二次函数（1）王爱清

1、二次函数二次函数(1)基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数? ? 在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总有唯一的值与它对应。总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。做函数关系。 对于上述变量对于上述变量x x 、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。 x x叫自变量，叫自变量， y y叫因变量。叫因变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变量之间的关系变量之间的关系

2、函数函数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)正比例函数正比例函数y=kx (k0)y=k/x (k0) 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个的每一个值值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关它们的具体关系可以表示为系可以表示为 问题问题1:1:y=6x2 多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？问题问题2:2: 由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,

3、从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可以作 条对角线条对角线.n(n-3) 因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连接相连接相同两顶点的对角线是同一条对角线同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN321nnd即即nnd23212 式表示了多边形的式表示了多边形的对角线数对角线数d与边数与边数n之之间的关系间的关系,对于对于n的每一的每一个值个值,d都有唯一的对应都有唯一的对应值值,即即d是是n的函数。的函数。 问题问题3 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020件件, ,计划今

4、后两年增加产量计划今后两年增加产量. .如果每年都比上一年的产如果每年都比上一年的产量增加量增加x x倍倍, ,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划将随计划所定的所定的x x的值而确定的值而确定, ,y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？问题问题: : 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即两即两年后的产量为年后的产量为20(1+x)20(1+x)2xy1202即即xxy2040202 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增

5、产的倍数x之间之间的关系的关系,对于对于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的的函数函数.函数函数有什么共同点有什么共同点? 观察：观察：y=6x2nn2 23 3n n2 22 21 1d dxxy2040202 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数都是用自变量的二次式表示的。定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做二次函数。二次函数。其中其中x是自变量，是自变量，a为二次项为二次项系数，系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做

6、一叫做一次项，次项，c为常数项。为常数项。 （3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。 注意：注意：（1）等号左边是变量等号左边是变量y，右边是关于自，右边是关于自变量变量 x的的（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。任意实数。整式。整式。a0.2(5) 函数的右边是一个函数的右边是一个 整整 式式二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式： 当当b0时，时， yax2c 当当c0时，时， yax2bx 当当b0，c0

7、时，时， yax2例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。常数项。 (1) y=3(x1)+1 (2) y=x+ (3) s=32t (4) y=(x+3)x (5)y= x (6) v=8 r1x_x1_知识运用知识运用 1、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ) (3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )不是是不是不是是不是

8、 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1） y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6驶向胜利的彼岸知识运用知识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3当当m取何值时，取何值时， 函数函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？ 122 mm解解:由题意得由题意得 一次函数一次函数y=kx+b (k 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数 y=kx(k0), 反比例函数反比例函

9、数y= (k0) ， 二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)。现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有: 可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。函数表达式与自变量的关系。xk？ （3 3）它它是是正正比比例例函函数数（2 2）它它是是一一次次函函数数？（1 1）它它是是二二次次函函数数？c c满满足足什什么么条条件件时时b b, ,当当a a, ,c c是是常常数数) )，b b, ,c c( (其其中中a a, ,b bx xa ax x函函数数y y2 20 0解解：（1 1）a a0 0b b0 0, ,( (2 2) )a a想一想想一想0 0c c0 0, ,b b0 0, ,( (3 3) )a a函数函数 y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m= 时是正时是正比例函数。比例函数。2 22 2（）当（）当m27=-1且且m+30即即m= 时是反比例函时是