线性代数新教材ch52学习教案

1、会计学1第一页，共24页。定定理理 1 相相似似矩矩阵阵的的行行列列式式相相等等 相似矩阵的性质： 推推论论 2 若若n阶阶方方阵阵A与与对对角角矩矩阵阵n,diag21相相 似似，则则n,21即即是是A的的n个个特特征征值值 推论推论 3 若若AB，则，则( )( )ABtrtr 定理定理 3 若若AB，则，则( )( )ABRR 证明证明(zhngmng)定理定理 2 相似矩阵的特征多项式相同相似矩阵的特征多项式相同 证明证明(zhngmng)推推论论 1 相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的特特征征值值 证明证明(zhngmng)第1页/共23页第二页，共24页。例例 1 设设n阶阶方方阵阵

2、A有有特特征征值值1, 2 , 1 , 0n，BA，求求IB 解解 因因BA， 所所以以B的的特特征征值值也也为为1, 2 , 1 , 0n， 于于是是由由上上节节例例 4 知知，IB的的特特征征值值为为n, 2 , 1， 因因此此!IB n 上上节节例例 4 设设为为A的的一一个个特特征征值值，且且 0111)(axaxaxaxfkkkk， 证证明明)(f为为()Af的的一一个个特特征征值值 第2页/共23页第三页，共24页。例例 2 设设AB， 0111)(axaxaxaxfkkkk， 试试证证明明() ()ABff 证证 因因AB，故故存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使使1BPAP， 则则

3、1110( )BBBBIkkkkfaaaa 11111110kkkkaaaaPA PPAPPAPPP 11110()kkkkaaaaPAAAI P 1( ) .f PA P 所所以以( ) ( )ffAB 证证毕毕 第3页/共23页第四页，共24页。若若n阶阶矩矩阵阵A可可以以与与一一个个对对角角矩矩阵阵相相似似，则则称称矩矩阵阵A可可对对角角化化 下下面面讨讨论论一一个个n阶阶矩矩阵阵满满足足什什么么条条件件时时可可以以与与一一个个对对角角矩矩阵阵相相似似的的问问题题这这个个问问题题称称为为矩矩阵阵的的对对角角化化问问题题 定定理理 4 n阶阶矩矩阵阵A可可对对角角化化的的充充分分必必要要条

4、条件件是是A有有n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 证明证明(zhngmng)第4页/共23页第五页，共24页。注注意意 1P的的列列向向量量与与对对角角矩矩阵阵B的的对对角角元元素素的的排排列列顺顺序序是是有有确确定定对对应应关关系系的的，即即ip为为对对应应于于i的的特特征征向向量量 注注意意 2 上上面面定定理理不不仅仅给给出出了了n阶阶矩矩阵阵A可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件，其其证证明明过过程程也也给给出出了了当当A可可对对角角化化时时，对对角角矩矩阵阵B及及相相似似变变换换矩矩阵阵P的的形形式式 121nPAPB Appiii， ni, 2 , 1 12(,)

5、nPppp， 第5页/共23页第六页，共24页。推推论论 若若n阶阶矩矩阵阵A有有n个个不不同同的的特特征征值值，则则A可可对对角角化化 定定理理 5n阶阶矩矩阵阵A可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件是是对对于于A的的每每一一个个in重重特特征征值值i，()iiRnnIA 证证明明略略 注意注意 定理定理 5 也可描述为：也可描述为：n阶矩阵阶矩阵A可对角化的可对角化的充分必要条件是对于充分必要条件是对于A的每一个的每一个in重特征值重特征值i，齐次线性方程组齐次线性方程组()i 0IA x的基础解系中恰含的基础解系中恰含in个解向量个解向量 第6页/共23页第七页，共24页。例例

6、3 设设 322111423 A， 问问A能否对角化？能否对角化？ 解解 先先求求A的的特特征征值值 由由 322111423IA 0) 1() 1(2， 得得A的的全全部部特特征征值值为为11321， 第7页/共23页第八页，共24页。将将11代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组()i 0IA x，得，得 . 0424020222321321321xxxxxxxxx， 它的基础解系为它的基础解系为1101 ； 将将231 代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组()i0IA x，得，得 . 02240022432131321xxxxxxxx， 它的基础解系为它的基础解系为2111 由由于于1为为

7、二二重重特特征征值值，而而相相应应齐齐次次方方程程组组() 0IA x的的基基础础解解系系中中仅仅含含一一个个解解向向量量， 故故A不不能能对对角角化化 第8页/共23页第九页，共24页。例例 4 已知已知 312202211A， 问问A能否对角化？若能对角化，求出相似变换矩阵能否对角化？若能对角化，求出相似变换矩阵P 解解 由由0IA， 可可得得0) 1(2， 于是于是A的全部特征值为的全部特征值为, 01132 第9页/共23页第十页，共24页。将将01代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组()i 0IA x，得，得 . 0202202332131321xxxxxxxx， 它的基础解系为它的

8、基础解系为1111 p； 将将132代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组()i 0IA x，得，得 022321xxx 它它的的基基础础解解系系为为2120p，3021p 第10页/共23页第十一页，共24页。01，1111 p； 132，2120p，3021 p 由由定定理理 5 知知，A可可对对角角化化 取取相相似似变变换换矩矩阵阵 123110(,)122101Pp pp， 则有则有 1000010001PAP 第11页/共23页第十二页，共24页。注意注意 在本例中，若取在本例中，若取312(,)Ppp p， 则则 1100000001PAP 01，1111 p； 132，2120p，

9、3021 p 第12页/共23页第十三页，共24页。注注意意 若若n阶阶方方阵阵A可可对对角角化化，则则计计算算kA就就很很方方便便了了 设有可逆矩阵设有可逆矩阵P，使，使 121nPAPB， 于于是是1APBP， 111()()()APBPPBPPBPk，（，（k个个1PBP相乘相乘） 1APB Pkk， 第13页/共23页第十四页，共24页。1112APB PPPkkkkkn 例例 对对于于例例 4 中中的的矩矩阵阵A，由由于于 1000010001PAP， 1000010001APP， 110000000 10010001001APPPPkkk 第14页/共23页第十五页，共24页。而而

10、 110122101P， 1212312211P， 所以所以 110000212122010312101001211Ak 112202213 本本节节完完 第15页/共23页第十六页，共24页。定理定理 1 相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等 证证 设设AB， 则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使使1PAPB， 所以所以 1PAPB 证毕证毕 1PAP A 第16页/共23页第十七页，共24页。定理定理 2 相似矩阵的特征多项式相同相似矩阵的特征多项式相同 证证 设设AB， 则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使使1PAPB， 所以所以 1IBIP AP 证毕证毕 1()PIA P 从而从而

11、1()IBPIA PIA 11()PI PPAP 第17页/共23页第十八页，共24页。定理定理 3 若若AB，则，则( )( )ABRR 证证 因为因为AB， 则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使使 1PAPB ( )( )ABRR 由由第第二二章章第第五五节节性性质质 2 知知， 证毕证毕 第18页/共23页第十九页，共24页。定定理理 4 n阶阶矩矩阵阵A可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件是是A有有n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 证证 先先证证必必要要性性 设设n阶方阵阶方阵A与对角矩阵与对角矩阵 12Bn 相相似似， 即即存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使使1PAPB，

12、 从从而而 APPB 第19页/共23页第二十页，共24页。APPB 记记P的列向量组为的列向量组为12,np pp，则，则 12(,)APA p ppn 12(,)Ap ApApn， 1212(,)PBp ppnn 1 122(,)nnppp， 故故 121 122(,)(,)Ap ApAppppnnn， 所所以以 1,2,App，iiiin 第20页/共23页第二十一页，共24页。 1,2,App，iiiin 此此即即12,n 是是A的的特特征征值值，12,np pp分分别别是是A对对应应于于特特征征值值12,n 的的特特征征向向量量 又又P是是可可逆逆矩矩阵阵， 因因此此12,nppp是是A的的n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 再再证证充充分分性性 设设A有有n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量12,np pp， 对对应应的的特特征征值值分分别别为为n,21， 即即 1,2,iiiin，App 令令12(,)Ppppn，