柱面锥面二次曲线

1、会计学1柱面锥面二次曲线柱面锥面二次曲线观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.母线母线准准线线柱面举例：柱面举例：xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程方程：平面方程平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在

2、空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线 C:0),( yxF. （其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面，椭圆柱面，x12222 byax双曲柱面双曲柱面 ，zpzx22 抛物柱面抛物柱面，y母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴12222 byaxxyzO2. 双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy4.2 4.2 锥面锥面 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线

3、都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时： n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准

4、线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线.请同学们自己用截痕法请同学们自己用截痕法研究其形状研究其形状.0222222 czbyax椭圆锥面椭圆锥面xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 2222yxaz 或或4 43 3 旋转曲面旋转曲面目标：目标：通过本节的学习，掌握旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋转曲面方程的求法，了解几个常见的旋转曲面.重点难点：重点难点：旋转曲面方程的求法.定义定义0 0 在空间，一条曲线 绕着定直线 旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面

5、旋转曲面.其中 称为旋转轴旋转轴，称 为母线母线. ll图4-3纬圆，经线纬圆，经线方程方程 求直线求直线 绕直线绕直线旋转一周所得旋转曲面的方程。旋转一周所得旋转曲面的方程。 100zyx10102zyx例例1下面特殊下面特殊的旋转曲的旋转曲面面曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋

6、转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0y zo Sxozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已

7、已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf 结论（规律）：结论（规律）： 当坐标面上的曲线当坐标面上的曲线绕此坐标面上的一个坐绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将在在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222

8、 czayx旋转椭球面旋转椭球面xyzxyz绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox绕绕z轴轴旋旋转转122222 czayx（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面（3）yOz 面上抛物线面上抛物线pzy22 绕绕 z轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo0 px zbyax 双曲线双曲线0y绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周1 1 x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面1222

9、22 bzyax. zbyax 双曲线双曲线1 1 绕绕 x 轴一周轴一周axyo上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 2 2 a.xyoz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx.2 2 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面x yoz

10、 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.3 3 旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4 yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？4 4 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo)0()222 rRryRx（ 圆圆5 5z

11、绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆5 5 二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解

12、曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo4.4 4.4 椭球面椭球面ozyx1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭球面椭球面P110b.exe椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆1zz

13、同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面 012222yczax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面

14、上圆的方程方程可写为方程可写为4.5 (1) 单叶双单叶双 曲曲 面面 解析几何的基本思解析几何的基本思想是用代数的方法来研想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主究解决几何问题，其主要内容可示意如下要内容可示意如下：第一章点坐标轨迹方程第二章曲面曲线普通参数平面与直线第三章方程与关系一般曲面第四章常见曲面和二次曲面第五章二次曲线的一般理论一般曲线一、概念一、概念在空间直角坐标系中，由方程)0,( 1222222cbaczbyax所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.方程1222222czbyax与1222222czbyax表示的曲面也是单叶双曲面.二、性质二、性质

15、1. 对称性对称性 中心 ： 坐标原点（1个）; 主轴 ： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点截距和顶点x=0, y=0 z无解, 则z 轴上没有顶点； x=0, z=0 y = b, 则y轴上有顶点:z=0, y=0 x = a, 则x轴上有顶点: （0，b ，0）（2个）；（a，0，0）（2个）.)0,( 1222222cbaczbyax3.主截线主截线012222xczby(1): 双曲线实轴为y轴, 虚轴为z轴;012222yczax: 双曲线实轴为x轴, 虚轴为z轴;(2)(3)012222zbyax: (腰椭圆）.)1(2

16、22222czbyax4.平行截线平行截线hzchbyax2222221hzchbychax1)1()1(22222222无论h取何值，此方程组总表示在平面:hz 上的椭圆， 它的两半轴为：221chb与221cha此时椭圆的两轴端点（ ，0， h）221cha与（0， ， h）221chb分别在两条主截线 （双曲线）上， 且所在平面与腰椭圆平行.结论：结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。三、图形 根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：主双曲线（yoz面

17、） 腰椭圆（xoy面）主双曲线（xoz面）主双曲线（yoz面）主双曲线（xoz面） 腰椭圆（xoy面）四、总结四、总结 单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。 由此我们联想到圆柱面在建筑艺术上的应用：圆柱面是由与一条定圆相交且垂直于此定圆所在平面的一族直线产生的轨迹，因而既具有圆的柔软性，又具有直线的坚硬性，融刚直与柔软于一体。正是这种特有的性质，世界上众多的建筑尤其是体育馆都建成圆柱形（如上海的万体

18、馆等），这种建筑形状所包含的审美内容是丰富的，它是团结、友谊的显现（圆的意义），又是力量、意志的象征（直线的意义），即奥林匹克精神。 抽象的几何图形，一旦纳入审美的艺术范畴，会带来特殊的美感，抽象的几何图形被美学家称为“有意味的形式”，正好表现出它有特殊意味的审美内容，因此，在观察几何图形时应重视美的联想。 作业作业：P165习题3,4,5. （摘自“解析几何教学中的审美教育”，马世祥等，甘肃高师学报，2005，Vol.10 NO.2） 上海万体馆 夜景近景已知轨迹求方程：1.求出矢量式参数方程；2.写出坐标式参数方程；3. 转化为普通方程。已知方程， 求空间轨迹：参数方程 数参数1.（一个参

19、数为曲线，两个参数为曲面。）2. 普通方程 看形式 （联立方程组为曲线， 单独一个方程 为曲面。）.cos,sinsin,cossinvtztvtytvtx(0t +) 表示空间曲线。只有一个参数t,1.2.,sin,cosvtztuytux(u+, t+)有两个参数u、t, 表示空间曲面。; 1, 022xzzyx1.联立方程组的形式， 表示曲线。2.x=0单独一个方程， 表示曲面（平面）。判断：6416222zyx（1）（2）00yx图形图形 方程方程 旋转曲面锥面柱面1.常见曲面方程方程 图形图形 抛物面双曲面椭球面2.二次曲面(1)对称性(3)主截线(2)顶点(4)平行截线xzy0截痕

20、法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 4.6 4.6 抛物面抛物面一、椭圆抛物面一、椭圆抛物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 4.6 4.6 抛物面抛物面一、椭圆抛物面一、椭圆抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原

21、点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.椭圆抛物面方程椭圆抛物面方程与平面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得截得抛物线抛物线与平面与平面 的交线为的交线为抛物线抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴.z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得均可得抛

22、物线抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕绕 z 轴旋轴旋转而成的）转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为的交线为圆圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物