinzxeeyiy，在z平面处处可导，处处解析；且zzee。注：ze是以2 i为周期的周期函数。 （注意与实函数不同）3）对数函数 ：ln(arg2)lnzzizk(0,1, 2)kl（多值函数）；主值 ：lnlnargzziz。 （单值函数）lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1lnzz；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bblnaae

4、a；(0)bblnzzez注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1bbzbz。4）三角函数 ：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizzsin ,coszz在z平面内解析，且sincos , cossinzzzz精品文档. 注：有界性sin1, cos1zz不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数,22zzzzeeeeshzchz；shz奇 函 数 ，chz是 偶 函 数 。,shz chz在z平 面 内 解 析 ， 且,shzchz chzshz。（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导 ：0fz=000limzfzzfzz；

5、2）区域可导 ：fz在区域内点点可导。2解析函数的概念1）点解析：fz在0z及其0z的邻域内可导，称fz在0z点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若( )f z在0z点不解析，称0z为fz的奇点 ；3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导 的充要条件 ：,fzu x yiv x y在zxiy可导,u x y和,v x y在,x y可 微 ， 且 在, x y处 满 足cd条 件 ：,uvuvxyyx此时，有uvfzixx。2函数解析的充要条件：,fzu

6、 x yiv x y在区域内解析精品文档. ,u x y和,v x y在, x y在d内 可 微 ， 且 满 足cd条 件 ：,uvuvxyyx；此时uvfzixx。注意： 若,u x yv x y在区域d具有一阶连续偏导数，则,u x yv x y在区域d内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v具有一阶连续偏导且满足cr条件时，函数( )f zuiv一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以,fzu x yiv x y形式给出，如第二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形

7、式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：1limnkkcnkfz dzfz，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质1）1ccfz dzfz dz（1c与c的方向相反）；2）,cccfzg z dzfz dzg z dz是常数；3） 若曲线c由1c与2c连接而成，则12cccfz dzfz dzfz dz。精品文档. 3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：cccfz dzudxvdyivdx udy； （常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()zz tt，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则( )cfz dz

8、f z tz t dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设fz在单连域b内解析，c为b内任一闭曲线，则0cfz dz?2复合闭路定理 ：设fz在多连域d内解析，c为d内任意一条简单闭曲线，12,nc ccl是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc ccl为边界的区域全含于d内，则cfz dz?1,knkcfz dz?其中c与kc均取正向；0fz dz?，其中由c及1(1,2,)cknl所组成的复合闭路。3 闭路变形原理： 一个在区域d内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在d内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。4解

9、析函数沿非闭曲线的积分： 设fz在单连域b内解析，g z为fz在b内的一个原函数， 则212112(,)zzfz dz g zg zz zb说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式 ：设fz在区域d内解析，c为d内任一正向简单 闭 曲 线 ，c的 内 部 完 全 属 于d，0z为c内 任 意 一 点 ， 则精品文档. 002cfzdzifzzz?6高阶导数公式 ：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为0102(1,2)()!nncfzidzfznzznl?其中c为fz的解析区域d内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属

10、于d。7重要结论 ：12,010,0()ncindznza?。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法1）若fz在区域d内处处不解析，用一般积分法cfz dzf z tz t dt2）设fz在区域d内解析，c是d内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，0cfz dz?c是d内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有2121zczfz dzfz dzf zf z3）设fz在区域d内不解析曲线c内仅有一个奇点：0001022()!cnncfzdzi fzzzfzidzfzzzn?（( )f z在c内解析）曲线c内有多于一个奇点：cfz dz?1knkcfz dz

11、?（ic内只有一个奇精品文档. 点kz）或：12re ( ),nkkcfz dzis f z z?（留数基本定理）若被积函数不能表示成1()nofzzz，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数 的概念： 若二元实函数( ,)x y在d内有二阶连续偏导数且满足22220 xy，( ,)x y为d内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数( )f zuiv不一定是解析函数；但是若,u v如果满足柯西黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 已知解析函数fz的实部或

12、虚部， 求解析函数fzuiv的方法。1）偏微分法 ：若已知实部,uu x y，利用cr条件，得,vvxy；对vuyx两边积分，得uvdyg xx（*）再对（ *）式两边对x求偏导，得vudygxxxx（*）由cr条件，uvyx，得uudygxyxx，可求出g x；精品文档. 代入（ *）式，可求得虚部uvdyg xx。2） 线 积 分 法 ： 若 已 知 实 部,uu x y， 利 用cr条 件 可 得vvuudvdxdydxdyxyyx，故虚部为00,x yxyuuvdxdycyx；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中00,xy与, x y是解析区域中的两点。3）不定积

13、分法 ：若已知实部,uu x y，根据解析函数的导数公式和cr条件得知，uvuufziixyxy将此式右端表示成z的函数u z，由于fz仍为解析函数，故fzu z dzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列nnnaib（1,2nl）收敛于复数abi的充要条件为lim,limnnnnaabb（同时成立）2）复数列n收敛实数列,nnab同时收敛。2复数项级数1）复数项级数0()nnnnnaib收敛的充要条件是级数0nna与0nnb同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim0nn。精品文档. 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛

14、散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念 ：表达式00()nnnczz或0nnnc z为幂级数。2幂级数的敛散性1） 幂级数的收敛定理阿贝尔定理 (abel)： 如果幂级数0nnnc z在00z处收敛，那么对满足0zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz的一切z，级数必发散。2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外， 发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果1lim0nnncc，则收敛半径1r；根值法lim0nnc，则收敛半径1r；如果0，则r；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则

15、0r；说明仅在0zz或0z点收敛；注： 若幂级数有缺项时， 不能直接套用公式求收敛半径。 （如20nnnc z）3幂级数 的性质1） 代 数 性 质 ： 设00,nnnnnna zb z的 收 敛 半 径 分 别 为1r与2r， 记12min,rr r，精品文档. 则当zr时，有000()nnnnnnnnnnabza zb z（线性运算）01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba bzl（乘积运算）2）复合性质 ：设当r时，0nnnfa，当zr时，g z解析且g zr，则当zr时，0nnnf g za g z。3）分析运算性质 ：设幂级数0nnna z的收敛半径

16、为0r，则其和函数0nnnfza z是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可 逐项求导，收 敛半径不变； 且10nnnfzna zzr在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnafz dzznzr（十一） 幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数fz在圆域0zzr内解析，则在此圆域内fz可以展开成幂级数000!nnnfzfzzzn； 并且此展开式是唯一的。注：若fz在0z解析，则fz在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0rza；其中r为从0z到fz的距0z最近一个奇点a之间的距离。精品文档. 2常用函数在00z的泰勒展开式1）23011!2!3!nznnzzzezznnllz2）20111

17、nnnzzzzzll1z3）3521210( 1)( 1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnllz4）24220( 1)( 1)cos1(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznnllz3解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出01!nncfzn，于是00nnnfzczz。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数 的概念：0nnnczz，含正幂项和负幂项。2洛朗展开定理：设函数fz在圆环域102rzzr内处处解析，c为圆环域内绕0z的任意一条正向简单闭曲

18、线，则在此在圆环域内，有0nnnfzczz，且展开式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设fz在0rzzr内解析，c为0rzzr内的任何一条正向简单闭曲线，则12cfz dzic?。其中1c为( )f z在0rzzr内洛朗展开式中01zz的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系精品文档. 数。（十三）孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义：fz在0z点不解析 ,但在0z的00zz内解析。2。孤立奇点的类型：1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含0zz的 负 幂 项 ；201020fzcczzczzl

19、2）极点 ：展开式中含有限项0zz的负幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccfzcc zzczzzzzzzzll0,()mg zzz其中1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzczzll在0z解析，且00,1,0mg zmc；3）本性奇点 ：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；1010000()()()()mmmmccfzcc zzczzzzzzllll（十四） 孤立奇点的判别方法1可去奇点：00limzzfzc常数；2极点：0limzzfz3本性奇点：0limzzfz不存在且不为。4零点与极点的关系1） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的

20、 解 析 函 数fz， 如 果 能 表 示 成0()mfzzzz，其中z在0z解析，00,zm为正整数，称0z为fz的m级零点；2）零点级数判别的充要条件精品文档. 0z是fz的m级零点000,(1,2,1)0nmfznmfzl3） 零点与极点的关系：0z是fz的m级零点0z是1fz的m级极点；4）重要结论若za分别是z与z的m级与n级零点，则za是zgz的mn级零点；当mn时，za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的nm级极点；当mn时，za是zz的可去奇点；当mn时，za是zz的l级零点，min(, )lm n当mn时，za是zz的l级零点，其中( )lm n（十五）留数的概念1留数

21、 的定义： 设0z为fz的孤立奇点，fz在0z的去心邻域00zz内解析，c为该域内包含0z的任一正向简单闭曲线，则称积 分12cfz dzi?为fz在0z的 留 数 （ 或 残 留 ）， 记 作0re ,s fzz12cfz dzi?2留数的计算方法若0z是fz的孤立奇点， 则0re ,s fzz1c， 其中1c为fz在0z的去心邻域内洛朗展开式中10()zz的系数。1）可去奇点处的留数：若0z是fz的可去奇点，则0re ,s fzz0精品文档. 2）m级极点处的留数法则 i若0z是fz的m级极点 ，则0re ,s fzz01011lim()(1)!mmmzzdzzfzmdz特别地，若0z是f

22、z的一级极点，则0re ,s fzz00lim()zzzzfz注： 如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则 ii 设p zfzq z，,p zq z在0z解析，00,p z000,0q zq z，则000re ,p zp zszq zqz（十六） 留数基本定理设fz在区域d内除有限个孤立奇点12,nz zzl外处处解析，c为d内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则12re ,ncnfz dzis fzz?说明： 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念精品文档. (

23、 )( )( )jwtf f tf t edtf w11()()( )2jtfffedf t二、几个 常用函数的傅里叶变换1 ( )f e tj1 ( )()f u tj ( )1ft12()f三、傅里叶变换的性质位移性（时域） ：00()jwtf f tte( )f f t位移性（频域） ：000( )( )()j w tww wf ef tf wf ww位移性推论：0001sin( )()()2fw t f tf wwf wwj位移性推论：0001cos( )()()2fw t f tf wwf ww微分性（时域） ：( )()()f ftjw f w（,( )0tf t） ，( )( )()()nnf