导数知识点归纳和练习

1、- - 一、相关概念. 导数的概念：（ x0)=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意：（1）函数f( ）在点x0处可导，是指0 x时,xy有极限。如果xy不存在极限 , 就说函数在点0处不可导，或说无导数。(2 ）x是自变量x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量, 可以是零。2. 导数的几何意义函数 y f （x) 在点 x0处的导数的几何意义是曲线y（ x）在点 p（x0，f （x0) 处的切线的斜率。也就是说，曲线yf （x) 在点 (x0, （ x0) ）处的切线的斜率是f (x0） 。相应地，切线方程为y0=f/(x0)(x 0） 。3. 导数的物理

2、意义若物体运动的规律是=s（ ) ，那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s(t) 。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v（） , 则该物体在时刻的加速度a=v（t ） 。二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;c（c为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx；();xxee()lnxxaaa; ；1lglogaaoxex. 2. 导数的运算法则法则 1: 两个函数的和(或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差), 即: (.)vuvu法则 : 两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即：.)(uvvuuv

3、法则3: 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积,1ln xx- - 再除以分母的平方：vu2vuvvu（v0) 。3. 复合函数的导数形如 yx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解求导回代。法则： y|x |u |x或者( )()*( )fxfx三、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1 ）设函数)(xfy在某个区间（a,b) 可导 , 如果f)(x0, 则)(xf在此区间上为增函数；如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。(2）如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数 。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为;

4、曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正; 3最值：在区间 ,b 上连续的函数)(x在 a,b 上必有最大值与最小值。但在开区间（，）内连续函数f （ ) 不一定有最大值, 例如3( ),( 1,1)f xxx。（ ) 函数的最大值和最小值是一个整体性的概念, 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2 ）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得, 有极值的未

5、必有最值，有最值的未必有极值, 极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f （ x) 在区间 a ，b上连续 , 用分点x0 x1 -1 i xnb 把区间a,b 等分成n 个小区间 ,在每个小区间xi-1,xi上取任一点i （i 1，2， n) 作和式in=( i) （其中x 为小区间长度）, 把 n即 x时 , 和式 in 的极限叫做函 数f(x)在区间，b 上的定积分，记作:，即badxxf)(ninf1lim( i) 。nif1badxxf)(- - 这里，与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ，b叫做积分区间, 函数（ x) 叫做被积函数， x 叫

6、做积分变量，（x）d叫做被积式。基本的积分公式：dx0c；+c(m q, m 1);dx=+c；xec；dxaxaaxln+；xdxcos=inx+ ;xdxsin cox（表中 c均为常数 ) 。2. 定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（为常数） ; ; ( 其中 ac。3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线xa, =(a ) ，轴及一条曲线f （x） （f(x) ) 围成的曲边梯的面积badxxfs)(。如果图形由曲线y 1( ),y2=f( )( 不妨设 (x) (x) ） ，及直线xa，x （ a b) 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 =s 曲 边 梯 形a

7、mnb-s 曲 边 梯 形dmnc=babadxxfdxxf)()(21。. 牛顿布莱尼茨公式如果 (x ）是区间 ， b 上的连续函数，并且 f（x） f(x),则【练习题】题型 :导数的基本运算dxxm111mxmx1xdxexbababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()bafx dxf bf a()()()- - 【例 1】 (）求)11(32xxxxy的导数；(2）求)11)(1(xxy的导数 ; (3)求2cos2sinxxxy的导数；(4)求 y=xxsin2的导数 ; (5)求 y=xxxxx9532的导数。解析 :（

8、 )2311xxy,.2332xxy（2)先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（）先使用三角公式进行化简. xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy(4) xxxxx222sin)(sin*sin)(xxxxx22sincossin2; （5）y=233x-x+5219xy 3(x23)x5-921(x） *2321x +0 *（-21)23x1)11(292xx。题型 2:导数的几何意义【例 2】 已经曲线c：y=x- 2 和点 a(1,2） 。(1)求在点处的切线方程？（2)求过点a的切线方程 ?()若曲

9、线上一点q 处的切线恰好平行于直线 y=11x1，则点坐标为 _ _，切线方程为_ _ _ - - 思考：导数不存在时,切线方程为什么？【例 3】 （ 6 安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ) a430 xy b450 xy c.430 xy d430 xy【例 4】 （06 全国 ii)过点（ -1,0）作抛物线21yxx的切线 ,则其中一条切线为（ ) (a)220 xy (b)330 xy（c)10 xy（d)10 xy解析：（ ) 与直线480 xy垂直的直线l为40 xym, 即4yx在某一点的导数为，而34yx, 所以4yx在(1,1) 处导数为4，此点的切线为43

10、0 xy, 故选 a；（2）21yx，设切点坐标为00(,)xy，则切线的斜率为201x,且20001yxx,于是切线方程为200001(21)()yxxxxx,因为点（ -1， 0)在切线上，可解得0 x 0或-4,代入可验正正确,选 d。题型：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 (06 江西卷）对于r 上可导的任意函数f(x),若满足（ x-1)fx（ ），则必有（ ) .f（0)+f( ）f（） b. f（0） f（2） 2f(1） (0)f（2） 2f( ）d f（0） +f（2） f（1) 【例 6】 (06 天津卷 )函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在)

11、,(ba内的图象如图所示 ,则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点 (）.1 个 b2 个 c个 d 4 个【例 7】 ( 6 全国卷i) 已知函数11axxfxex。 ( ）设0a，讨论yfx的单调性 ;( ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。解析：（1）依题意 ,当 x 时，（ x）0，函数f（x）在 (，)上是增函数;当x 1 时，（ x）0, (x) 在 (-,1）上是减函数,故f(x ）当x时取得最小值,即有f（0) f()，f(2)f（） ，故选 c; (）函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示,函数)(xf在开区间),(

12、ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点，只有1 个,选。4yxl480 xyl- - (3） ： （ )f(x) 的定义域为 ( ,) (, )对 (x）求导数得(x)错误!e-a。()当 a=2 时, f (x) 错误 !未定义书签。e-2x， f (x)在( ,0)， (0， )和(1,+ ）均大于 0, 所以（ )在( ,1), （1,+).为增函数 ; (）当 a2 时, 0 2a，令 （x)=0，解得x1= 错误 !未定义书签。 ，2= 错误 !未定义书签。 ; 当 x 变化时 , f (x) 和 f(x) 的变化情况如下表: ( ,-r(a-2a)）

13、(-错误 !未定义书签。 ,错误 !未定义书签。 ) (错误 !未定义书签。 ,) （ ,+) f （x) - + (x）f(x) 在(，-错误 !未定义书签。 ), （ 错误 !未定义书签。,1)， (1,+)为增函数，(x)在(-错误 !未定义书签。,错误 !未定义书签。 ）为减函数。()()当 0时 , 取 x 错误 !未定义书签。错误 !(,1)，则由 ()知f(x)1 且 e-ax 1, 得： f(） = 错误 !未定义书签。-x错误 !1. 综上当且仅当a(- ,2时,对任意x(0,1) 恒有 f（x)1。【例 8】 （06 浙江卷）32( )32fxxx在区间1,1上的最大值是( ）(a )- 2 (b)0 (c)2 (d)- - 【例 9】 （ 06 山东卷 ) 设函数 (x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（ )求 f(x) 的单调区间； （ )讨论 f（x)的极值。解析： （ 1)2( )363 (2)fxxxx x,令( )0fx可得 0或 2(舍去 ),当 1 0 时,( )fx，当 0 x 1 时，( )fx0,所以当 x时，（x)取得最大值为2。选 ; （ 2）由已知得( )6(1)fxx xa，令( )0fx，解得120,1xxa。（）当1a时，2( )6f