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文档简介

1、如何求解参数的矩估与极大似然估计一、矩估计若统计量t作为总体参数e （或g（e）的估计时，t就称为e （或g（e）的估计量。定义6.1矩估计量 设X1,X2，Xn是总体X的样本，X的分布函数F（x:01，桃）依赖于参数 伊,Ek,假定X的r阶矩为EXr =知（。1，说），r=1,，k,（或r阶中心矩）相应的样本矩记为Ar（X1，Xn）,如下的k个议程Ar（X"，Xn）=否（印,，既），=1,，k（6.1）的解，称为未知参数：，ek的矩估计。二、最（极）大似然估计设总体x的密度函数f（x,e）,e是参数或参数向量，X1,X2,，Xn是该总体的样本，对给定的一组观测值 x1,x2，xn，

2、其联合密度是6的函数，又称似然函数，记为：L（e）=l（，x1，xn） =n Lf （xk，e）,8 2其中e为参数集，若存在 彳=彳（x1，xnKO,使L间芝L（8）,n在。就称&（x1，xn）是8的最大似然估计值，而 街X1,，Xn）是。的最大似然估计量。注：1）对给定的观测值，L （日）是日的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值x1, x2，,xn出现的“概率”达到最大的序作为9的估计。2 ）最大似然估计具有不变性，即若孕是臼的最大似然估计，则 g（6）的最大似然估计为g（）。但是，矩估计不具有不变性，例如假定X是e的矩估计，一般情形下，e2的矩估2计不是X 。1.设总体E服从

3、指数分布，其概率密度函数为f （x） = e " ° ' X ,（。0）x ： 0试求参数。的矩估计和极大似然估讨1_x:&的概率密度为f（x；e）=%e -, x _ 0 .八-C 00, x ： 0Xie -似然函数为:nL - rji ii 4xi用-ln L = nlnd In L =-ndI 一n二.x = 0i己2.因此得到参数e的极大似然估计量为:矩估计求法如下:从而e的矩估计量为设母体e具有指数分布,nXi n i i密度函数为f（X）=<0 5，（入 >0）x ： 0解：参数舄的矩估计求法为： 因为11 n=A1xin i j则

4、赤的矩估计量为：= = -A '、Xii 4极大似然估计求法如下：涉 a,fe'x, x 2 0匕的概率密度为f（x,九）=<0, x ： 0似然函数为：nL. ；. ： | ；.e'Xi,x _0 iT而 ln L = n ln，-xi i日解得君的极大似然估计量为： 眼-'、'xii m3.设总体XN（p ,1）, （Xi，Xn）为来自X的一个样本，试求参数a的矩估计和最大似然解：矩估计求法为:1 n 令= A= 一、 n i 1极大似然估计求法为:X的概率密度为:似然函数为:nn=2二2 e i-n1 n, 2ln L ln 2二-' x -

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