第12章能量原理

1、第12章能量原理能量原理(Principle of Energy)12.1 概概 述述12.2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算12.3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式12.4 互等定理互等定理12.5 卡氏卡氏(Castigliano )定理定理 12.6 虚功原理虚功原理12.7 莫尔积分法莫尔积分法12.8 静不定结构概述静不定结构概述 固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为为能量原理能量原理。 对构件的变形计算及静不定结构的求解，能量对构件的变形计算及静不定结构的求解，能量原理都有重要作用。近年来计算力学的兴起，使能原理都有重要作用。近

2、年来计算力学的兴起，使能量原理更受重视。量原理更受重视。 变形能变形能固体在变形过程中，固体在外力作固体在变形过程中，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而作功；同时，弹性固体因变形而具备了作功因此而作功；同时，弹性固体因变形而具备了作功的能力，表明储存了变形能。的能力，表明储存了变形能。 在下列条件下v加载缓慢均匀（保证是静态）v没有其它能量的损失（如动能、热能等）则有WU 即认为外力对系统所作的功全部转化为能量储存起来。WU释放能量对外界作功外力对系统作功在弹性范围内此过程是可逆的，即12.2 杆件变形能的计算杆件变形能的

3、计算 Pll2122NNNF lF lUWFEAEA只要载荷不卸去，则外力功以能量的形式储存，其变形能为 轴向拉伸或压缩 静载lPW21外力功 22( )d( )dd22NNlFxxFxxUUEA xEA x，22d11d222UuEVE对变化的内力或抗拉刚度情况，则有变形比能（单位体积的变形能） 纯剪切 考虑右图示单元体（厚度为1），单元体左边不动，右边在剪应力作用下的功为11ddd1dd22UWyxV xdyd2221212GGu其变形比能为mml右图示受扭圆轴，其变形为PGIml根据理论力学，外力偶所作的功为UGIlmmWP2221 lxGIxxTUP22d对于参数变化的情况有 扭 转

4、mmmmmmml 纯弯曲 EIxxMU2dd2 lEIxxMU2d2PWU21xdxl1P2P轴向拉伸、扭转和弯曲时的外力功（或变形能）可统一写成广义力和广义位移的形式dxd xM xM横力弯曲时变形能例题 轴线为半圆形的平面曲杆如图所示，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求力P作用点的垂直位移。 PAdmnRnmdsinPRM cos1 PRTPAdmnRnmd解：选择图示坐标系，在mn截面上的内力为P32320P23202324342dcos12dsinEIRPEIRPGIRPEIRPU曲杆的变形能为APW21P323243421EIRPEIRPPA，得由WU 假设沿力P方向的位

5、移为A，则P所作的功为P33232EIPREIPRA从而有重要结论横力弯曲的弯曲变形能和剪切变形能 2212( )d( )d,22sllkFxxMxxUUGAEI AzAbSIAkd222其中 56d441144d22225222hhAzybyhbhAbSIAk256kk，薄壁圆管圆形以矩形截面为例另外例题 以图示简支梁为例，比较弯曲和剪切两种变形能。设梁的截面为矩形。 2l2lxP( ),( )22sPPF xM xxEIlPxxPEIUl96d2212322202GAlkPxPGAkUl8d222222012l2lxP解：由梁的内力方程及内力图的对称性，得22112:GAlEIkUU其比值

6、为2211512:lhUU3 . 0取0312. 0:101125. 0:512121UUlhUUlh时，当时，当可见，只有对短梁才应考虑剪切变形能，对长梁可忽略不计。 56k122hAI12EG对矩形截面梁12.3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式推导变形能普遍式的假设与前提v无刚性位移v局限于小变形，即广义位移与广义力成正比v弹性体在变形过程中储存的变形能，只决定于外力和位移的最终值，与加力次序无关 iiP3P1232P1P载，即们假定各载荷按比例加响变形能，我，又由于加载次序不影慢增大到终值缓都是从每个力有个广义力设系统中iiiPPniPn0, 1iPiiPP缓慢缓慢是，也就其中0:

7、10:。对应的位移为相应地，与iiP从理论力学中知，这属于变力作功的问题。dddiiiiiiWPP 当载荷Pi为任一中间值 时，与此对应的位移增量为 ，这时 为常力作功，其功为iPddiiiP从而在整个加载过程中，外力对系统所作的功为 iiiiiiiiiPPPW21dd1010克拉贝依隆（Clapeyron）原理 线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。广义力广义位移FN(x)lT(x)M(x)FS(x)剪力引起的变形能很小往往忽略不计。)(xM)(xT)(xT( )NFx( )NFxxd对于广义变形问题（如右图）2222P( )d( )d( )d( )d2222NSll

8、llFxxkFxxMxxTxxUEAEIGIGA其变形能为拉伸弯曲扭转剪切12.4 互等定理互等定理 4321PPPP、第二组：、第一组：同时我们人为地规定如下加载次序22112121PP1P2P21加第一组载荷时，其变形能为为推导互等定理，我们选取两组载荷先加第一组载荷，后加第二组载荷于弹性体上1P2P33P224P411然后加第二组载荷，这时由于第二组载荷的影响，会在第一组载荷的相应方向产生附加位移21和第二组载荷自身所作的功为44332121PP而第一组载荷在由于第二组载荷引起的附加位移上所作的功，是常力作功，即2211PP从而，本加载次序所作的总功为221144332211121212

9、121PPPPPPU44332121PP33P4P4加第二组时先加第二组载荷，后加一第组载荷于弹性体上443322112121PPPP1P2P3P24P13434443322114433221212121PPPPPPU再加第一组时本加载次序所作总功为由于变形能只决定于力和位移的最终值，而与加力次序无关，故 21UU （功）互等定理 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。44332211PPPP即若第一组力只有P1，第二组力只有P3，则功互等定理化为3311PP31位移互等定理P1作用点沿P1方向因P3而引起的位移，等于P3作用点沿P3方向因P1而引

10、起的位移。 进一步，若有P1=P3，则上式化为位移互等定理12.5 卡氏卡氏(Castigliano )定理定理 ，系统变形能为的广义位移为，各力沿其作用线方向有个广义力设系统中niniPnii, 1, 1iiiPW211P2PnP12n设想载荷Pi有一微小增量Pi，而其它力不变。则niiiiniiiPPPPPPPPPPP,111111nniiiiiiniiiP,111111111iiiiiiiiiPPPPPPU21212211iiiPU21初始时系统变形能为由于Pi有一微小增量后系统变形能的增量为iiiPU忽略高阶微量后得把原有诸力看作是第一组力，而把Pi看作是第二组力，根据互等定理， ii

11、iiPPPP2211iiPU即iiPU或极限情况下，Pi趋近于零，上式左端是变形能U对Pi的偏导数，即 iiPU卡氏（Castigliano）定理变形能U对任一载荷Pi的偏导数，等于Pi作用点沿Pi作用方向的位移i 。附加力法附加力法BPAxmn例题 轴线为四分之一圆周的平面曲杆，EI=常数。曲杆A端固定，自由端B上作用垂直集中力P。求B点的垂直和水平位移。 附加力法附加力法BPAxmniiPUi是与Pi对应的广义位移，从本题而言，求B点的垂直位移是可以直接利用卡氏定理的，但要求水平位移时却不能直接进行。按照卡氏定理，BPAxmncos,cosRPMPRM320d1coscosd4ysUPMM

12、sEIPPRPRRREIEIy的值为正，说明 y的方向与力P的方向一致。为了求得B点的水平位移，假定在B点沿水平方向作用一力Pa。sin1sin1cosRPMRPPRMaa对Pa使用卡氏定理，然后Pa令等于零就可以得到B点的水平位移。aPBPAxmn2030d1cos1sind2axsaPMMsEIPPRPRRREIEI12.6 虚功原理虚功原理(virtual work principle) 若因其他原因，例如另外的外力或温度变化等，又引起杆件边形，则用虚线表示杆件位移到的位置。可把这种位移称为虚位移。“虚”位移只表示是其他原因造成的位移，以区别于杆件原因有外力引起的位移。 约束所允许的位移

13、称为虚位移。 在虚位移中，杆件的原有外力和内力保持不变，且始终是平衡的。虚位移应满足边界条件和连续性条件，并符合小变形要求。 变形体虚功原理 外力所作的虚功等于内力在相应虚位移上所作虚功。 质点系的虚位移原理 平衡力系在刚性虚位移上作功的总和等于零。x)(xv 图示梁在外力作用下处于平衡(实线)，假定给梁一个由某种原因引起的虚位移(虚线)。则其虚功有两种计算方法。v 整个构件得全部力的虚功得到外力虚功 设想把杆件分成无穷多微段 ，微段上除外力外，两端横截面上还有轴力、弯矩、剪力等内力。当它由平衡位置经虚位移移到达由虚线表示的位置时，微段上的内、外力都作了虚功。把所有微段的内、外虚功逐段相加（积

14、分），便可求出整个杆件的外力和内力的总虚功。因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的，但相邻的微段公共截面上的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的虚功相互抵消。逐段相加之后，就只剩下外力在虚位移中所作的虚功。 微段上的内力与虚位移qQNM)(*xv*d() l*d*d1 12233( )dlWPvP vPvq x vx ，xqPPP321 ，xvvvv321设微段上广义外力和广义虚位移分别为则广义外力的虚功（这里是常力作功）为v 各微段的外力虚功和得到内力虚功 在上述杆件中，微段以外的其余部分的变形，使所研究的微段得到刚性虚位移；此外，所研究的微段在虚位移中还发生虚

15、变形。作用于微段上的力系（包括外力和内力）是一个平衡力系，根据质点系的虚位移原理，这一平衡力系在刚性虚位移上作功的总和等于零，因而只剩下在虚变形中所作的功。 dd()ddNSWFlMFd()ddNSlllWFlMF外力在虚变形中所作的功积分上式得总虚功为1 1223 3( ) dd()ddlNSlllPvPvPvq x vxFlMF在虚位移中，外力所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功。这就是虚功原理。 两种方式求得的总虚功表达式应该相等，即 1 1223 31122dddddlNSllllPvPvPvq x vxmmFlMFT在导出虚功原理时，并未使用应力应变关系，故虚功原理与材料的性能无

16、关，它可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。更一般地，有如下形式的虚功原理12.7 莫尔积分法莫尔积分法(Mohr Integral Method)问题：设在外力作用下，求刚架A点沿某一任意方向aa的位移。a1AaAAaa把刚架在原有外力作用下的位移作为虚位移，加于单位力作用下的刚架上。( )( )( )NSFxM xF x设想在同一刚架的A点上，沿方向作用一单位力1，它与支座反力组成平衡力系。这时刚架横截面上的轴力、弯矩和剪力分别为1( )d()( )d()( )d()NSFxlM xFx原有外力引起的变形，现在已作为虚变形 虚加的外力虚加外力引起的内力视为真实力虚功原理的表达式为( )

17、d()( )d()( )d()NSFxlM xF xMohr积分（单位力法）( )( )( )( )( )( )( ) ( )ddddNNSSPFx FxFx FxM x M xT x T xxxkxxEAEIGAGI注意：v 本式仅适用于线弹性情况v上式中带“-”的内力为与虚加单位力相关的内力，而不带“-”的内力是真实载荷引起的内力。具体地，如果构件存在四种基本变形，则有例题 图示刚架的自由端A作用集中载荷P。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移及截面B的转角。 2EIPBC1EIlaA2EIPBC1EIlaA解：显然要求的问题都可以用卡氏定理求

18、解，这里我们都用Mohr积分方法来求解。 为此，选择右下图所示坐标。相应的内力方程为( )M xPx ( )M yPa axBylAPCq求A截面的垂直位移 在相应位置和方向虚加(与待求位移相应的)单位力1。与之对应的弯矩为( )M xx ( )M ya axByA1C使用莫尔定理00120013212( )( )d( )( )d1()()d()()d3alyalM x M xxM y M yyEIEIPxxxPaayEIPaPa lEIEIq求B截面的转角 在相应位置和方向虚加单位集中力偶1。与之对应的弯矩为1( )0Mx 1( )1My 0221() 1dlBPalPayEIEI xByA

19、C1于是单位力的选择欲求变形单位力欲求变形单位力A处沿图示方向的线位移A、B两截面的相对线位移沿A、B连线加相向的单位力A处沿图示方向的角位移A、B两截面的相对角位移在A、B处分别加相反的单位力偶AAA1ABBA1AAB11AB11例题 图示活塞环。试计算在力作用下切口的张开量。 ABPPOR解：活塞环横截面上的内力，一般有轴力、剪力和弯矩。由于轴力和剪力对变形的影响很小，可以不计，所以只考虑弯矩的影响。活塞环横截面高度远小于环的轴线的半径，可用直梁公式计算变形。 APdOd( )(1cos )MPR ABPPOR弯矩方程为又由于活塞环的对称性，只计算一半就可以了。1OA为了计算切口的张开量，应在A、B两截面上沿力的方向作用一对方向相反的单位力。此时 cos1RM30( )( ) d32ABMMRPREIEI由Mohr定理得12.8 静不定结构概述静不定结构概述 静不定结构(statically indeterminate structure) 支座反力或结构内力不能全由平衡方程求出的结构。 由理论力学知，未知力的数目与独立平衡方程数目之差就是结构的静不定次数(degree of indeterminacy)。CDC