流体力学第二章

1、第二章 流体静力学工程流体力学第一节流体静压强及特性 当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应力就是静压强nnnpdAFdp流体静压强的两个特性流体静压强的两个特性n 特性一：流体静压强的作用特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向方向沿作用面的内法线方向流体静压强及其特性v特性二：静压强与作用面在空间的方位无关，特性二：静压强与作用面在空间的方位无关，只是坐标点的连续可微函数只是坐标点的连续可微函数边长 x、y、z 静压强 Px、Py、Pz和Pn 密度 单位质量力的分量fx 、fy、 fz流体静压强及其特性第一节流体静压强及

2、特性 力在x方向的平衡方程为 061,cos21zyxfxpApzypxnBCDnxzyxpAnBCD21,cos由于 031xfppxnx忽略无穷小量nxpp nyppnzpp nzyxpppp流体静压强及其特性证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数静压强可表示为zyxpp,第一节流体静压强及特性 欧拉平衡微分方程 等压面 力函数第二节欧拉平衡微分方程等压面力函数在静止流体中取一微元平行六面体边长 x、y、z 中心点坐标 a(x,y,z)中心点压强 p作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a点的静压强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得单位质量力的分量fx 、f

3、y、 fzx x方向的平衡方程式方向的平衡方程式 022zyxxppzyxxppzyxfx0zyxxpzyxfxzyxm化简得同除以 01xpfx同理得01ypfy01zpfz（1）（2）（3）欧拉平衡微分方程 等压面 力函数流体的平衡微分方程式写成矢量 01pf流体平衡微分方程式又叫欧拉平衡微分方程式 意义意义：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围：可压缩、不可压缩流体 静止、相对静止状态流体 欧拉平衡微分方程 等压面 力函数流体的平衡微分方程式压强差公式压强差公式dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpdpzyx0dp0dzfdyfdxfzyx

4、上式中(1)dx +(2)dy +(3)dz得欧拉平衡微分方程 等压面 力函数等压面在流体中压强相等的点组成的面性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于经过该点的等压面微分形式的等压面方程写成矢量形式0dzfdyfdxfl dfzyx由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直等压面重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式 0yxffgfzgdzdp1cgpzgpzgpz2211 适用于不可压缩重力流体的平衡状态对于不可压缩对于不可压缩流体流体, ,积分得积分得对对1,21,2两点列方程两点列方程重力场中重力场中, ,取取xoyxoy为水平面为水平面,z ,z轴垂直向轴垂直向上上

5、, ,在该坐标系中单位质量力的分量在该坐标系中单位质量力的分量为为第三节重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡物理意义物理意义 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流体中的任意点上,单位重量流体的总势能为常数zgp单位重量流体的位势能单位重量流体的压强势能之和为总势能phzgpzgphp对图中对图中a a点和点和b b点列静力学方程点列静力学方程或或流体静力学基本方程重力场中流体的平衡几何意义几何意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时,静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线zgp位置水头压强水头之和为静水头A-A A-A 静水头线静水头线A AA A 计示静水头线计示静水头线不可压缩

6、流体中压强的变化重力场中流体的平衡gphzgpz0ghpp0h帕斯卡原理帕斯卡原理 1自由表面的压强2 淹深为 、密度为 的流体柱产生的压强对淹深为h的a点和压强为p0的自由液面上的点，列静力学基本方程gh上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流体内部的静压强由两部分构成该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将以同样的大小传递到液体内部任意点上帕斯卡原理重力场中流体的平衡ghppaghpppaeppppaev绝对压强：以完全真空为基准计量的压强计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强真空：当被测流体的绝对

7、压强低于大气压强时，测得的计示压强为负值，此时，流体处于真空状态用液柱高度表示gppgphaVV工程大气压标准大气压巴各压强度量单位之间的换算Pa41080665. 9Pa51001325. 1Pa510绝对压强计示压强真空绝对压强计示压强真空重力场中流体的平衡金属式测压计压电晶体式传感器测压管测压管 appghppaghpeappghppaghpv重力场中流体的平衡结构最简单的液柱式测压计为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于10cm分被测压强高于和低于大气压强两种情况流体静压强的测量和液柱式测压计流体静压强的测量和液柱式测压计app2211ghpghpa重力场中流体的平衡U U形管测

8、压计形管测压计 1122ghghppaapp1122ghghppa1122ghghpv1122ghghpe也要考虑毛细现象的影响,管径的要求和测压管相同,压强量程比测压管大得多 被测流体的密度被测流体的密度 U U形管中工作液体的密度形管中工作液体的密度21工作液体一般工作液体一般采用水或水银采用水或水银流体静压强的测量和液柱式测压计流体静压强的测量和液柱式测压计ghghpghpBA22111hghghhgpppBA1211212重力场中流体的平衡测量压差测量压差 倾斜式微压计倾斜式微压计 12pp 212AAlh sin1lh 2121sinAAlhhhkllAAgghppp21sin12k

9、微压计系数，0.2、0.3、0.4、0.6、0.8U U形管测压计还可用来测量流体的压强差形管测压计还可用来测量流体的压强差容器中A,B点的位置高度一样 两个容器中流体的密度两个容器中流体的密度U U形管中工作液体的密度形管中工作液体的密度21工作液体一般采用工作液体一般采用蒸馏水或者酒精蒸馏水或者酒精流体静压强的测量和液柱式测压计流体静压强的测量和液柱式测压计重力场中流体的平衡1010hcmacm，BApgbghhbagp水油水ghhagppBA油水解解由等压面的关系知由等压面的关系知OmmHhhagppBA23.1081001000917100100水油水例如图-所示，一倒置的形管，其工作

10、液体为油，下部为水已知，求两容器中的压强3917kg m油重力场中流体的平衡Padp15590035. 041541522hgghp21解解活塞重量使其底面产生的压强为活塞重量使其底面产生的压强为列等压面方程列等压面方程由上式可解得由上式可解得cmhgph4 .167 . 013600920806. 9136001559021231322 3351592013600U0.7dmmNkg mkg mhmU例如图，一压强测试装置，活塞直径，重，油的密度，水银的密度，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和 形管中水银液面的高度差时， 形管中两水银液面的高度差。23250200hmmhmm，4514

11、433432232312111hhgppghppghppghppghppBA45143322311hhgghghghghppAB重力场中流体的平衡解解图中图中1-1,2-21-1,2-2和和3-33-3均为等压面均为等压面, ,根据流体静压强计算公式根据流体静压强计算公式, ,可以逐个写出每一点的静压强可以逐个写出每一点的静压强, ,分别为分别为将上式逐个代入下一个式子将上式逐个代入下一个式子整理后得整理后得A,BA,B两点的压强差两点的压强差PaghghghghhhgppBA678676 . 0980625. 01334002 . 078503 . 01334003 . 05 . 09806

12、11233243451例例-4-4如图所示，已知如图所示，已知 4=300hmm5=500hmm333123100080013598kg mkg mkg m，求A B两点的压强差）。（已知水银的密度状态时两活塞的高度差不计活塞质量，求平衡，上部通大气。若，活塞上受力；第二个圆筒气体的计示压强，密封，活塞上受力径子连接。第一个圆筒直如图所示，两圆筒用管例32211136005 .494530981031974552mkghNFcmdPapNFcmde1FPadFp2010145. 043197422111重力场中流体的平衡解解在F1,F2作用下,活塞底面产生的压强分别为PadFp699643 .

13、 045 .4945422222图中a-a为等压面,题目中给出的第一个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆筒上部的大气压强不必考虑，列等压面方程21pghppe解上式得mgppphe3 . 0806. 9136002010198106996412液体的相对平衡afx0yf等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡静压强的分布规律 gfz代入压强差公式 gdzadxdp坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向积分得 Cgzaxp第四节第四节 液体的相平衡液体的相平衡0z0pp 0pC 液体的相对平衡当 时得gzaxpp0静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系等压面方程

14、 0gdzadx积分得 1Cgzax平面和x轴的夹角为 gaarctg等压面为一簇倾斜平面由公式可以看出由公式可以看出, ,质量力的质量力的合力仍然垂直于等压面合力仍然垂直于等压面0 x等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡01C0sgzaxxgazs液体的相对平衡自由液面 得 代入 gzaxpp0得ghpzzgpps00 形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深仅仅和垂直坐标有关，而上述的相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标有关，还和水平坐标有关。等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对

15、平衡将坐标原点取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，xoy面水平xrfx22cosyrfy22singfz单位质量力分量分别为代入压强差公式 gdzydyxdxdp22积分得 CzrgCgzyxp222222222液体的相对平衡当0z0r0pp 时代入上式得 0pC zgrgpp2220等压面方程 022gdzydyxdx积分得 1222222Cgzyx1222Cgzr等压面为旋转抛物面 01C的等压面为自由液面 等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡液体的相对平衡自由液面方程 0222sgzrgrzs222ghpzzgpps00代入得 特例一 顶盖中心开口的旋转容器（离心式

16、铸造机） zgrpgpp22200z222rpe0r0epRr 222Rpe流体受惯性力的作用向外甩,由于顶盖的限制,自由液面虽然不能形成抛物面,当压强分布仍为顶盖顶盖中心处中心处边缘处边缘处等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡特例二 顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机） Czgrgp2220zRr app 时得222RpCazgrRgppa2222液体的相对平衡液体借助惯性有向外甩的趋势，但中心处随即产生真空,在开口处的大气压和真空形成的压强差的作用下,限制了液体从开口处甩出来,液面不能形成抛物面等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡

17、度差。形管两支管中液面的高试求，度为直线等加速行驶，加速，汽车在水平路面上沿形管水平方向的长度形管，如图所示，汽车上装有内充液体的例UsmamLUU25 . 05 . 062LhLhhgatg21mmLgah5 .255 . 0806. 95 . 0液体的相对平衡解解当汽车在水平路面上作等加速直线运动时,U形管两支管的液面在同一斜面上,设该斜面和水平方向的夹角为 ,由题意知由上式可解出两支管液面差的高度由上式可解出两支管液面差的高度力为零。，顶盖上所受静水总压时容器的转速为多少时。问此的水位管中处安装一开口测压管，旋转，在顶盖上，绕垂直轴等角速圆柱形容器，直径如图所示，一充满水的例mhmrmd

18、5 . 0 43. 02 . 1720Czgrgp22200rrz液体的相对平衡解解等角速旋转容器中液体相对平等角速旋转容器中液体相对平衡时衡时,流体静压强的通用公式为流体静压强的通用公式为将顶盖上的边界条件将顶盖上的边界条件 时时 代入上式代入上式,可求得积分常数可求得积分常数 ghp2202rghC液体的相对平衡22022rrghp1624422222022220220220drdghdrdrrrghrdrpFdd0Fsdrgh17 .442 . 143. 085 . 0806. 91681622220min42727 .4460260rn代入上式得代入上式得作用在顶盖上的静水总压力为作用

19、在顶盖上的静水总压力为令令 ,由上式可以解出由上式可以解出静止液体作用在固体壁面上的总压力液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力静水奇象在静止液体中，有一和液面呈夹角的任意形状的平面z轴和平面垂直由流体静压强的特性知,各点的静压强均垂直于平面,构成了一个平行力系,因此,液体作用在平面上的总压力就是这一个平行力系的合力第五节第五节 静止流体作用在固体壁面上的总压力静止流体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的大小和方向总压力的大小和方向 微元面积上的总压力 dAgyghdAdFPsinAAppydAgdFFsinAyydyAc积分得 （面积矩静矩） sincc

20、yh AghAgyFccpsin液体作用在平面上的总压力等于一假想体积的液重，该体积是以平面形心的淹深为高、平面的面积为底的柱体。液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的作用点总压力的作用点（总压力的作用线和平面的交点称压力中心） 由合力矩定理 总压力PFydFyFApDpdAygAyygADc2sinsin对ox 轴的力矩等于各微元总压力对ox 轴的力矩的代数和 xAIdAy2AyIyyccxcD（惯性矩二次矩） 压力中心的y坐标液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力根据平行移轴定理 AyIIccxx2

21、AyIyyccxcDcDyy压力中心的x坐标 AyIxAyIxccxyccxyD代入上式得工程实际中的平面往往是对称图形,一般不必计算压力中心的x坐标液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力。液体总压力和压力中心，试求作用在闸门上的、液体深度分别为的液体的作用，两侧，两侧均受到密度为宽度为如图所示，一矩形闸门例2182hhb12,23111111bhIbhAhhcxcbghAghFc2111121解解对于闸门左侧对于闸门左侧根据公式1213111111132211221hbhbhhAyIyyccxcD静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力同理对于闸门的右侧可得

22、bghAghFc2222221222322222232211221hbhbhhAyIyyccxcDbhhgFFF22212121两侧压力的合力为221211DDyhhFyFFyD212212221221221212212113322132213221hhhhhhgbhhhbghhbghFyhhFyFyDDD显然合力作用点x坐标为bxD21合力F的方向向右,设合力F的作用点距左边液面的距离为yD,根据合力矩定理,对o点取距,则有液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力有一承受液体压强的二维曲面，坐标系的z轴垂直向下静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力 g

23、hdAdFPxppxghdAghdAdFdFcoscoszppzghdAghdAdFdFsinsin（1）水平分力 AxAxApxpxhdAgghdAdFFxcxAxAhhdA xcxpxAghF曲面A在垂直于x轴的坐标平面内的投影面积 对y的面积矩 xAcxh为投影面积xA的形心的淹深 液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力（2）垂直分力AAzzApzpzhdAgghdAdFFpAzVhdA ppzgVF为曲面ab和自由液面或者其延长面所包容的体积，称为压力体 22pzpxpFFFpzpxFFarctg（3）总压力的大小和作用点将上述总压力的两个分力

24、合成，即得到液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力压力体 曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积 实压力体压力体充满液体压力体充满液体 虚压力体 压力体中没有液体压力体中没有液体OOOAAABBBabcpapapa静止液体作用在固体壁面上的总压力这三个压力体的大小均为VOAB.所以,对于同一曲面,当液体深度不变,只是液体的相对位置不同时,压力体与曲面的相对位置不同,但压力体的大小并不改变,曲面所承受的垂直分力的大小也不变化,只是方向改变而已液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力子上的总压力。形盖。试求作用在每个半球，水深距离贮水器上下壁面的垂直

25、，其直径相同，面上有三个半球形的盖如图所示，一贮水器壁例mHmhmd5.25.15.0322NdhHdggVFppz6579125 . 075. 05 . 245 . 098061224323211静止液体作用在固体壁面上的总压力解解对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力顶盖上的总压力的水平分力顶盖上的总压力的水平分力也为零，垂直分力为也为零，垂直分力为NdhHdggVFppz3049125 . 075. 05

26、 . 245 . 098061224323222静止液体作用在固体壁面上的总压力侧盖上总压力的水平分力侧盖上总压力的水平分力NdgHAghFxcxpx481445 . 05 . 298064223NdgFpz321125 . 0980612333NFFFpzpxp482532148142223233侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部分的压力体的侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包容的半球体，所以侧盖上总合成，合成后的压力体即为侧盖包容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力压力的垂直分力根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的大小和作用线根据

27、上述水平分力和垂直分力可求得总压力的大小和作用线的方向角的方向角2 .86321481433arctgFFarctgpzpx由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一定通过球心由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一定通过球心受的拉力各为多少？和组的角速度旋转时，螺栓线以，试求容器绕其轴，圆筒部分重，顶盖重液面高度为装有测压管，测压管内的液体，顶盖中心，容器内充满密度为器直径为如图所示，一圆筒形容例2110221GGhdgzrpe2221静止液体作用在固体壁面上的总压力解解取取z z轴铅直向上，轴铅直向上，xoyxoy水平面，坐标原点选在水平面，坐标原点选在测压管的自由液面上，由于顶盖上和液面上测压管的自由液面上，由于顶盖上和液面上均有大气压的作用，所以压强以计示压强表均有大气压的作用，所以压强以计示压强表示较为简单，由前述的等角速旋转容器中流示较为简单，由前述的等角速旋转容器中流体静压强的分布公式知，顶盖上液体压强的体静压强的分布公式知，顶盖上液体压强的分布规律为分布规律为在顶盖的下表面上有在顶盖的下表面上有z z=-=-h h，其压强分布规律，其压强分布规律为为ghrpe2221将上式在顶盖上积分，就可以求出液体对顶将上式在顶盖上积分，就可以求出液体对顶盖的作用力，进而求出螺栓组盖的作用力，进而求出