工程光学习题解答光的衍射

1、工程光学习题解答第十二章光的衍射1.波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm的单缝上，以焦距为 50cm的会 聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有 asin 6 =n7jn =±1,专,±3）.中央亮纹的角半宽度为.f =-a=0.01m亮纹半宽度r0 = f .*u0_ 2 一 _ 9 _ 50 1050010=_ _ _3a 0.025 10（2）第一亮纹，有，=asin =4.493- _9= 0.0286 rad4.493，

2、_4.49350010=T' 3二 a 3.14 0.025 10r=f ,50 10 0.0286 = 0.0143m=14.3mm同理 r2 = 24.6mm（3）衍射光强I = 10i'sina 彳兀.I ,其中 a = asin8I a K当asin8=n?时为暗纹，tga =ot为亮纹对应级数00114.4930.0471827.7250.016942.平行光斜入射到单缝上，证明：（1 ）单缝夫琅和费衍射强度公式为r、2兀asin (sin 8sin i)式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；e是I =I。:(sin 臼-sin i)（2）中央亮纹的角半宽度为 A8

3、 =acosi衍射角，i是入射角(见图12-50工程光学习题解答2证明:（1）与垂直入射相比 令"a （sine-sin i）即可对于中央亮斑sin -sin i3.在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少?测得暗条纹的间距为1.5mm ,所用透镜的焦距解：设直径为a,则有一 f =d a f 632.8 10' 0.03a = = 0.0126mmd 1.5 104.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51 ）的夫琅和费衍射强a度公式，并求出当b=一时，（1）圆环衍射与半径为 a的圆孔衍射图样的中心强度

4、之比；（2）2圆环衍射图样第一个暗环的角半径。解:同样，牌I枝僧1 P点例魁陪图Eb p =b2c因此圆环在P点产生的振幅为£二巳"危2代孔1知_b2ji血|kaukb-P点强度为I _E2 _4/cz a2J(kae)b2Ji (kb ) | kankb对于衍射场中心，8=0有222二4 ： c'4, 4a b+ 44/ 2, 2 «22a bI (0 ) = 4?r2c'2'、2 2 Ja当b =时,2/ 2(1) I (0 )=4n2c'2 a 2 '2/4、2b2 a一 =c a -一8 J '、一4 J9=

5、ca164.10史Ia 0 一 162(2)第一暗纹有-.kauJi kb2Ji 腺一二 0kbB1 a .aJ1 ka = aJ1 Ik：1查表可有ka -3.1443.144'71 = =3.144 =0.51 ka2二 aa(1) 一束直径为2mm的氮氧激光(兀=632.8nm)自地面射向月球，已知地面和月3球相距3.76勺0 km,问在月球上得到的光斑有多大？ (2)如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为 4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向 月球，在月球上的光斑为多大？解：(1)圆孔衍射角半宽度为 6 =0丝a传到月球上时光斑直径为_ _90.6V0.61

6、 632.8 108D =2 1=2 I =2 m 3.76 10290.3kma1 10(2)若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径D' = 2，I =2 匹二 |=2-90.61 632.8 103.76 108 =145.2m5. 若望远镜能分辨角距离为 3x10'rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解:0.61 550 10黑 23 10J= 2.24m人眼分辨率为1' 2.9 10山rad.、2 9 10°放大率M 厂二9003 106. 若要使照相机感光胶片能分辨2Pm的线距，（1

7、）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/至少有多大？（光波波长为550nm）解：（1）胶片分辨率为 N =1 3 =500线/毫米2 10DN（2）D=1.22兀 N B- =0.34d14907. 一台显微镜的数值孔径为 0.85，问（1）它用于波长 丸= 400nm时的最小分辨距离是 多少？ （ 2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？ （ 3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为1）。_90.85解：，=冬=0.6仆400勺0 =0.295% nsin u145（2）提局 Z' =1.70.85（3）人眼在明视距离

8、处能够分辨的长度为；e = 250mm " =250 2.9 10，=7.25 10'mm放大率至少为2= 425上7.25 10 mm；'0.29 10 侦mm 1.78.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长舄= 632.8nm,透镜焦距f = 50cm ,观察到两相邻亮条纹之间的距离e = 1.5mm，并且第四级亮纹缺级。 试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1, 2, 3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为 d sin。=m舄,m =0,±1,±2取微分有 dcos'i "门-.：m工程光学习题解答令 Am =1

9、，且 cos。M ,贝U A8 B - d又 e -上 r f = 一 fd632.8 109 0.51.5 102= 0.21 10%(2)衍射极小位置为 asin - n，.a =d,n =： 1,_2m=0,_1,_2n m取 n =1,m =4d.a = = 0.05mm4(3)对于第一级亮纹有 d sin = 即 c = d sin- _2又 d =4a.asin =一4:=asin【I1 _'sin a Y(2 _、2r Lsin-bsin 2_4I。I « )dnsin<2 J4 J.第一级亮纹的相对强度=0.81同理上=0.4，上=0.0910109.1

10、0.在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为1.5m,缝宽为0.5 Pm，用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为dsin+（n -n0 ）d = m兀一块光栅的宽度为 10cm，每毫米内有 500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为 500nm。问（1）它产生的波长 丸= 632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是 多少？ （ 2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？5 , 、 1mm 1mm解：（1） d =N2 10-m500对于

11、一级主极大有 dsin -，= 2 =18.43'f r1 = =3.34 10 mmNd cos同理 r2 =4.08 10mm（2）二"d sin 8 = ml线色散4=虺土_、门 d cost、1500mm=0.26mm/nm 门 i 0.002mm cos18.43l ，=0.64mm/nmI 2而."=0.5nm.谱线间距 : - 0.26mm/nm 0.5 = 0.13mm l2 = 0.32mm11.设计一块光栅，要求（1）使波长九=600nm的第2级谱线的衍射角0 <30° , （2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长九

12、= 600nm的2级谱线处能分辨 0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使 舄=600nm的二级谱线的衍射角 8壬30。则光栅常数d应满足2 600 10°一 sin 30= 2.4 10md t m色放、=. d越小色放越大d， d cos-. .d=2.4 10°m3右第二级缺级，应有 a = =0.8 10 md由条件（4） N = = 600= 15000m 0.02 2光栅总长度L = Nd =36mm可看到最高级条纹为dsinu d 2.4 10-m = : = = 4600 10可看到0,±

13、;1,±2级1, 3级缺级，共5条条纹。12.为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为 632.8nm的一束氮氧激光的模结构(两个模之间的频率差为450MHz ),光栅需要有多宽？解：632.8nm对应的频率为4.741号014 Hz、.450 10w.=- =77 632.8 = 6 10 nm4.741 10光栅总条纹数为 N = = 632与=1.005 106m 6 101.长度为 L=Nd =1.005 106 = 879mm1200,、，Isina、 sin N P13.证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为I =i0又史I sin NI a ）

14、sin P中=典(sin 8sin i ), E = 匹(sin 8sin i) B为衍射角；i为入射角，见图12-53 , N为光栅缝数。(2)若光栅常数 d赤，光栅形成主级大的条件可以写为dcosi i =m， m =0,二 1,二2,.图12-53 习题18图 ”证明：（1）与垂直入射相也右8= = d（sinB-sini）:=sin - sin i一 二 a . .同理，= sin - sin i(2)光栅形成主极大有 d(sin日sini )=m兀工程光学习题解答i i2d cos sin =m，22d 二， W ：0i . i icos cosi ,sin222. .有 dcosi

15、【-i）=m14.有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为2N，缝宽为a,缝间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。.I a 九+e峪+e"地）+ei（a42b）+ e®N4 刘=A j "inN6=A业字exp （N-1汗同I « J 6!2 J< 2 J设复数M=1 e'1 exp i N T -22 ' t则 M M =4cos2.透射光强顷。"2令-二 bsinI =4*sin :T. Nsin -、2524 '、1cos 2:=1=4*、=12：cos2

16、-22Ai fsin6NP、-i 6E ，15.块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12。（1）求光束垂 直于槽面入射时，对于波长 丸=500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有 多大？ （ 3）试问空气间隔为1cm，精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和 自由光谱范围作一比较。(1)光栅刻痕数为N = =7.8 104 d闪耀级数为m2d sinc 1. ” f2 mm sin77 12300500 10'mmB13分辨本领为=mN 106AZ(2) 自由光谱范围为 = = ? = 38.5nmm 132h(3) F-P 标傕具的分辨

17、为 A = 0.97ms = 0.97 k、sB10自由光谱范围为，2AZ =2h50022 107= 0.0125nm比光栅小得多16.一透射式阶梯光栅由 20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板t=1cm，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度d=0.1cm。以波长兀=500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度d与九相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为：=nl -cosW d sin - n -1 l d 灯对应臼=0处，m0 =" 1） =104

18、（2） n T l d r - m1（饥）=一 m l d 孙/设n与九相比变化很小，即竺=0球2=10 rad /nm分辨本领 A=mN=104 20 =2 105AZ17.18.设光栅的振幅透射系数为t(x)=t0+t1cos2f0x+t1cos(2nf0x + ),这块光栅2的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？在宽度为b的狭缝上放一折射率为 n、折射角为a的小光楔，由平面单色波垂直照 射(见图12-55 ),求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19.图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为 d，闪耀角为a，由平面波垂直入射(1) 求夫

19、琅和费衍射图样的光强分布。(2)求光栅对m=1级光谱闪耀时a应满足的条件。(3)试分析对m=1级闪耀时，光谱强度分布的特点。图 12-56习题24图20. 如图12-58所示，单色点光源（波长 =500nm ）安放在离光阑1m远的地方，光 阑上有一个内外半径分别为 0.5mm和1mm的通光圆环。考察点 P离光阑1m （SP连 线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多图12-58 习题28图解：半径为1mm的圆孔包含波带数为P2（R+r0）（1mm 2 （1000mm+1000mm ）J = = = 4r0R1000mm 1000mm 500 10 mm半径为0

20、.5mm的圆屏挡住的J ' =1,圆环通过波带数为 3,由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振1幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的一，所以放置光阑前后光强变化42倍。21. 波长丸=563.3nm的平行光正入射直径D = 2.6mm的圆孔，与孔相距 r0 = 1m处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的 P点是亮点还是暗点？ （ 2）要使P点变成 与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？解：在P点包含的波带数为.Er r。J =r°R'O 21.3 101 563.3 10°=3 Rn中心为亮点工程光学习题解答c一3 2:、21.3 10；S = =9 = 1.5mJ 2 563.3 103 2J =4;?21.3 100 = =9 = 0.75 mJ，4 563.3 1022. 试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为a,缝距为b,且b=4a)。(2) .用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅分布。.求在透镜L后焦面内沿x