17-18版第4章第18课课时分层训练18

1、课时分层训练( (十八) A 组基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、填空题 1. _ 当函数 y=x 2x取极小值时，x 等于 . 1 -ln2 令 y 二 2x+ x2x|n2 二 0, -x= 经验证，- 1 -ln 2为函数 y= x 2x的极小值点. 2. _ 函数 y= In x x 在 x (0, e上的最大值为 _ . 1 函数 y= In x x 的定义域为(0,+x). 1 1 一 x 又 y = 1=一-，令 y = 0 得 x= 1, 当 x (0,1)时，y 0,函数单调递增； 当 x (1, e时，y v0,函数单调递减. 当 x= 1 时，函数取得最大值一 1.

2、 3. 已知函数 f(x)= x3 + ax2 + (a + 6)x+ 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 (,3)U (6,+x) f(x) = 3x2 + 2ax+ (a + 6), 由已知可得 f (x)二 0 有两个不相等的实根， = 4Q2 4 x 3(a+ 6) 0 ，即 卩 a2 3a 18 0 , -a 6 或 av 3. 2 x 4. 设函数 f(x) = ax + bx+ c(a, b, c R),若 x= 1 为函数 f(x)e 的一个极值点，则下列 图象不可能为 y = f(x)图象的是 _.(填序号) 62172101】 图 18-3 因为f(x)ex =

3、 f，(x)ex+ f(x)(ex) =f(x) + f (x)ex，且 x= 1 为函数 f(x)ex的一个 极值点，所以 f( 1) + f ( 1) = 0.选项中，f( 1)0, f ( 1)0,不满足 f ( 1) + f( 1)=0. 1 3 2 5函数 f(x) = 3x3 + x2 3x 4 在0,2上的最小值是 _ . 2 17 f (x) = x + 2x 3,令 f (x) = 0 得 x= 1(x= 3 舍去)，又 f(0)= 4, f(1) = , 10 17 f(2)= j，故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1)= 空 6设 a R，若函数 y = ex+ ax

4、 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是 _ . (乂， 1) . y= ex+ ax,： y = ex+ a. 函数 y= ex+ ax 有大于零的极值点， 则方程 y = ex + a = 0 有大于零的解， .x 0 时，ev 1,二 a = e v 1. 7. _ 已知函数 f(x) = x3 + ax2 + bx+ a2在 x= 1 处有极值 10,则 f(2) = _ . 【导学号：62172102】 18 .函数 f(x) = x3 + ax2 + bx+ a2在 x= 1 处有极值 10,且 f (x)= 3x2 + 2ax+ b, f(1)= 10,且 f (1)= 0,

5、 即 J + a+ b+ a = 10, L.3 + 2a+ b= 0, a= 3, 而当 时，函数在 x= 1 处无极值，故舍去. Jb= 3 f(x) = x3 + 4x2 11x+ 16. f(2)= 18. 8. 函数 f(x) = x3 3ax+ b(a0)的极大值为 6,极小值为 2,贝 U f(x)的单调递减区间是 (1,1) . f (x)= 3x2 3a, 由 f (x) = 0 得 x= a. 由 f (x)0 得 x a 或 x , a；17 3 a= 3 解得 Jb= 3 a= 4, 或 Jb= 11. 由 f (x)0 得一 ax a. 二 x=_a 是极大值点，x

6、= a 为极小值点. a/a 3a/a+ b = 2, aa+ 3aa+ b 6. 解得 a 1, b 4， f (x) 3x2 3. 由 f (x)0 得 3x2 30，即一 1x0 得 x0, 由 f (x)0 得 0 x2. 要使 f(x)在(a, a+ 5)上存在最小值，则 a0a+ 5, fa 戸 f(0 , 5a 0. 解得3 a0. 10. (2017 南通模拟)函数 f(x) x3 3x 1，若对于区间3,2上的任意 为，沁，都有|f(x f(x2)| t,贝 U 实数 t 的最小值是 _ .【导学号：62172103】 20 因为 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x+

7、1),令 f (x) 0,得 x，所以一 1,1 为函数的 极值点. 又 f( 3) 19, f( 1) 1, f(1) 3, f(2) 1，所以在区间3,2上, f(x)max 1 , f(x)min 19.又由题设知在区间3,2上 f(x)max f(x)min 20,所以 t 的最小值是20. 二、解答题 ；f 心尸 2, f(弟尸 6. 即11. 已知函数 f(x) ax3 + bx+ c 在点 x 2 处取得极值 c 16. (1)求 a, b 的值； 若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在-3,3上的最小值. 解(1)因为 f(x) = ax3 + bx+ c, 故 f (x)

8、 = 3ax2 + b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c- 16, 即严+ 20, ,8a+ 2b + c= c 16, 由知 f(x) = x3 12x+ c, f (x)= 3x2 12= 3(x 2)(x+ 2), 令 f (x) = 0,得 X1= 2, x2 = 2. 当 x (, 2)时，f (x)0, 故 f(x)在(一x, 2)上为增函数; 当 x ( 2,2)时，f (x) V 0, 故 f(x)在(2,2)上为减函数； 当 x (2,+ x)时，f (x)0, 故 f(x)在(2,+ x)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x= 2 处取得极大值, f( 2)=

9、 16+ c, f(x)在 x= 2 处取得极小值 f(2) = c 16. 由题设条件知 16+ c= 28,解得 c= 12. 此时 f( 3)= 9+ c= 21, f(3)= 9+ c= 3, f(2)= 16+ c= 4, 因此 f(x)在3,3上的最小值为 f(2)= 4. 12. 已知函数 f(x)= In x ax(a R). (1)求函数 f(x)的单调区间； 当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值.【导学号: 1 解(1)f (x)= x a(x0). 1 当 a0,即函数 f(x)的单调递增区间为(0,+). X 化简得 任+ b= 0, _4a+ b= 8 解

10、得丿a=1, Jb= 12. 62172104】 1 1 当 a0 时，令 f (x) =- a= 0,可得 x=-， a 当 Ovxvf 时，f (x)= 当 xa 时，f (x)二VO， 故函数 f(x)的单调递增区间为 0，1， 单调递减区间为 if+x . 综上可知，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 0，1，单调递减区间为)，+* . 1 当 Y 1，即 a 1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2) = In a 2 2a. 1 1 当-2,即 Ovaw1时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)=

11、a 2 a. 当 1a2，即 1a1 时，函数 f(x)在 11, 1上是增函数，在，21 上是减函数.又 f(2) f(1) = In 2 a， 1 所以当 2aln 2 时，最小值是 f(1)= a； 当 In 2 a0 时，令 f (x)0,解得 xm 或 xvf，令 f (x)0，解得x0 得 xm，令 f (x)xm, 成立. 综上，m= 3. X 3x，X；0，则 f(x)的最大值为 2x, x0, 2 当 x 0 时，f(x) = 2xv 0;当 xO 时，f(x)= 3x2 3= 3(x 1)(x+ 1),当 xv 1 时, f(x) 0, f(x)是增函数，当一 1vxv 0

12、 时，f (x)v 0, f(x)是减函数,/.f(x斗(一 1) = 2,.f(x)的最 大值为 2. 3.设函数 f(x)= (x 1)ex kx2,当 k 1, 1 时，求函数 f(x)在0, k上的最大值 M. 解因为 f(x)= (x 1)ex kx2, 所以 f (x) = xex 2kx= x(ex2 k), 令 f (x) = 0,解得 X1= 0, x2 = In 2k, 因为 k 1 1，所以 2k (1,2,所以 0vIn 2k；In 2. 设 g(k) = k In 2k, k 2, 1 , g (k) = 1 *= k0, 所以 g(k)在 2, 1 上是减函数, 所

13、以 g(k)g(1) = 1 In 20, 即卩 0vIn 2kvk. 所以 f (x), f(x)随 x 的变化情况如下表： x (0, In 2k) In 2k (In 2k, k) m0 时，令 f f(x)在( , m)罗，+ %递增，在 im, m 递减，二 f(x)极大值=f(m) = 1，而 f(m) = 0,不 2 设函数 f(x)=* f (x) 0 + f(x) 极小值 所以函数 f(x)在0, k上的最大值为 f(0)或 f(k) k 3 f(0)= 1, f(k) = (k- 1)e - k , f(k) - f(0)二(k- 1)ek- k3 + 1 二(k- 1)e

14、k- (k3-1) =(k- 1)ek- (k- 1)(k2+ k+1) =(k- 1)ek- (k2 + k+ 1). 因为 k 1 ,所以 k-10. 令 h(k) = ek- (k2 + k+ 1),贝 U h (k) = ek-(2k+ 1). 对任意的 k舟， 1 , y= ek的图象恒在 y= 2k + 1 的图象的下方， 所以 ek-(2k+ 1)v0, 即 h (k)v0, 所以函数 h(k)在 2, 1 上为减函数，故 h(1)h(k)vh| = e2- 4 + 2+ 1 = e-彳 0, 即 f(k)f(0). 所以函数 f(x)在0, k上的最大值 M = f(k) =

15、(k- 1)ek- k3. 1 2 4.设 a0,函数 f(x) = X2-(a+ 1)x+ a(1 + In x). (1)求曲线 y=f(x)在(2, f(2)处与直线 y= x+ 1 垂直的切线方程； 求函数 f(x)的极值. a 解由已知，得 x0, f (x) = x-(a+ 1)+x, 入 y=f(x)在(2, f(2)处切线的斜率为 1, 所以 f=1, 即 2-(a+ 1)+ 号二 1, 所以 a= 0, 此时 f(2) = 2-2 = 0, 故所求的切线方程为 y=x-2.(2)f (x)二 x(a+ 1) + a x a+ 1 x+ a x =(x 1 (x a. x a当

16、 Ovav 1 时，若 x (0, a), f (x)0,函数 f(x)单调递增； 若 x (a,1), f (x)v0，函数 f(x)单调递减； 若 x (1,+), f (x)0,函数 f(x)单调递增. 此时 x= a 是 f(x)的极大值点，x= 1 是 f(x)的极小值点， 1 o 1 函数 f(x)的极大值是 f(a)= 2a2 3 + aln a,极小值是 f(1)= 1 2 b当 a= 1 时，f (x)=迂0, 所以函数 f(x)在定义域(0,+)内单调递增， 此时 f(x)没有极值点，故无极值. c当 a 1 时，若 x (0,1), f (x)0,函数 f(x)单调递增； 若 x (1,