重庆市中考数学试题分类解析专题10：四边形

1、重庆市中考数学试题分类解析汇编（12 专题）专题 10：四边形一、选择题1. （重庆市2001 年 4 分） 已知：如图，在矩形abcd中， bc 2，ae bd ，垂足为e，bae30，那么 ecd 的面积是【】a32 b 3 c 23 d 332. （重庆市2002 年 4 分） 已知：如图ab/cd，aedc ，ae=12 ，bd=15 ，ac=20 ，则梯形abcd 的面积是【】a 130 b 140 c 150 d 160 【答案】 d。【考点】 梯形的面积，平行四边形的判定和性质，勾股定理，化归思想的应用。【分析】 此题的关键是作辅助线，作好辅助线后将梯形的面积转化为与直角三角形的

2、面积相等：3. （重庆市2003 年 4 分） 已知，如图，梯形abcd中，ad bc ，b=45 ， c=120 ，ab=8 ，则 cd的长为【】a8 63 b46 c8 23 d4 2【答案】 a。4. （重庆市2004 年 4 分） 如图，在菱形abcd 中， bad 800，ab的垂直平分线交对角线 ac于点 f，e为垂足，连结df，则 cdf等于【】 a、800 b、 700 c、650 d、600【答案】 d。5. （重庆市2004 年 4 分） 已知任意四边形abcd中，对角线ac 、bd交于点 o，且 abcd ，若只增加下列条件中的一个： ao bo ；ac bd ；aodo

3、ocbo； oad obc ，一定能使baccdb成立的可选条件是【】 a、 b、 c、 d 、【答案】 d。【考点】 全等、相似三角形的判定和性质，平行的判定，圆周角定理。【分析】 根据全等、相似三角形的判定和性质来综合分析，逐条排除即可：由 ao=bo ，只能得出 aob 为等腰三角形，不一定能使bac= cdb 成立。ac=bd ，再由 ab=cd ， bc=bc ， 可证 abc dcb ， 则bac= cdb ，能使 bac= cdb成立。aodoocbo，再由aod= cob ，可证ad bc，可推出 abcd 等腰梯形，一定能使bac= cdb成立。 oad= obc ，a， b

4、，c ，d四点共圆，一定能使 bac= cdb 成立。故选 d。6. （重庆市大纲卷2005 年 4 分）顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是【】 a、平行四边形 b、矩形 c、菱形 d、正方形7. （重庆市2010 年 4 分）已知：如图，在正方形abcd 外取一点 e，连接 ae、be 、 de过点 a作 ae 的垂线交de于点 p若 ae ap 1，pb 5 下列结论：apd aeb ；点 b到直线ae的距离为2 ； eb ed ； sapdsapb16 ； s正方形 abcd46 其中正确结论的序号是【】 a b c d【答案】 d。【考点】 正方形的性质，全等三角形的判定，勾

5、股定理。【分析】 eab+ bap=90 ， pad+ bap=90 ， eab= pad 。又 ae=ap ，ab=ad ， apd aeb （ sas ）。故成立。 apd aeb ， apd= aeb 。又 aeb= aep+ bep ， apd= aep+ pae ， bep= pae=90 。eb ed 。故成立。过 b作 bf ae ，交 ae的延长线于f，ae=ap ，eap=90 ， aep= ape=45 。又中eb ed ， bf af， feb= fbe=45 。又22bebppe523， bf=ef=62。故不正确。二、填空题1. （重庆市2001 年 4 分） 已知：

6、如图，在正方形abcd 中， f 是 ad的中点， bf与 ac交于点 g ，则 bgc与四边形cgfd 的面积之比是 【答案】 6：5。【考点】 正方形的性质，三角形的面积。【分析】 设正方形的边长是a，可分别求得 bfc ，abc ，afg 的面积，从而可求得四边形 cgfd 的面积，则不难求 bfc 与四边形cgfd 的面积之比：f 是 ad的中点， af=12ad=12bc。设正方形的边长是a，则 bfc的面积和 abc 的面积都是21a2，af=1a2。22abf11saaa24，fg1bg2。2afgafb11ssa312。2222cgfd115saaaa21212四形边。 bfc

7、与四边形cgfd 的面积之比是6： 5。2. （重庆市2003 年 4 分）如图：正方形abcd中，过点 d作 dp交 ac于点 m 、交 ab于点 n，交 cb的延长线于点p，若 mn=1 ，pn=3 ，则 dm的长为 3. （重庆市2004 年 4 分） 如图，平行四边形abcd 中， m是 bc的中点，且am 9， bd12，ad 10，则该平行四边形的面积是 。【答案】 72。【考点】 平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】 如图，设am与 bd相交于点o。由平行四边形abcd 可知 ad bc ， aod mob 。又bm=12ad ，obombm1od

8、oaad2。在 bom 中， mo=3 ，ob=4 ，bm=5 ， bom是直角三角形。sbom=12?ob?om=6。又sbom：sabo=om ：oa=1 ：2，sabo=12。sabm=18 。m 是 bc的中点，s?abcd=4sabm=72。4. （重庆市课标卷2005 年 3 分） 如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 的可活动菱形衣架若墙上钉子间的距离ab bc15 ，则度5. （重庆市课标卷2005 年 3 分）如图，在等腰梯形abcd 中，ad bc ， ac 、bd相交于点o ，有如下五个结论： aod boc ；dac dca ；梯形 abcd是轴对称图形；ao

9、b aod ；ac bd 请把其中正确结论的序号填写在横线上【答案】 。【考点】 相似三角形的判定，等腰梯形的性质，全等三角形的判定。【分析】 采用排除法，以各个结论进行验证从而得出正确的结论：正确，可以根据对应角相等，对应边对应成比例从而得到两三角形相似。不正确。正确，根据等腰梯形的性质。不正确。正确，根据等腰梯形的性质。所以正确的结论有。6. （重庆市2008 年 3 分）如图， 在abcd 中，ab=5cm ，bc=4cm ，则abcd 的周长为 cm. 三、解答题1. （重庆市2001 年 10 分） 已知：如图，在矩形abcd中，正为 ad的中点， ef上 ec交 ab于 f，连结

10、fc（ ab ae ）（1）aef与efc是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设abbck，是否存在这样的k 值，使得 aef bfc 若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由【答案】 解：（ 1）相似。证明如下：如图延长 ef与 cd的延长线交于点g。在 rtaef与 rtdeg中，e 是 ad的中点， ae ed ，aef deg ，afe dge （ asa ）。 ef eg ，即 e 为 fg的中点。又ce fg ， fc gc 。 cfe g 。afe efc 。又 aef与efc均为直角三角形， aef efc 。2. （重庆市大纲卷2005

11、年 7 分） 如图，平行四边形abcd 中，ae bd ，cf bd ，垂足分别为 e、f，求证： bae dcf 。【答案】 证明：四边形abcd是平行四边形， ab cd 且 ab cd 。abe cdf 。又ae bd ，cf bd ，aeb cfd 900。rtabe rtcdf （ aas ）。bae dcf 。【考点】 平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】 要证 bae dcf 只要证得 abe cdf 即可，根据平行四边形的性质和已知的ae bd ，cf bd 即可由 aas证得。3. （重庆市大纲卷2005 年 10 分） 已知四边形abcd中， p是对角线bd上

12、的一点，过p作mn ad ，ef cd ，分别交ab 、 cd 、ad 、bc于点 m 、n 、 e、f，设apm pe ，bpn pf ，解答下列问题：（1）当四边形abcd是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当四边形abcd 是平行四边形， 且a为锐角时， 见图 2， （1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（ 2）的条件下，设bppdk，是否存在这样的实数k，使得peamabd49ss平行四形边？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由。【答案】 解：（ 1）a=b。理由如下：abcd 是矩形， mn ad ，ef c d。四边形 peam 、

13、pncf 也均为矩形。a=pm?pe=s矩形 peam，b=pn?pf=s矩形 pncf。又bd是对角线， pmb bfp ，pde dpn ，dba dbc 。s矩形 peam=sbdaspmbspde， s矩形 pncf=sdbcsbfpsdpn，s矩形 peam=s矩形 pncf，a=b。（2）成立，理由如下：abcd 是平行四边形， mn ad ，ef cd ，四边形 peam 、pncf 也均为平行四边形。根据（ 1）可证 s平行四边形 peam=s平行四边形pncf。过 e作 eh mn于点 h，则 sin mpe=ehpe，即 eh=pe?sin mpe 。s平行四边形peam=

14、pm?eh=pm?pesinmpe 。同理可得 s平行四边形pncf=pn?pfsin fpn 。又 mpe= fpn= a，sin mpe=sin fpn 。pm?pe=pn?pf。即a=b。【考点】 矩形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数定义。【分析】 （1）当四边形abcd 是矩形时，对角线bd把矩形 abcd分成两个全等三角形，即sabd=sbcd，又 mn ad ，ef cd ，所以四边形mbfp 和四边形pfcn均为矩形，即smbf=sbfp，sepd=snpd，根据求差法，可知s四边形 ampe=s四边形 pfcna，即 a=b。（2）（ 1）的方法同时也适用于第二问。

15、（3）由（ 1）（ 2）可知，任意一条过平行四边形对角线交点的直线将把平行四边形分成面积相等的两部分，利用面积之间的关系即可解答。4. （重庆市2006 年 10 分） 如图，在梯形abcd 中， ab/dc，bcd=90，且 ab=1 ，bc=2 ，tan adc=2.（1）求证： dc=bc ；（2）e是梯形内的一点，f 是梯形外的一点，且 edc= fbc ，de=bf ，试判断 ecf 的形状，并证明你的结论；（3）在（ 2）的条件下，当be:ce=1:2，bec=135时，求 sin bfe的值。（3）设 be=k ，则 ce=cf=2k ，ef2 2k。bec135，cef45，b

16、ef90。22bfk(2 2k)3k。k1sinbfe=3k3。【考点】 梯形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （1）过 a作 dc的垂线 am交 dc于 m ，根据矩形的判定和性质和锐角三角函数定义可证。（2）由 sas证明 dec bfc ，可知ce=cf ，ecd= bcf ；由角的转换可得 ecf =900。（ 3） 设be=k， 根 据 勾 股 定 理 可 得bf3k， 根 据 锐 角 三 角 函 数 定 义 可 得k1sinbfe=3k3。5. （重庆市2008 年 10 分） 已知：如图，在梯形abcd

17、中，ad bc ， bc=dc ，cf平分 bcd ，df ab ， bf的延长线交dc于点 e。求证：（ 1）bfc dfc ；（ 2） ad=de 【考点】 梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 cf平分 bcd可知 bcf= dcf ，然后通过sas就能证出 bfc dfc 。（2）要证明ad=de ，连接 bd，证明 bad bed 则可 ab df? abd= bdf ，又bf=df ? dbf= bdf， abd= ebd， bd=bd ， 再 证 明 bda= bdc 则 可 ， 容 易 推 理bda= dbc= bdc 。6

18、. （重庆市2009 年 10 分）已知：如图， 在直角梯形abcd 中，ad bc ，abc=90 ， de ac于点 f，交 bc于点 g ，交 ab的延长线于点e，且 ae=ac （1）求证： bg=fg ；（2）若 ad=dc=2 ，求 ab的长【考点】 直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30 度角直角三角形的性质。【 分 析 】 （ 1 ） 由 直 角 梯 形 的 性 质 ， 通 过aas 证 明abcafe和hl 证 明abgafgrtrt即可得出结论。（2）根据等腰三角形三线合一的性质和含30 度角直角三角形的性质即可求。7.（重庆市2010 年 10

19、分） 已知：如图，在直角梯形abcd 中， ad bc ， abc 90点e是 dc 的中点，过点e作 dc的垂线交ab于点 p，交 cb的延长线于点m 点 f 在线段 me上，且满足 cf ad ， mf ma （1）若 mfc 120，求证： am 2mb ；（2）求证： mpb 9012fcm 【考点】 直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30 度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，三角形内角和定理。【分析】 （1）连接 md ，由于点e是 dc的中点， me dc ，所以 md=mc，由已知条件根据sss即可证明 amd fmc ，根据全等三

20、角形对应角相等的性质得mad= mfc=120 ，从而得到mab=30 ，根据30的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明am=2bm ，（2）利用（ 1）的结论得到adm= fcm ，又ad bc ，所以 adm= cmd ，由此得到cmd= fcm ，再利用等腰三角形的性质即可得到cme=12fcm ，再根据已知条件即可解决问题。8. （重庆市2011 年 10 分） 如图，梯形 abcd中，ad bc ，dcb=45 ， cd=2 ，bd cd 过点 c作 ce ab于 e，交对角线bd于 f，点 g为 bc中点，连接eg 、af（1）求 eg的长；（2）求证： cf=ab+af ad=dh ，ad