多变量约束优化算法实例

1、1、非线性不等式约束【例1】已知f(x) = ex1 ?(4x12 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1),且满足非线性约 束：xx2 - x1 - x2 < -1.5-、心2 >-10，求吁四。【分析】fmincon函数要求的约束一般为c(x) <0。故对约束条件要变形。【程序活单】%编写目标函数：function y=objfun(x)y=exp(x(1)*(4*x (1) A2+2*x (2) A2+4*x (1) *x (2)+2*x (2)+1);%编写返回约束值得函数：functionc,ceq= confun(x)%线性不等式约束c=1.5+x (1

2、) *x (2) -x (1) -x(2); -x(1)*x(2)-10;%线性等式约束ceq=;x0=-1,1;% 采用标准算法options=optimset('largescale','off);%这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScaie旨大规模搜索，off表示在规模搜索模式关闭。x,fval=fmincon('objfun',x0,'confun',options)【输出结果】x =-9.54741.0474fval =0.02362、边界约束问题【例 2】已知 f(x) = ex1 ?(4x12 + 2x22 + 4x

3、1x2 + 2x2 + 1)，求 min f(x)。x且满足非线性约束：xix2-xLx2 ； -1-5xi x2 >-10边界约束：x1 J Ox2 > 0【分析】此类问题在非线性约束的基础上增加了变量x的边界条件，在fmincon函数输入参数中加上Ib和ub参数即可。【程序活单】%编写目标函数：function y=objfun(x)y=exp(x(1)*(4*x (1) A2+2*x (2) A2+4*x (1) *x (2)+2*x (2)+1);%编写返回约束值得函数：functionc,ceq= confun(x)%线性不等式约束c=1.5+x (1) *x (2) -

4、x (1) -x(2); -x(1)*x(2)-10;%线性等式约束ceq=;x0=-1,1;%设置下界Ib=0,0;%无上界ub=;% 采用标准算法options=optimset('largescale','off);%这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScaie旨大规模搜索，off表示在规模搜索模式关闭。x,fval=fmincon('objfun',x0,lb,ub,'confun',options)【输出结果】x =01.5000fval =8.5000>> c,ceq=confun(x)c =-0.0000-

5、10.0000ceq =01.50003、利用梯度求解约束优化问题【例3】已知f(x) = eX1 ?(4xi2 + 2x22 + 4x1X2 + 2x2 + 1),且满足非线性约 束：广'2 x x1 ->x2| j-1.5，求 minf(x)。xi x2 Q -10x【分析】一般来说，标准算法求解函数的最小值常使用由有限差分逼近的到的离 散数字梯度，在这个过程中，为了计算目标函数约束的偏微分，所有变量被系统地加以调动。当使用梯度求解上述问题时，效率更高并且结果更精确。题目中目标函数的偏微分为：?f=ex1 ? (4xi 2 + 2x22 + 4xix2 + 2x2 + 1)

6、+ ex1 ?(8 ?x(1) + 4?x(2)?x= ex1 ?(4xi + 4x2 + 2)【程序活单】%编写目标函数和梯度的 m文件：function f,g=objfun(x)f=exp(x(1)*(4*x (1) A2+2*x (2) A2+4*x (1) *x (2)+2*x (2)+1);t=exp(x(1)*(4*x (1) A2+2*x (2) A2+4*x (1) *x (2)+2*x (2)+1);% g中包涵着目标函数的偏微分信息g=t+ exp(x(1)*(8*x (1)+4*x (2); exp(x(1)*( 4*x(1) +4*x(2)+2);%编写不等式约束及其

7、梯度的.m文件：functionc,ceq,dc,dceq=confun(x)%不等式约束c=1.5+x (1) *x (2) -x (1) -x(2); -x(1)*x(2)-10;%勺束的梯度dc=x(2)-1,-x(2);x(1)-1,-x(1);%没有非线性约束ceq=;dceq=;% dc的列包涵着不同约束各自的偏微分，也就是说，dc的第i列是第i个约束条?c1 ?c2件对x的偏微分 布止匕攵卜dc%?x 1 ?"1 一x2 - 1 -x 1 Ixc 八1=1I?c1 ?c2x1 - 1 -x 2?x 2 ?x 2x0=-1,1;%设置下界Ib=0,0;%无上界ub=;%

8、采用标准算法options=optimset('largescale','ofT);%这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScaie旨大规模搜索，off表示在规模搜索模式关闭。options=optimset( options,'GradObj','on','GradConstr','on');x,fval=fmincon('objfun',x0,lb,ub,'confun',options)>> c,ceq=confun(x)【输出结果】fval =8.50

9、00>> c,ceq=confun(x)c =0-10ceq =4、等式约束优化【例4】已知f(x) = ex1 ? (4x 12 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1),且满足非线性约 x x2 - x - x2 v -1.5束：x1x2 >-10求 min f(x)。x12 + x2 - 1 = 0【分析】此问题在前述问题的基础上增加了一个等式约束，等式约束的信息可以含在MATLABffi化工具箱函数的输入参数：矩阵 Aeq和向量b中，为符合优化函数的 x1x2 - x1 - x2 + 1.5 < 0调用形式，将约束转化为：-10 - x1x2 <

10、 02 x1 2 + x2 - 1 = 0【程序活单】%编写目标函数：function f=objfun(x)f=exp(x(1)*(4*x (1) A2+2*x (2) A2+4*x (1) *x (2)+2*x (2)+1);%编写返回约束值得函数：functionc,ceq= confun(x)%线性不等式约束c=1.5+x (1) *x (2) -x (1) -x(2); -x(1)*x(2)-10;%线性等式约束ceq=x(1)A2+x(2)-1;% 是否可以加ceq=x(1)A2+x(2)-1;x0=-1,1；% 无边界约束Ib=;ub=;% 采用标准算法options=optimset('largescale','off);%这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScaie旨大规模搜索，off表示