金融工程第4章

1、第第 4章章利率利率期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20121内容内容利率的分类与计量债券定价远期利率久期与曲率(略过，不要求)利率期限结构利率的种类利率的种类国债利率伦敦同业银行拆出利率（LIBOR）再回购利率期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20123国债利率国债利率国债收益率是投资者投资国库券或国债时所挣得的收益率。国库券和国债是政府借入以自身货币为计量单位的资金而发行的金融产品。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20124LIBOR和和LIB

2、ID LIBOR 是指银行将资金存入其他大银行的利率 (其他大银行必须达到的信用等级通常为AA级) 。主要货币期限12个月的LIBOR 每天由英国银行家协会（BBA）提供。LIBID ，即伦敦同业银行拆入利率，是指AA级银行对将资金存入自己银行的其他银行所支付的利率。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20125再回购利率再回购利率在再回购合约中，持有证券的投资者同意将证券以价格X出售给合约的另一方，并在将来以稍高的价格Y将证券买回。合约中的另一方给投资者提供了资金贷款。证券卖出价Y与买入价X的差价即为贷款利息，相应的利率被称为再回购利率。期权、期

3、货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20126无风险利率无风险利率衍生产品交易人员的传统做法是将LIBOR视为短期无风险利率。由于一系列原因，通常认为国债利率较低（见业界事例4-1）。 后续章节将会解释：可以用欧洲美元期货和利率互换将LIBOR收益率曲线延长到1年以上；对于无风险利率的近似，隔夜指数互换利率逐渐取代LIBOR。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20127利率的计量利率的计量复利频率定义了利率的计量方式。季度复利利率与年度复利利率之间的差异有点类似于英里和公里之间的差异。期权、期货及其他衍生产品

4、（第八版） Copyright John C. Hull 20128表表4-1 利率每年利率每年10%时复利频率增加对投资回报的影响时复利频率增加对投资回报的影响期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20129复利频率100美元的投资在一年后的价值（美元）每年复利1次(m=1)110.00每年复利2次(m=2)110.25每年复利4次(m=4)110.38每年复利12次(m=12)110.47每年复利52次(m=52)110.51每年复利365次(m=365)110.52 假设将数量为A的资金投资n年，如果利率R是对应于一年复利m次，那么投资终值为

5、A(1+R/m)mn 连续复利（连续复利（P56）连续复利利率：复利频率m趋于无穷大时所对应的利率。如果连续复利利率为R，那么将100美元投资T年的终值为100eRT美元。如果连续复利利率为R，那么T年后收到100美元的现值为100e-RT美元。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201210转换公式转换公式 (P57)定义定义Rc : 连续复利利率Rm: 与之等价的每年m次复利利率期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201211RmRmRm ecmmRmcln/11例例利率报价为每年10%按半年复利，

6、与之等价的连续复利利率为 2ln(1.05)=9.758% 利率报价为每年8%，连续复利，利息每季度支付一次，与之等价的按季度复利的利率为4(e0.08/4 -1)=8.08% 期权定价中使用的利率基本上都是连续复利利率。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201212零息利率零息利率 N年的零息利率（即息利率）是指在今天投入资金在连续保持N年后所得的收益率。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201213表表4-2 国债零息利率国债零息利率(p58)期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyrigh

7、t John C. Hull 201214 期限（年）零息利率 （连续复利，%）0.55.01.05.81.56.42.06.8债券定价债券定价债券的理论价格等于对债券持有人在将来所收取的现金流以不同的零息贴现率进行贴现后的总和。在我们的例子中，一个2年期债券的面值为100美元，券息为6%，每半年付息一次，零息利率由表4-2给出。债券的理论价格为期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20121533310398390 05 0 50 058 1 00 064 150 068 2 0eeee.债券收益率债券收益率债券收益率等于对所有现金流贴现并使债券的

8、价格与市场价格相等的贴现率。假定我们上面考虑的债券理论价格也等于市场价格，即98.39美元。如果y表示按连续复利的债券收益率，我们有 通过迭代法就能得出 y=0.0676 或 6.76%。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20121639.981033330 . 25 . 10 . 15 . 0yyyyeeee平价收益率平价收益率对应于具有一定期限的债券平价收益率是使债券价格等于面值的券息率。采用表4-2中的零息利率，由以下方程期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201217（按半年复利）可直接得出

9、%876 10021002220 . 2068. 05 . 1064. 00 . 1058. 05 . 005. 0.c=ecececec平价收益率（续）平价收益率（续） 一般地讲，如果d为债券到期时收到1美元的贴现值，A为一个年金（即在每个券息日支付1美元）现金流的当前价值， m是每年券息支付的次数，因此有在我们的例子中，m = 2, d = 0.87284, A = 3.70027期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201218Amdc)(100100 表表4-3 票息剥离法采用的数据（票息剥离法采用的数据（P59）期权、期货及其他衍生产品（第

10、八版） Copyright John C. Hull 201219债券本金（美元） 期限（年）年息票（美元）债券价格（美元）1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6* 票息每半年支付一次。票息剥离法票息剥离法第一个债券对97.5美元的投资在第三个月后的总收入为100美元，即赚得2.5美元。因为100=97.5e0.101270.25 ，所以3个月的连续复利利率为 10.127% 。同样，6个月和1年的连续复利利率分别为10.469%和10.536%。 期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright Jo

11、hn C. Hull 201220票息剥离法（续）票息剥离法（续）假定在1.5年所对应的零息利率为R，那么 由此得到 R = 0.10681 或 10.681%同样，2年期的零息利率为 10.808%期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 20122196104445 . 10 . 110536. 05 . 010469. 0Reee 期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201222零息利率 (%)期限（年）10.12710.46910.53610.68110.808图4-1 由票息剥离法得出的零息利率远期

12、利率远期利率期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201223远期利率是由当前零息利率所蕴含出的将来一定期限的利率。远期利率的计算公式远期利率的计算公式假设连续复利利率R1和 R2分别对应期限为T1和 T2的零息利率。T1与 T2 之间的远期利率为当利率不是连续复利利率时，这个公式近似成立。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201224R TR TTT221121公式的应用公式的应用期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201225期限（年）对应于n年投资零息

13、利率（每年，%）第n年的远期利率（每年，%）13.024.05.034.65.845.06.255.56.5瞬时远期利率瞬时远期利率期限为T的瞬时远期利率是指用于在T开始的一段很短时间内的远期利率，可表示为 式中，R为期限为T的零息利率。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201226RTRT向上和向下倾斜的收益率曲线向上和向下倾斜的收益率曲线向上倾斜的收益率曲线：远期利率 零息利率 平价收益率向下倾斜的收益率曲线：平价收益率 零息利率 远期利率 期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 2012272021

14、-12-828远期利率协议远期利率协议( (FRA，forward rate agreements) )基本概念基本概念FRA是指交易双方同意在未来某一确定时间，是指交易双方同意在未来某一确定时间，对一笔规定了期限的名义金额按协定利率支付对一笔规定了期限的名义金额按协定利率支付利息的合约。利息的合约。FRA是交易双方为规避未来利率风险或利用未是交易双方为规避未来利率风险或利用未来利率波动进行投机而约定的一份协议，是在来利率波动进行投机而约定的一份协议，是在某一固定利率下的远期对远期名义贷款，但不某一固定利率下的远期对远期名义贷款，但不交割贷款本金，只交割协议利率与参考利率的交割贷款本金，只交割

15、协议利率与参考利率的利差部分。利差部分。2021-12-829远期利率协议远期利率协议( (FRA) )基本概念基本概念FRA包含的基本概念包含的基本概念买方和卖方：买方是名义上承诺借款的一方买方和卖方：买方是名义上承诺借款的一方，卖方是名义上提供贷款的一方，卖方是名义上提供贷款的一方标价货币或协议货币：协议金额的面值货币标价货币或协议货币：协议金额的面值货币协议金额：名义上借贷本金的数量协议金额：名义上借贷本金的数量协议利率：协议利率：FRA中规定的借贷固定利率中规定的借贷固定利率参考利率：被广泛接受的市场利率，如参考利率：被广泛接受的市场利率，如LIBOR，用以计算交割额，用以计算交割额2

16、021-12-830远期利率协议远期利率协议( (FRA) )基本概念基本概念FRAFRA涉及的几个时间概念涉及的几个时间概念交易日：交易日：FRAFRA交易的执行日交易的执行日即期日：在交易日两天之后，是递延期限的起始时间即期日：在交易日两天之后，是递延期限的起始时间交割日：名义贷款的开始日，在这一天交易的一方向另一交割日：名义贷款的开始日，在这一天交易的一方向另一方支付经过贴现的利息差方支付经过贴现的利息差基准日：确定参考利率的日子，在交割日之前两天基准日：确定参考利率的日子，在交割日之前两天到期日：名义贷款的到期日。如果正好是休息日，那么顺到期日：名义贷款的到期日。如果正好是休息日，那么

17、顺延到下一个工作日延到下一个工作日协议期限：是名义贷款期限，等于交割日与到期日之间的协议期限：是名义贷款期限，等于交割日与到期日之间的实际天数实际天数 2021-12-831远期利率协议远期利率协议( (FRA) )时间图时间图 递延期限递延期限 协议期限协议期限 2天天 2天天 交易日交易日 即期日即期日 基准日基准日 交割日交割日 到期日到期日2021-12-832远期利率协议远期利率协议( (FRA）例子：例子：1993年年4月月12日成交一份日成交一份1个月对个月对4个月的远期利个月的远期利率协议（率协议（1/4）的递延期限为）的递延期限为1个月，协议期限为个月，协议期限为3个月个月交

18、易日交易日1993/4/12（星期一）；（星期一）；即期日即期日1993/4/14（星期三）；（星期三）；基准日基准日1993/5/12（星期三）；（星期三）；交割日交割日1993/5/14（星期五）；（星期五）；到期日到期日1993/8/16（星期一）。（星期一）。由于由于1993年年8月月14日是星期六，顺延到下一个工作日是星期六，顺延到下一个工作日就是日就是8月月16日（星期一），合约期限为日（星期一），合约期限为94天天2021-12-833远期利率协议远期利率协议( (FRA) )交割额的交割额的计算计算交割额是由按协议利率、参考利率、协议期限和交割额是由按协议利率、参考利率、协议期

19、限和协议金额决定的。协议金额决定的。由于由于FRA的交割日是在名义贷款期初，而不是名的交割日是在名义贷款期初，而不是名义贷款期末，因此交割额与一般利息的计算稍有义贷款期末，因此交割额与一般利息的计算稍有不同：交割额的计算需要进行贴现。不同：交割额的计算需要进行贴现。2021-12-834远期利率协议远期利率协议( (FRA) )交割额的交割额的计算计算具体来说，交割额的计算分为两步：具体来说，交割额的计算分为两步：取基准日的参考利率与协议利率之差，乘以协议金取基准日的参考利率与协议利率之差，乘以协议金额，再乘以协议期限，得到名义贷款的利息差。额，再乘以协议期限，得到名义贷款的利息差。以参考利率

20、作为贴现率，对上一步计算得到的利息以参考利率作为贴现率，对上一步计算得到的利息差进行贴现，计算出利息差在交割日的现值，即交差进行贴现，计算出利息差在交割日的现值，即交割额。割额。 2021-12-835远期利率协议远期利率协议( (FRA) )交割额的计算交割额的计算D：协议期限；协议期限；B：一年的天数；：一年的天数；L：参照利率；：参照利率；F：协议利率；：协议利率；P：本金金额；：本金金额；A：协议交付金额。：协议交付金额。()LF DPABLD远期利率合约：关键结论远期利率合约：关键结论 远期利率合约等价于将预定利率RK 转换为市场利率的合约。对FRA进行定价时，我们假定远期LIBOR

21、利率RF会被实现。这意味着, FRA的价值是协议预定利率RF 与市场远期可实现利率RK 之间利差的现值。期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201236定价公式定价公式如果FRA对应的时期是从T1到T2，那么我们假设复利期间长度为T1到T2的年利率分别为RF 和 RK 。对于利率RK，T2时刻的利率现金流为 RK (T2 T1)对于利率RF，T2时刻的利率现金流为 RF(T2 T1)期权、期货及其他衍生产品（第八版） Copyright John C. Hull 201237定价公式（续）定价公式（续）当本金L对应的收入利率为RK时（合约卖方），FRA的价值就是T2时刻如下现金流的现值:当本金L对应的支付利率为RK时（合约买方），FRA的价值就是T2时刻如下现金流的现值:将支付现金流以即期利率折现为远期利率合约当前价格。 期权、期货及其他衍生产品