2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第四层热身篇：专题检测(六)三角函数的图象与性质

1、专题检测(六) 三角函数的图象与性质 A组 “ 6+ 3 + 3”考点落实练 、选择题 1.(2019 合肥市第一次质检 1 ( n、 )已知 cos a - Sin a = 5，贝卩 cos 2 a =( )24 A. - 25 B. - 4 5 24 C C.25 4 D.5 解析：选 C 由 cos 1 1 、 24 、 f n、 a sin 1 sin 2 a sin 2 a cos 2 a =sin 2a= 24，故选 C. 25 2. (2019 湖南省五市十校联考 )已知函数 f(x)= 2 , 3sin xcos x + 2cos2x+ 1，贝 U ( ) A. f(x)的最小

2、正周期为n，最大值为 3 B. f(x)的最小正周期为n，最大值为 4 C. f(x)的最小正周期为 2 n,最大值为 3 D. f(x)的最小正周期为 2 n，最大值为 4 2 n f(x)的最小正周期为2 =n，最大值为 2+ 2 = 4.故选 B. 3. (2019 四川攀枝花模拟)函数 f(x) = Asin( 3x+QA0, 30, W |v专 的部分图象如图 A. g(x)= 2sin 2x (n、 B. g(x) = 2sin 2x- C. g(x) = 2sin 2x- 解析：f(x)= 2 3sin 所示，现将此图象向右平移 n 芯个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数

3、g(x)的解析式为( 2,则 D. g(x)= 2sin 2x 专解析：选 D 根据函数 f(x) = Asin( +A0, 0, W |v?的图象可得 A= 2g 弩 4.(2019 昆明市质量检测)将函数 y= sin 2x寸 的图象向左平移 寸个单位长度，所得图象 对应的函数在区间m, m上单调递增，则 m 的最大值为( 冗 A.? 冗 B.7 3n CT 冗 D.y 解析：选 A 函数 y = sin 2x 才 的图象向左平移 移n个单位长度后，所得图象对应的函数 解析式为 y= sin 2 x+ 寸 =cos 2x _ 7t n , n 3 n ,由一n + 2k n W 2x W

4、2k n (k Z)，得一 4 4 n + kn W xW + kn (k Z),所以当 k= 0 时函数的一个单调递增区间是 8 节，；，所以m 冗 的最大值为 g.故选 A. 8 5.(2019 全国卷I )关于函数 f(x) = sin |x|+ |sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数；f(x)在区间 n, n单调递增； f(x)在n , n 有 4 个零点；f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是 ( ) A. B. C. D. 解析：选 C 中，f( x)= sin| x|+ |sin( x)|= sin |x|+ |sin x|= f(x),. f(x)是偶函数

5、， 正确. 中，当 x , n时，f(x)= sin x+ sin x= 2sin x,函数单调递减，错误 . 中，当 x= 0 时，f(x) = 0, 当 x (0, n 时，f(x) = 2sin x,令 f(x) = 0,得 x=n . 象，故选 D. 再根据五点法作图可得 n n n 23 +片1， W=石， 函数 f(x)= 2sin 2x 6 = 2sin 2 x ni 12 . 把 f(x)的图象向右平移 右个单位长度得到函数 g(x)= 2sin 2 2x3 的图 2sin 冗 x12 71 3 又/ f(x)是偶函数, 函数 f(x)在 n,n 上有 3 个零点，错误 中，T

6、 sin XS |sin x|,. f(x) 2|sin x|0, |0 |-2 的部分图象如图所示，f(a)= f(b) = 0, A.f(x)在 ,肴上是减函B.f(x)在-5nn C.f(x)在 , 5 上是减函数 D.f(x)在才, 5n上是增函数 6 解析：选 B 由题图可知 A= 2,则 f(x)= 2sin(2x+ 0). n 则 sin(a + b + 0) = 1, a+ b + 0= + 2k n, k Z. 由 f(a + b)= 3 得 sin2(a+ b)+ 0 =于, n t 2(a + b) + =可 + 2kn, k Z,或 2(a + b) + k Z, 2

7、n n 所以 0= + 2kn 或 0= + 2k n, k Z,又 | 0|V ，所以 7t f(x) = 2sin 2x+,当 x 所以 f(x)在筈,n上是增函数.当 x才, 寸，2X+_3 ( n, 2 n ), 所以f(x)在 先减后增故选 B. n 12 因为 f(a)= f(b)= 0，所以 f 2, 7.(2019 全国卷 I )函数 f(x)= sin 2x+ 琴 3cos x的最小值为 即 f(x)在区间 2, 3 上的值域为 解析：T f(x) = sin 2x+ 32n 2 =cos 2x 3cos x= 2cos x 3cos x+ 1, 令 t = cos x,贝

8、U t 1 , 1, f(x)= 2t2 3t+ 1. 3 一 3 -1，1，且开口向下 当t =1时，f(x)有最小值 答案：4 n n 2x 2 4. 3cos x 又函数 f(x)图象的对称轴 8.(2019 福建省质量检查 )在平面直角坐标系 xOy 中，角a的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴 的正半轴重合，终边交单位圆 O 于点 P(a, b), 且 a+ b= f，贝 U cos 2 a +专的值是 7t 解析：由三角函数的定义知 cos a = a, sin a = b, - cos a + sin a = a+ b=7, (cos a 5 +sin a)2=1 +sin 2a=

9、 45， 49 彳 24 -sin 2 a=云1=25， n I 二 cos 2 a + 2 = sin 2 a 24 25. 答案：25 9.已知 = ,f(x)在区间 1 , 3 /上的值域是 n 解析：由题意知 f(x)的最小正周期 T = 4 , o =, / f(x) = sin + W 又 f(2)= sin( n+ W)= 1 , n n+ A ? + 2k n，k z. n i n n 又W|n, 0= , f(x) = sin yx- 由 x 1 n n i，3，得 Tx2 2n=n, 3= 2,. f(x)= 2sin(2x +0, :f 于=0, 2 n 即 A 2F+

10、kn，kz. n n | n 丨01 0, 3 0, W |v守 的部分图象如图 所示. (1)求函数 y= f(x)的解析式; 说明函数 y= f(x)的图象可由函数 y= 3sin 2x- cos 2x 的图象经过怎样 的平移变换得到 解：由题图可知，A= 2, T = + W= 0,. 0+ 号=kn, k Z, =2sin 2 n x 7 71 H 71 石=n， / sin 5 n 故将函数 y= .3sin 2x cos 2x 的图象向左平移 才个单位长度就得到函数 y= f(x)的图象. 11.已知 m = sin x才，1 ，n = (cos x, 1). (1)若 m / n

11、,求 tan x 的值; 若函数 f(x) = m n , x 0 , n ，求 f(x)的单调递增区间 解：(1)由 m / n 得，sin x cos x= 0，展开变形可得，sin x= 3cos x,即卩 tan x= ,3. 7t (2)f(x)= m n = sin x cos x+ 1 23sin xcos x cos2x+ 1 3 cos 2x+1 . Tsin 2x +1 从而可得 mW 2. 所以实数 m 的取值范围为(一R, 2. B组一一大题专攻强化练 1. 已知函数 f(x)= , 3sin24x + sin 4xcos 4x. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程

12、； 求函数 f(x)在区间一 24, 刃上 的最值. 解：(1)f(x)= ,3sin24x+ sin 4xcos 4x1 =2 sin 2xcos n n 6 一cos 2xsin 厂 + =2sin 2x-? 3 4, , n n n 由-+ 2knW2x-石七+ 2kn，k z, n n 得一+ kn x m 有解, 因为 x 0,所以 n 2x+石 ( n n 故当2x+ = 2，即x n =_6 时，f(x)取得最大值, -1 cos 8x 1 3 X 2 + 戸 n 8x 1 3 3 =sin 8xcos 8x+ - =sin 8x I + 令 8x nn = kn+n(k Z),

13、得 x= k8n + 5|8(k Z), 所以函数 f(x)图象的对称轴方程为x =号+诗隠 Z). 由得 f(x)= sin 8x3 + 所以一 1 + 于 W sin 8x nn + 揺 W 3, 2. 已知向量 m = (2sin 3 x, sin 3 x), n = (cos 3 x, 23sin 3 x)( 30)，函数 f(x)= m n n + , 3,直线 x= X!, x= X2是函数 y= f(x)的图象的任意两条对称轴，且 X2|的最小值为. (1)求3的值; 求函数 f(x)的单调递增区间 解： 因为向量 m = (2sin 3 x, sin 3 x), n = (co

14、s 3 x, 2 3sin 3 x)(30)，所以函数 f(x)= mn + ,3 = 2sin 3 xcos 3 x+ sin 3x( 2 ,3sin 3x) + , 3 = sin 23x 2,3sin23x+ ,3 = sin 2 3 x+ , 3cos 2 3 x= 2sin 2 3 x+ n 因为直线 x= xi, x= X2是函数 y = f(x)的图象的任意两条对称轴，且 |X1 X2|的最小值为, 所以函数 f(x)的最小正周期为 X 2=n,即 2=冗，得3= 1. 2 2 3 由(1)知，f(x) = 2sin 2x+nn , n n n 令 2k n W 2x+ W 2k

15、n+ y(k Z), 5 n n 解得 kn W xW kn+ 石(k Z), 因为 x 7t 所以 8x 才 j n sin 8x 所以函数24 12 的最大值为.3,最小值为l + f. 5 n n H 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kn 5i2，kn +乜(k Z). 3. 已知函数 f(x)= 3sin 2w x + cos4 x sin4 x+ 1(0 w 1)，若点 一；,1 是函数 f(x)图 象的一个对称中心. 1 i rp V 9 -1- - L i _ L_. -J_ -L-, _ _ J _ 4 * 1 J i i i 1 1 1 ii I i i p h b 9

16、4 1 t ii i L i i V 1 1 l i | I | I -1 I (1)求 f(x)的解析式，并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程； 先列表，再作出函数 f(x)在区间n , n 上的图象. 解：(1)f(x) = /3sin 2 w x + (cos2 wx sin2 w x) (cos2w x + sin2 wx) + 1 =3sin 2 w x+ cos 2w x+ 1 ( n =2sin 2wx + 6 + 1. 点一 6, 1 是函数 f(x)图象的一个对称中心， w n n 1 .一 + = k n, k Z,. w = 3k+：, k Z. 3 6 2 1 ( n T 0 w 0, 0 w 图象的相邻两对称轴之间的距离为 n 在 X = 时取得最大值 1. 8 (1)求函数 f(x)的解析式; 取值范围. n 2 n 解：(1)由题意，T= 2x -y =n，故 3=n= 2, 所以 sin 2 x 8 + 冗 = 2k n+ ,k Z. 4 所以 冗 才 + = 2kn + -, k Z, 因为 n n ow 2，所以 =4, 所